Tích vô hướng của hai véc tơ

Bài viết trình bày định nghĩa góc giữa hai véc tơ, công thức tính tích vô hướng của hai véc tơ và tính chất của tích vô hướng của hai véc tơ

1. Định nghĩa

a) Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó:

Góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\) và \(\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \widehat {AOB}\).

Tích vô hướng của hai véc tơ - ảnh 1

Quy ước: Nếu \(\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \) hoặc \(\overrightarrow b  = \overrightarrow 0 \) thì ta xem góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là tùy ý (từ \({0^0}\) đến \({180^0}\)).

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Tính góc giữa hai véc tơ:

a. \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)

b. \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)

Giải:

Vì tam giác $ABC$ vuông cân nên góc $A$ bằng $90^0$ và góc $B$ bằng góc $C$ bằng $45^0$.

a. Ta có: \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = {45^0}\)

b. Dựng véc tơ \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BC} \) thì \(\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \widehat {ACD} = {135^0}\)

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Ví dụ 2: Với các giả thiết ở ví dụ 1 và cho thêm $AB=AC=1$, tính $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} $.

Giải:

Ta có: $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$

Mà $\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = BA = 1$, $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt 2 $, $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = {45^0}$ nên:

$\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 1.\sqrt 2 .\cos {45^0} = \sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 1$.

Vậy $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} =1$

2. Tính chất

Với ba véc tơ bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) và mọi số thực $k$ ta luôn có:

 \(\begin{array}{l}1){\rm{ }}\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow b .\overrightarrow a \\2){\rm{ }}\overrightarrow a (\overrightarrow b  \pm \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b  \pm \overrightarrow a .\overrightarrow c \\3){\rm{ }}(k\overrightarrow a )\overrightarrow b  = k(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a (k\overrightarrow b )\\4){\rm{ }}{\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Ta có kết quả sau:

+  Nếu hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow a  = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\) gọi là bình phương vô hướng của véc tơ \(\overrightarrow a \).

+ \({(\overrightarrow a  \pm \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} \pm 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2},\) \({\rm{ }}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}\)

Câu hỏi trong bài