Bài toán tương giao đồ thị

Đặt \(t = 3x + 1\).

Dễ thấy với mỗi \(x\) chỉ có một \(x\) và ngược lại.

Do đó số nghiệm \(x\) của phương trình đã cho bằng số nghiệm \(t\) của phương trình \(\left| {f\left( t \right) - 2} \right| = 5\)

Ta có:

\(\left| {f\left( t \right) - 2} \right| = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) - 2 = 5\\f\left( t \right) - 2 =  - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = 7\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( t \right) =  - 3\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Từ bbt ta thấy,

+) Đường thẳng \(y = 7\) cắt đồ thị hàm số tại duy nhất 1 điểm nên (1) có 1 nghiệm.

+) Đường thẳng \(y =  - 3\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm nên (2) có 2 nghiệm.

Dễ thấy các nghiệm của (1) và (2) phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = x + m\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = {x^2} + mx - x - m\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( { - m + 3} \right) > 0\\1 + \left( {m - 3} \right).1 - m + 3 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 + 4m - 12 > 0\\1 \ne 0\,\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m <  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện bài toán ta suy ra \(m \in \left[ { - 2020; - 1} \right) \cup \left( {3;2020} \right]\), \(m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có 2019 + 2017 = 4036 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt \(t = 1 - f\left( x \right)\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 2\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( t \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - f\left( x \right) = 1\\1 - f\left( x \right) =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = 3\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 0\) nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 3\) nên phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm.

Đặt \(t = 3 - {x^2}\), ta có: \({x^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow t = 3 - {x^2} \le 3,\,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;3} \right].\) 

Bất phương trình \(f\left( {3 - {x^2}} \right) \ge m\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với mọi \(t \in \left( { - \infty ;3} \right].\)

Từ BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy: \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với \(t \in \left( { - \infty ;3} \right]\) khi \(m > 3\).

Vậy \(m > 3\).

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ; > 0\\0 + 2m.0 + m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\m \ne  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right.\) .

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là \(2\) nghiệm phân biệt của phương trình \(\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow B\left( {{x_1};{x_1} + 4} \right);\,\,\,C\left( {{x_2};{x_2} + 4} \right).\)

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}.{x_2} = m + 2\end{array} \right..\)

Ta có: \({S_{KBC}} = \frac{1}{2}.d\left( {K,BC} \right).BC.\)

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 4 \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\).

Vì \(B,\,\,C\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) nên ta có: \(d\left( {K,BC} \right) = d\left( {K;d} \right) = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} + 4 - {x_1} - 4} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {4{m^2} - 4\left( {m + 2} \right)} \\BC = 2\sqrt 2 .\sqrt {{m^2} - m - 2} \end{array}\) 

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{KBC}} = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\sqrt 2 .2\sqrt 2 \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 32\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0\\ \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)  

Vậy \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\).

Đồ thị hàm số \(y =  - {x^4} + 4{x^2} - 3\)  cắt trục tung \( \Rightarrow x = 0\)

Với \(x = 0\) thay vào hàm số \( \Rightarrow y =  - 3\).