Logarit

Từ công thức ${\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0;n \ne 0} \right)$ ta thấy chỉ có đáp án B đúng.

Ta có: \({a^2} + 4{b^2} = 5ab \Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} = 9ab \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 9ab\).

Logarit cơ số \(10\) hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\log {\left( {a + 2b} \right)^2} = \log \left( {9ab} \right) \Leftrightarrow 2\log \left( {a + 2b} \right) = \log 9 + \log a + \log b\\ \Leftrightarrow 2\log \left( {a + 2b} \right) = 2\log 3 + \log a + \log b \Leftrightarrow 2\left( {\log \left( {a + 2b} \right) - \log 3} \right) = \log a + \log b\\ \Leftrightarrow \log \dfrac{{a + 2b}}{3} = \dfrac{{\log a + \log b}}{2}\end{array}\)

$\begin{array}{l}a = {\log _2}60 = {\log _2}\left( {{2^2}.15} \right) = 2 + {\log _2}15 \Rightarrow {\log _2}15 = a - 2\\ \Rightarrow {\log _2}5 = \dfrac{{{{\log }_{15}}5}}{{{{\log }_{15}}2}} = \dfrac{{{{\log }_2}15}}{{{{\log }_5}15}} = \dfrac{{a - 2}}{b}\\b = {\log _5}15 = {\log _5}\left( {3.5} \right) = 1 + {\log _5}3 \Rightarrow {\log _5}3 = b - 1\\{\log _2}3 = {\log _2}5.{\log _5}3 = \dfrac{{a - 2}}{b}.\left( {b - 1} \right) = \dfrac{{ab - 2b - a + 2}}{b}\\{\log _2}12 = {\log _2}\left( {{2^2}.3} \right) = 2 + {\log _2}3 = \dfrac{{ab - a + 2}}{b}\end{array}$

Có $b = {\log _2}6 = 1 + {\log _2}3 \Rightarrow {\log _2}3 = b - 1$

${\log _3}90 = {\log _3}({3^2}.2.5) = 2 + {\log _3}2 + {\log _3}5$ $ = 2 + \dfrac{1}{{{{\log }_2}3}} + \dfrac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} $ $= 2 + \dfrac{{1 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} $ $= 2 + \dfrac{{1 + a}}{{b - 1}} = \dfrac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}$

\(\begin{array}{l}{a^2} + 4{b^2} = 12ab \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} - 4ab = 12ab \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 16ab\\ \Rightarrow \ln {\left( {a + 2b} \right)^2} = \ln \left( {16ab} \right)\\ \Rightarrow 2\ln \left( {a + 2b} \right) = \ln 16 + \ln a + \ln b\\ \Rightarrow 2\ln \left( {a + 2b} \right) - 4\ln 2 = \ln a + \ln b\\ \Rightarrow \ln \left( {a + 2b} \right) - 2\ln 2 = \dfrac{1}{2}(\ln a + \ln b)\end{array}\)

Ta có: $\log_a{a^2}{b^4} = \log_a{a^2} + \log_a{b^4} $ $= 2\log_a a + 4\log_a b = 2 + 4p$

Nếu $a > 1$ và $b > c > 0$ thì ${\log _a}b > {\log _a}c$.

Ta có $80 = {4^2}.5;{\rm{    }}12 = 3.4$

$\begin{array}{l}{\log _{12}}80 = {\log _{12}}{4^2} + {\log _{12}}5 = 2{\log _{12}}4 + {\log _{12}}5 = \dfrac{2}{{{{\log }_4}12}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}12}} = \dfrac{2}{{{{\log }_4}3 + 1}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}3 + {{\log }_5}4}}\\ = \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + 1}} + \dfrac{1}{{\dfrac{b}{a} + b}} = \dfrac{{2a}}{{a + 1}} + \dfrac{a}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \dfrac{{2ab + a}}{{ab + b}}\end{array}$

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\ln \dfrac{{a + b}}{3} = \dfrac{{2\ln a + \ln b}}{3}\\ \Leftrightarrow 3\ln \dfrac{{a + b}}{3} = 2\ln a + \ln b\\ \Leftrightarrow \ln {\left( {\dfrac{{a + b}}{3}} \right)^3} = \ln {a^2} + \ln b\\ \Leftrightarrow \ln \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}{{27}} = \ln \left( {{a^2}b} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}{{27}} = {a^2}b\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} = 27{a^2}b\\ \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = 27{a^2}b\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 24{a^2}b - 3a{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 3\left( {8{a^2}b - a{b^2}} \right)\end{array}\)

Gán giá trị đề bài cho bằng cách bấm:

Lần lượt thử từng đáp án:

Ta có \({\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}({\log _a}b + {\log _b}a) = 1 \Leftrightarrow {\log _a}b + {\log _b}a = 2\)

Vì \({\log _a}b.{\log _b}a = 1\)  nên \({\log _a}b,{\log _b}a\) là nghiệm của phương trình\({x^2} - 2x + 1 = 0\). Suy ra  \({\log _a}b = {\log _b}a = 1\)  hay \(a = b\).

Dựa vào 2 kết quả trên ta có

$\begin{array}{l}m = \left[ {\log {2^{30}}} \right] + 1 = \left[ {30\log 2} \right] + 1 = 10\\n = \left[ {{{\log }_2}{{30}^2}} \right] + 1 = \left[ {2{{\log }_2}30} \right] + 1 = 10\\ \Rightarrow m + n = 20\end{array}$