Phương trình nghiệm phức

Phương trình \(2{z^2} + 4z + 3 = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - 2\\{z_1}{z_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\left| {{z_1}{z_2} + i\left( {{z_1} + {z_2}} \right)} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| { - \dfrac{3}{2} + i.\left( { - 2} \right)} \right| = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \dfrac{5}{2}\)

Phương trình \({z^2} + 2z + m = 0\) có một nghiệm \({z_1} =  - 1 + 3i \Rightarrow \) Nghiệm còn lại là \({z_2} =  - 1 - 3i.\)

Khi đó ta có: \(w = {z_1} - 2{z_2} =  - 1 + 3i - 2\left( { - 1 - 3i} \right) = 1 + 9i\)

Vậy số phức \(w\) có phần ảo bằng 9.

Đặt \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (*).

TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 7\\{z_0} =  - 7\end{array} \right.\).

+ Nếu \({z_0} = 7\) thay vào (*)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {7^2} - 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 14m + 35 = 0\\ \Leftrightarrow m = 7 \pm \sqrt {14} \end{array}\)

\( \Rightarrow \) Có 2 giá trị thỏa mãn \(m = 7 \pm \sqrt {14} \) thì phương trình (*) có nghiệm \({z_0} = 7\) (tmycbt).

+ Nếu \({z_0} =  - 7\) thay vào (*)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 49 + 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 14m + 63 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Vô nghiệm.

TH2: \({z_0}\) là nghiệm có chứa \(i \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m <  - \dfrac{1}{2}\).

Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức \({z_0}\) chứa \(i\) thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là \(\overline {{z_0}} \).

Điều kiện \(\left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = 7 \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}}  = {7^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}}  = 49\,\,\left( 1 \right)\).

Vì \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \) là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}}  = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {m^2} = 49 \Leftrightarrow m =  \pm 7\).

So sánh điều kiện \(m <  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m =  - 7\).

Vậy tất cả TH1 và TH2 có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán (\(m = 7 \pm \sqrt {14} \) và \(m =  - 7\)).