Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác
Sách kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MHK$ có: $AB = MH$ , \(\widehat A = \widehat M\). Cần thêm một điều kiện gì để hai tam giác $ABC$ và $MHK$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh:
Để tam giác $ABC$ và tam giác $MHK$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh cần thêm điều kiện về cạnh kề đó là:$AC = MK.$
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(NPM\) có \(BC = PM;\,\widehat B = \widehat P\). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác $MPN$ và tam giác $CBA$ bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc ?
Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác ta thấy cần thêm điều kiện về góc kề cạnh đó là \(\widehat C = \widehat M.\)
Cho tam giác \(BAC\) và tam giác \(KEF\) có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:
Xét tam giác \(BAC\) và tam giác \(KEF\) có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) suy ra \(\Delta BAC = \Delta EKF\)(c.g.c)
Cho tam giác $BAC$ và tam giác $KEF$ có $BA = EK,$ \(\widehat A = \widehat K\), $CA = KF.$ Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:
Xét tam giác $BAC$ và tam giác $KEF$ có $BA = EK,$ \(\widehat A = \widehat K\), $CA = KF.$ Suy ra \(\Delta BAC = \Delta EKF\) (c.g.c)
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) có \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\) . Cần thêm điểu kiện gì để tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc:
Ta thấy hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) có hai yếu tố về góc \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\).
Để tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là \(AB = MN.\)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP,$ \(\widehat C = \widehat M\) . Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng:
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP$, \(\widehat C = \widehat M\) , do đó \(\Delta ABC = \Delta PNM\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Cho góc nhọn \(xOy,Oz\) là tia phân giác của góc đó. Qua điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\) kẻ đường thẳng song song với \(Oy\) cắt \(Oz\) ở \(M.\) Qua \(M\)kẻ đường thẳng song song với \(Ox\) cắt \(Oy\) ở \(B.\) Chọn câu đúng.
Ta có:
\(\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc so le trong)
\(\widehat {{M_2}} = \widehat {{O_1}}\) (hai góc so le trong)
\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(do Oz là tia phân giác của góc xOy)
Do đó \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)
Xét tam giác \(AOM\) và tam giác \(BOM\) có:
\(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)(cmt)
\(OM\) là cạnh chung
\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(cmt)
\( \Rightarrow \Delta AOM = \Delta BOM(g.c.g)\)
Do đó \(OA = OB;MA = MB\) (các cặp cạnh tương ứng).
Cho góc nhọn $xOy.$ Trên tia $Ox$ lấy hai điểm $A,C,$ trên tia $Oy$ lấy hai điểm $B,D$ sao cho $OA = OB,OC = OD$ ($A$ nằm giữa $O$ và $C,$$B$ nằm giữa $O$ và $D$ ).
Chọn câu đúng.
Xét tam giác \(OAD\) và tam giác \(OBC\) có
$OA = OB,$ góc \(O\) chung, $OD = OC$ suy ra \(\Delta OAD = \Delta OBC\,\left( {c - g - c} \right).\)
Cho góc nhọn $xOy.$ Trên tia $Ox$ lấy hai điểm $A,C,$ trên tia $Oy$ lấy hai điểm $B,D$ sao cho $OA = OB,OC = OD$ ($A$ nằm giữa $O$ và $C,$$B$ nằm giữa $O$ và $D$ ).
So sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
Vì \(\Delta OAD = \Delta OBC\,\left( {c - g - c} \right).\) Suy ra \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)
Lại có \(\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ - \widehat {OBC}\) và \(\widehat {CAD} = 180^\circ - \widehat {OAD}\) mà \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (cmt)
Suy ra \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.\)
Cho hai đoạn thẳng \(BD\) và \(EC\) vuông góc với nhau tại \(A\) sao cho \(AB = AE,AD = AC,AB < AC.\) Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là sai:
Xét hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(AED\) có:
\(AB = AB;\) \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC}\)(hai góc đối đỉnh); \(AD = DC,\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta AED = \Delta ABC\) (A đúng).
\( \Rightarrow \) \(BC = BD\) (hai cạnh tương ứng) (B đúng);
\(\widehat {ABC} = \widehat {ABD}\)(hai góc tương ứng) (D đúng).
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có $DE = HK$ , \(\widehat E = \widehat K\), $EF = KG.$ Biết \(\widehat D = {70^0}\). Số đo góc $H$ là:
Xét tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có $DE = HK$ , \(\widehat E = \widehat K\), $EF = KG.$
do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\) (c.g.c).
Do đó \(\widehat H = \widehat D = {70^0}\) (hai góc tương ứng).
Cho góc nhọn \(xOy.\) Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A,C,\) trên tia \(Oy\) lấy hai điểm \(B,D\) sao cho \(OA = OB,OC = OD\) (\(A\) nằm giữa \(O\) và \(C,\)\(B\) nằm giữa \(O\) và \(D\) ). So sánh hai góc \(\widehat {CAD}\) và \(\widehat {CBD}.\)
Xét tam giác \(OAD\) và tam giác \(OBC\) có
\(OA = OB,\)
\(\widehat O\)chung,
\(OC = OD\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\) ( c.g.c)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)
Lại có \(\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ - \widehat {OBC}\) và \(\widehat {CAD} = 180^\circ - \widehat {OAD}\) mà \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (cmt)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.\)
Cho tam giác $ABC$ có \(\widehat A = {90^0}\), tia phân giác $BD$ của góc $B$ (\(D \in AC\)). Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BA.$ Hai góc nào sau đây bằng nhau?
Xét hai tam giác $BDA$ và $BDE$ có:$BA = BE\left( {gt} \right),$ \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (do $BD$ là tia phân giác của góc B);
$BD$ là cạnh chung. Suy ra \(\Delta BDA = \Delta BDE\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = {90^ \circ }\) (hai góc tương ứng)
Trong các tam giác $ABC$ và $EDC$ vuông ở $A$ và $E,$ ta có:
\(\widehat {ABC} + \widehat C = {90^ \circ }\) và \(\widehat {EDC} + \widehat C = {90^ \circ }\), suy ra \(\widehat {EDC} = \widehat {ABC}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = BC,\) phân giác \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(O.\) Tính \(\widehat {BOC}.\)
Vì \(BD\) và \(CE\) là tia phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) và \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.\)
Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(CBD\) có:
+ \(AB = AC\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt)
+ Cạnh \(BD\) chung
Suy ra \(\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (1)
Tương tự ta có \(\Delta BCE = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB}\). Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của tam giác) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ .\)
Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt) nên \(\widehat {CBO} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \); \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .\)
Xét tam giác \(BOC\) có \(\widehat {BOC} + \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của một tam giác)
Nên \(\widehat {BOC} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ .\)
Vậy \(\widehat {BOC} = 120^\circ .\)
Cho đoạn thẳng \(AB\), trên đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) lấy điểm \(M.\) So sánh \(AM\) và \(BM.\)
Đường trung trực của \(AB\) vuông góc với \(AB\) tại trung điểm \(E\) . Do đó \(ME \bot AB;\,EA = EB.\)
Xét tam giác \(MEA\) và tam giác \(MEB\) có \(EA = EB\,\left( {cmt} \right),\) \(\widehat {MEA} = \widehat {MEB} = 90^\circ ,\) cạnh \(ME\) chung nên \(\Delta MEA = \Delta MEB\,\left( {c - g - c} \right)\) suy ra \(MA = MB\) (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK.$ Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc $G$ là:
Xét tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK,$ do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\)(g.c.g).
Do đó \(\widehat G = \widehat F = {80^0}\) (hai góc tương ứng).
Cho hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. Lấy \(E;\,F\) lần lượt là điểm thuộc đoạn \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AE = BF.\) Cho \(OE = 2cm\), tính \(EF.\)
* Xét tam giác \(OBC\) và \(OAD\) có
+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)
+ \(OC = OD\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (hai góc tương ứng)
* Xét tam giác \(OBF\) và \(OAE\) có
+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (cmt)
+ \(BF = AE\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta OBF = \Delta OAE\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {AOE} = \widehat {FOB}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {FOB} + \widehat {FOA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {FOA} + \widehat {AOE} = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \) 3 điểm \(F;\,O;E\) thẳng hàng và \(OE = OF\) nên \(O\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow EF = 2.OE = 4\,cm.\)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\). Biết $AC = 6cm.$ Độ dài $DF$ là:
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\) , do đó \(\Delta ABC = \Delta DEF\,\left( {g - c - g} \right)\).
Do đó $DF = AC = 6cm$ (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC.\) Trên các cạnh \(AB\) và \(AC\) lấy các điểm \(D,E\) sao cho \(AD = AE.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BE\) và \(CD\). Chọn câu sai.
Xét tam giác \(ABE\) và tam giác \(ADC\) có
+ \(AD = AE\left( {gt} \right)\)
+ Góc \(A\) chung
+ \(AB = AC\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta ABE = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACD};\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (hai góc tương ứng) và \(BE = CD\) (hai cạnh tương ứng) nên A đúng.
Lại có \(\widehat {ADC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \); \(\widehat {AEB} + \widehat {BEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) mà \(\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (cmt)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}.\)
Lại có \(AB = AC;\,AD = AE\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow AB - AD = AC - AE \Rightarrow BD = EC\) nên C đúng.
Xét tam giác \(KBD\) và tam giác \(KCE\) có
\(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\,\left( {cmt} \right)\)
\(BD = EC\,\left( {cmt} \right)\)
\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta KBD = \Delta KCE\left( {g - c - g} \right)\)
\( \Rightarrow KB = KC;\,KD = KE\) (hai cạnh tương ứng) nên B đúng, D sai.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC.$ Qua $A$ kẻ đường thẳng $xy$ sao cho $B,C$ nằm cùng phía với $xy.$ Kẻ $BD$ và $CE$ vuông góc với $xy.$ Chọn câu đúng.
Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)\)
Mà ${\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}$ vì tam giác $ABD$ vuông tại $D.$
\( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}\) (cùng phụ với \({\widehat A_1}\)).
Lại có \({\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}\) vì tam giác $ACE$ vuông tại $E$
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat A_2}\)).
Xét hai tam giác vuông $BDA$ và $AEC$ có:
\(\widehat D = \widehat E = {90^0}\); \(AB = AC\) (gt) và \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra $BD = AE$ (hai cạnh tương ứng), $CE = AD$ (hai cạnh tương ứng).
Do đó $DE = AD + AE = CE + BD.$