Bài toán về điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng

$z = i - 2 =  - 2 + i$ nên điểm biểu diễn là $M\left( { - 2;1} \right)$ 

$\left( {1 + i} \right)z = 3 - i \Rightarrow z = \dfrac{{3 - i}}{{1 + i}} = \dfrac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \dfrac{{2 - 4i}}{{{1^2} + {1^2}}} = 1 - 2i \Rightarrow Q\left( {1; - 2} \right)$ là điểm biểu diễn $z$.

$\overline z = 2 - 5i \Rightarrow w = i\left( {2 + 5i} \right) + 2 - 5i =  - 3 - 3i$.

\(\left( {2 - i} \right)z = 7 - i \Rightarrow z = \dfrac{{7 - i}}{{2 - i}} = \dfrac{{(7 - i)(2 + i)}}{5} = \dfrac{{15 + 5i}}{5} = 3 + i\)

Suy ra điểm có tọa độ $\left( {3;1} \right)$ sẽ biểu diễn số phức $z$, suy ra $M$ thỏa mãn.

Điểm \(M\left( {1;1} \right)\) biểu diễn số phức \(z = 1 + i \Rightarrow 2z = 2 + 2i\).

Do đó điểm biểu diễn số phức \(2z\) là \(\left( {2;2} \right)\) (điểm \(E\)).

Đặt $z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Ta có: $\left| z \right| + z = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a + bi = 0 + 0i$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\left| a \right| + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a \le 0\end{array} \right.$

Do điểm $A$ là điểm biểu diễn của $z$ nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng $Oxy$ nên gọi $z = a + bi\left( {a,b > 0} \right)$

Do $\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Lại có: \({\text{w}} = \dfrac{1}{{iz}} = \dfrac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}} - \dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}}i\) .

$\left| {\rm{w}} \right| = \left| {\dfrac{1}{{iz}}} \right| = \dfrac{1}{{\left| i \right|.\left| z \right|}} = \sqrt 2  = 2\left| z \right| = 2OA$

Vậy điểm biểu diễn của số phức $w$ là điểm $P$.

Ta có:  ${z_1} = 3 + 2i \Rightarrow A\left( {3;2} \right);{z_2} = 3 - 2i \Rightarrow B\left( {3; - 2} \right);{z_3} =  - 3 - 2i \Rightarrow C\left( { - 3; - 2} \right)$.

Suy ta trọng tâm của $\Delta ABC$ là G\(\left( {1; - \dfrac{2}{3}} \right)\) suy ra phương án B sai.

Vì \(A\) và \(B\) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1} = 3 - 2i\) và \({z_2} = 1 + 4i\) nên \(A\left( {3; - 2} \right)\) và \(B\left( {1;4} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow M\left( {\dfrac{{3 + 1}}{2};\dfrac{{ - 2 + 4}}{2}} \right) \Rightarrow M\left( {2;1} \right)\).

Từ hình vẽ ta thấy \(M\left( {2;\,\,1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\) \( \Rightarrow z = 2 + i\)

\( \Rightarrow \) Modun của số phức \(z\) là: \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + 1}  = \sqrt 5 .\)

Số phức \(z =  - 1 + 6i\) có điểm biểu diễn là \(A\) suy ra \(A\left( { - 1;6} \right)\).

Số phức \(z' =  - 1 - 6i\) có điểm biểu diễn là \(B\) suy ra \(B\left( { - 1; - 6} \right)\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = {x_B}\\{y_A} =  - {y_B}\end{array} \right.\) nên \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua trục hoành.

Ta có: $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN$ là khẳng định sai vì dựa vào đồ thị ta có: $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN$

Giả sử $z = a + bi$ với $0 < a,b < 1$.

Có $w = \dfrac{i}{{\overline z }} = \dfrac{i}{{a - bi}} = \dfrac{{i(a + bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{ai}}{{{a^2} + {b^2}}}$

Vì $z$ thuộc góc phần tư thứ I nên \( - \dfrac{b}{{{a^2} + {b^2}}} < 0;\dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}} > 0\). Do đó $w$ thuộc góc phần tư thứ II.

Đặt \(z = a + bi\)

Ta có: $\left| {z - i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi - i} \right| = 5 $ $\Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 5 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 25$ (1)

${z^2} = (a+bi)^2={a^2} + 2{\rm{a}}bi - {b^2}=a^2-b^2+2abi$

Do \({z^2}\) là số thuần ảo nên:${a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = a\\
b = - a
\end{array} \right.$

TH1: b=a thay vào (1) ta được:

${a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 25 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {a^2} - 2a + 1 = 25$ $ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 4 \Rightarrow b = 4\\
a = - 3 \Rightarrow b = - 3
\end{array} \right.$

TH2: b=-a thay vào (1) ta được:

${a^2} + {\left( { - a - 1} \right)^2} = 25$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} + 2a + 1 = 25 $ $\Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 3 \Rightarrow b = - 3\\
a = - 4 \Rightarrow b = 4
\end{array} \right.$

Vậy có $4$ số phức cần tìm là: $4+4i, -3-3i,$ $3-3i, -4+4i$.

Ta có: ${z_2} = 2i$

Có $A\left( {1;1} \right);B\left( {0;2} \right)$ và $C\left( {m; - 1} \right)$

\(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1);\overrightarrow {BC}  = (m; - 3) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  - 1.m - 3 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\)

Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)$ thì ${\left| z \right|^2} = {z^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {x^2} + 2xyi - {y^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\{x^2} + {y^2} = {x^2} - {y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 0\end{array} \right.$

Do đó tập điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $y = 0$.

Giả sử $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)$. Ta có

$\begin{array}{l}\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4a - 6b - 3 = 0\end{array}$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $4x-6y-3 = 0$

\({\left( {1 + z} \right)^2} = {(1 + x + iy)^2} = {\left( {1 + x} \right)^2} - {y^2} + 2(1 + x)yi\).

Để \({\left( {1 + z} \right)^2}\) là số thực thì \(2(1 + x)y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 0\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn là hai đường thẳng $x =  - 1$ và $y = 0$

Giả sử ${\rm{w}} = a + bi(a,b \in R) \Rightarrow a + bi = (1 - 2i)\overline z  + 3i$  $\begin{array}{l} \Rightarrow \overline z  = \dfrac{{a + (b - 3)i}}{{1 - 2i}} = \dfrac{{\left[ {a + (b - 3)i} \right](1 + 2i)}}{5} = \dfrac{{a - 2(b - 3) + (2a + b - 3)i}}{5}\\ \Rightarrow \left| {\overline z } \right| = \dfrac{1}{5}\sqrt {{{\left[ {a - 2(b - 3)} \right]}^2} + {{(2a + b - 3)}^2}}  = 2\\ \Rightarrow {(a - 2b + 6)^2} + {(2a + b - 3)^2} = 100\\ \Rightarrow {(a - 2b)^2} + {(2a + b)^2} + 12(a - 2b) - 6(2a + b) = 55\\ \Rightarrow 5{a^2} + 5{b^2} - 30b = 55 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 6b = 11 \Rightarrow {a^2} + {(b - 3)^2} = 20\end{array}$

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)}\\{ \Rightarrow z = \dfrac{{w - i}}{{3 + 4i}} = \dfrac{{x + \left( {y - 1} \right)i}}{{3 + 4i}}}\\{ = \dfrac{{3x + 4\left( {y - 1} \right) + \left[ {3\left( {y - 1} \right) - 4x} \right]i}}{{25}}}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{l}}{16 = {{\left| z \right|}^2} = {{\left( {\dfrac{{3x + 4y - 4}}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{ - 4x + 3y - 3}}{{25}}} \right)}^2}}\\{{{\left[ {\dfrac{3}{{25}}x + \dfrac{4}{{25}}\left( {y - 1} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {\dfrac{{ - 4}}{{25}}x + \dfrac{3}{{25}}\left( {y - 1} \right)} \right]}^2} = 16}\\{ \Leftrightarrow {x^2}\left[ {{{\left( {\dfrac{3}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{{25}}} \right)}^2}} \right]}\\{ + {{\left( {y - 1} \right)}^2}\left[ {{{\left( {\dfrac{4}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{{25}}} \right)}^2}} \right] = 16}\\{ \Leftrightarrow {x^2}.\dfrac{1}{{25}} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}.\dfrac{1}{{25}} = 16}\\{ \Rightarrow {x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} = 400 \Rightarrow r = 20}\end{array}}\end{array}\)