Ôn tập chương 2

I. HÀM SỐ

1. Định nghĩa

Cho $D \subset \mathbb{R},\,\,D \ne \emptyset$. Hàm số $f$  xác định trên $D$ là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số $x \in D$  với một và chỉ một số $y \in \mathbb{R}$.

2. Tập xác định

Tập xác định của hàm số $y = f\left( x \right)$ là tập hợp tất cả các số thực $x$  sao cho biểu thức $f\left( x \right)$ có nghĩa.

3. Sự biến thiên

Cho hàm số $f$  xác định trên $K$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})$

4. Tính chẵn lẻ

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có tập xác định $D$.

Hàm số $f$ được gọi là hàm số chẵn nếu với $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f\left( {-x} \right) = f\left( x \right)$ .

Hàm số $f$ được gọi là hàm số lẻ nếu với $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f\left( {-x} \right) = - f\left( x \right)$ .

Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

            + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

5. Tịnh tiến đồ thị hàm số

Định lý: Cho $\left( G \right)$ là đồ thị của $y = f\left( x \right)$ và $p > 0,\,\,q > 0$; ta có

Tịnh tiến $\left( G \right)$ lên trên $q$ đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( x \right) + q$

Tịnh tiến $\left( G \right)$ xuống dưới $q$ đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( x \right)-q$

Tịnh tiến $\left( G \right)$ sang trái $p$ đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( {x + p} \right)$

Tịnh tiến $\left( G \right)$ sang phải $p$ đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( {x-p} \right)$

II. HÀM SỐ BẬC NHẤT

1. Định nghĩa

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng $y = ax + b$ $(a \ne 0)$.

2. Sự biến thiên

$\bullet {\rm{  }}$TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$\bullet {\rm{  }}$Hàm số đồng biến khi $a > 0$ và nghịch biến khi $a < 0$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Đồ thị của hàm số $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ là một đường thẳng $d$ có hệ số góc bằng $a$, cắt trục hoành tại $A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)$ và trục tung tại $B\left( {0;b} \right)$

Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $a = \tan \alpha$ với $\alpha$ là góc tạo bởi $d$ và $Ox$

Chú ý:

$\bullet {\rm{  }}$Nếu $a = 0 \Rightarrow y = b$ là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.

$\bullet {\rm{  }}$ Phương trình $x = a$ cũng là một đường thẳng(nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a.

$\bullet {\rm{  }}$Cho đường thẳng $d$  có hệ số góc $k$, $d$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$, khi đó phương trình của đường thẳng $d$ là: $y - {y_0} = a\left( {x - {x_0}} \right)$.

4. Đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = \left| {ax + b} \right|$ ta làm như sau

Cách 1: Vẽ $\left( {{C_1}} \right)$ là đường thẳng $y = ax + b$ với phần đồ thị sao cho hoành độ $x$ thỏa mãn $x \ge  - \dfrac{b}{a}$ , Vẽ $\left( {{C_2}} \right)$ là đường thẳng $y =  - ax - b$ lấy phần đồ thị sao cho $x <  - \dfrac{b}{a}$. Khi đó $\left( C \right)$ là hợp của hai đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$.

Cách 2: Vẽ đường thẳng $y = ax + b$ và $y =  - ax - b$ rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là $\left( C \right)$.

Chú ý:

$\bullet$  Biết trước đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ khi đó đồ thị $\left( {{C_1}} \right):y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ là gồm phần :

- Giữ nguyên đồ thị $\left( C \right)$ ở bên phải trục tung;

- Lấy đối xứng đồ thị $\left( C \right)$ ở bên phải trục tung qua trục tung.

$\bullet$  Biết trước đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ khi đó đồ thị $\left( {{C_2}} \right):y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ là gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị $\left( C \right)$ ở phía trên trục hoành

- Lấy đối xứng phần đồ thị $\left( C \right)$ phía dưới trục hoành qua trục hoành.

III. HÀM SỐ BẬC HAI

1. Định nghĩa

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$

2. Sự biến thiên

$\bullet {\rm{  }}$TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$\bullet {\rm{  }}$Khi $a > 0$ hàm số đồng biến trên $\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$, nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)$ và có giá trị nhỏ nhất là $- \dfrac{\Delta }{{4a}}$ khi $x =  - \dfrac{b}{{2a}}$. Khi $a < 0$ hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)$, nghịch biến trên $\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$ và có giá trị lớn nhất là $- \dfrac{\Delta }{{4a}}$ khi  $x =  - \dfrac{b}{{2a}}$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Khi $a > 0$ đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là $I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)$

Khi $a < 0$ đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng xuống dưới và có tọa độ đỉnh là $I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)$

Đồ thị nhận đường thẳng $x =  - \dfrac{b}{{2a}}$ làm trục đối xứng.