I. MỆNH ĐỀ
1. Định nghĩa
Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai.
2. Mệnh đề phủ định
Cho mệnh đề \(P\). Mệnh đề “Không phải \(P\) ” gọi là mệnh đề phủ định của \(P\).
Ký hiệu là $\overline P $. Nếu P đúng thì $\overline P $ sai, nếu \(P\) sai thì $\overline P $ đúng
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Cho hai mệnh đề \(P\) và \(Q\). Mệnh đề "nếu \(P\) thì \(Q\)" gọi là mệnh đề kéo theo
Ký hiệu là \(P \Rightarrow Q\). Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi P đúng Q sai
Cho mệnh đề \(P \Rightarrow Q\). Khi đó mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) gọi là mệnh đề đảo của \(P \Rightarrow Q\)
4. Mệnh đề tương đương
Cho hai mệnh đề \(P\) và \(Q\). Mệnh đề "\(P\) nếu và chỉ nếu \(Q\)" gọi là mệnh đề tương đương
Ký hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\).
Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) cùng đúng.
Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) đúng khi \(P\) và \(Q\) cùng đúng hoặc cùng sai.
Chú ý: "Tương đương" còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như "điều kiện cần và đủ", "khi và chỉ khi", "nếu và chỉ nếu".
5. Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập \(X\) nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc $X$ ta được một mệnh đề.
Ví dụ: \(P\left( n \right):\) "\(n\) chia hết cho \(5\)" với \(n\) là số tự nhiên
\(P\left( {x;y} \right)\) :"\(2x + y = 5\)" Với \(x,y\) là số thực
6. Các kí hiệu \(\forall \), \(\exists \) và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu \(\forall \),\(\exists \)
Kí hiệu $\forall$ đọc là với mọi, $\exists$ đọc là tồn tại
Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in X,P\left( x \right)$ ” là mệnh đề “$\exists x \in X,\overline {P(x)} $”
Phủ định của mệnh đề “$\exists x \in X,P\left( x \right)$ ” là mệnh đề “$\forall x \in X,\overline {P(x)} $”
II. TẬP HỢP
1. Định nghĩa
Là một nhóm các phần tử có cùng tính chất hoặc có cùng một đặc điểm nào đó. Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa như: $A,B,C, \ldots $
2. Các xác định tập hợp
Có $2$ cách để xác định tập hợp
a) Liệt kê: Viết tất cả các phần tử của tập hợp vào giữa dấu \(\left\{ {} \right\}\), các phần tử cách nhau bởi dấu \('',''\) đối với tập hợp gồm các phần tử là chữ, hoặc \('';''\) đối với tập hợp có các phần tử là số.
b) Nêu tính chất đặc trưng: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
3. Tập hợp rỗng
Là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu là \(\emptyset \).
\(A \ne \emptyset \Leftrightarrow \exists x:x \in A\)
Tập hợp $A$ là con của tập hợp $B$ hay còn gọi tập $B$ là tập cha của tập $A.$ Kí hiệu: \(A \subset B\).
\(A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x \in A \Rightarrow x \in B} \right)\)
Chú ý:
+) \(\emptyset \subset A,\forall A\)
+) ${\rm{A}} \subset {\rm{A,}}\forall {\rm{A}}$
+) $A \subset B,B \subset C \Rightarrow A \subset C$ (bắc cầu).
+) Số tập con của một tập hợp: Tập hợp $A$ gồm có $n$ phần tử thì số tập con (chứa cả \(\emptyset \) và \(A\)) của tập hợp $A$ là \(P\left( A \right) = {2^n}\).
+) Số phần tử của một tập hợp \(A\) là \(n(A)\) hoặc \(\left| A \right|\)
4. Hai tập hợp bằng nhau
\(A = B \Leftrightarrow \forall x,\left( {x \in A \Leftrightarrow x \in B} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \subset B\\B \subset A\end{array} \right.\)
5. Các phép toán trên tập hợp
a. Phép giao: $A \cap B = \left\{ {x|x \in A} \right.$ và $\left. {x \in B} \right\}$ hay \(x \in A \cap B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in A\\x \in B\end{array} \right.\)
b. Phép hợp: $A \cup B = \left\{ {x|x \in A} \right.$ hoặc $\left. {x \in B} \right\}$ hay \(x \in A \cup B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \in A\\x \in B\end{array} \right.\)
c. Hiệu của hai tập hợp: \(A\backslash B = \left\{ {x\left| {x \in A} \right.} \right.\) và \(\left. {x \notin B} \right\}\) hay \(x \in A\backslash B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in A\\x \notin B\end{array} \right.\)
d. Phần bù: Cho tập \(A \subset X\), khi đó phần bù của \(A\) trong \(X\) là \(X\backslash A\), kí hiệu là \({C_X}A\).
Vậy \({C_X}A = X\backslash A = \left\{ {x\left| {x \in X} \right.} \right.\) và \(\left. {x \notin A} \right\}\)
6. Các tập hợp số
a. Các tập hợp số thường gặp
\({\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
b. Các tập hợp con của \(\mathbb{R}\)
