Các bài toán về đường thẳng và mặt phẳng

Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thỏa mãn đẳng thức : $2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {2 - a; - 2 - b;4 - c} \right) + 3\left( { - 3 - a;3 - b; - 1 - c} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 2a - 9 - 3a = 0\\ - 4 - 2b + 9 - 3b = 0\\8 - 2c - 3 - 3c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a - 5 = 0\\ - 5b + 5 = 0\\ - 5c + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;\;1;\;1} \right)\end{array}$

Ta có :

$\begin{array}{l}2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + 3{\overrightarrow {MB} ^2}\\ = 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) + \overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB} } \right)\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right)\end{array}$

Do I, A, B cố định nên $2I{A^2} + 3I{B^2} = const$.

 $\Rightarrow {\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow 5M{I^2}_{\min }$$\Leftrightarrow$ M là hình chiếu của I trên (P)

Gọi $\left( \Delta  \right)$ là đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) , ta có phương trình của $\left( \Delta  \right):\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.$.

M là hình chiếu của I lên (P) $\Rightarrow M \in \left( \Delta  \right) \Rightarrow M\left( { - 1 + 2t;1 - t;1 + 2t} \right)$ .

Lại có $M \in \left( P \right)$  

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( { - 1 + 2t} \right) - \left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 8 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2 + 4t - 1 + t + 2 + 4t - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;3} \right)\end{array}$

Khi đó ta có

$\begin{array}{l}M{I^2} = 4 + 1 + 4 = 9;\;\;\;I{A^2} = 9 + 9 + 9 = 27;\;\;\;I{B^2} = 4 + 4 + 4 = 13\\ \Rightarrow {\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} = 5.9 + 2.27 + 3.12 = 135\end{array}$

Do $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M\left( {0;0;2} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 3 = 0$ $\Rightarrow \Delta  \subset \left( Q \right)$: qua M và song song $\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng (Q) là: $x + y + z - 2 = 0$.

Dựng $AH \bot \left( Q \right),AK \bot \Delta$. Ta có: $AK \ge AH$. Do đó, khoảng cách từ $A\left( {5;0;0} \right)$ đến đường thẳng $\Delta$ nhỏ nhất và bằng AH khi và chỉ khi K trùng H

Khi đó, đường thẳng $\Delta$ được xác định là đường thẳng đi qua M và H.

Phương trình đường thẳng AH là $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = t\\z = t\end{array} \right. \Rightarrow$Giả sử $H\left( {5 + t;t;t} \right) \Rightarrow 5 + t + t + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow H\left( {4; - 1; - 1} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {MH}  = \left( {4; - 1; - 3} \right) \Rightarrow \Delta$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {4; - 1; - 3} \right)$.

Phương trình $BC \equiv Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.$.

Mặt phẳng $\left( {AMM'A'} \right)$ đi qua $A'$ và vuông góc với $BC$ nên $\left( {AMM'A'} \right)$ đi qua $A'\left( {\sqrt 3 ; - 1;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)$ làm VTPT hay $\left( {AMM'A'} \right):0\left( {x - \sqrt 3 } \right) + 0\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 1$.

$M = BC \cap \left( {AMM'A'} \right) \Rightarrow t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {0;0;1} \right)$

Mà $AA' = 1,A'M = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}}  = 2$ $\Rightarrow AM = \sqrt {A'{M^2} - A'{A^2}}  = \sqrt {{2^2} - {1^2}}  = \sqrt 3$.

Tam giác $ABC$ đều có độ dài đường cao $AM = \dfrac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3  \Rightarrow BC = 2$

Gọi $B\left( {0;0;m} \right),C\left( {0;0;n} \right)$ với $n \ne 0$ thì $BC = 2 \Leftrightarrow \left| {m - n} \right| = 2$ và $M\left( {0;0;1} \right)$ là trung điểm $BC \Leftrightarrow \dfrac{{m + n}}{2} = 1 \Leftrightarrow m + n = 2$.

Khi đó $m = 0,n = 2$ vì $n \ne 0$ hay $C\left( {0;0;2} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {A'C}  = \left( { - \sqrt 3 ;1;1} \right)$ hay $2\overrightarrow {AC'}  = \left( { - 2\sqrt 3 ;2;2} \right)$ là một VTCP của $A'C$.

Suy ra $a =  - 2\sqrt 3 ,b = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 2\sqrt 3 } \right)^2} + {2^2} = 16$.

Gọi $N = d \cap \Delta$. Giả sử $N\left( {2 - 2t;\,\,8 + t;\,\,t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 2t;\,\,7 + t;\,\,t - 1} \right)$.

Đường thẳng $\Delta :\,\,\dfrac{{x - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 8}}{1} = \dfrac{z}{1}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 2;1;1} \right)$, đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {MN}$ là 1 VTPT.

Do $d \bot \Delta$ nên $\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 2t.\left( { - 2} \right) + \left( {7 + t} \right).1 + \left( {t - 1} \right).1 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\\ \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {2;6; - 2} \right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {2;1;1} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_d}}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MN}  = \left( {1;3; - 1} \right)$ có phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t'\\y = 1 + 3t'\\z = 1 - t'\end{array} \right.$.

Khi đó, giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ ứng với $t'$ thỏa mãn $x = 2 + t' = 0 \Leftrightarrow t' =  - 2$.

$\Rightarrow$ Tọa độ giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là: $\left( {0; - 5;3} \right)$.

Gọi $M = d \cap {\Delta _1} \Rightarrow M\left( {1 + {t_1};\,\, - 2 + 4{t_1};\,\,2 + 3{t_1}} \right)$, $N = d \cap {\Delta _2} \Rightarrow N\left( { - 4 + 5{t_2};\,\, - 7 + 9{t_2};\,\,{t_2}} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {5{t_2} - {t_1} - 5;\,\,9{t_2} - 4{t_1} - 5;\,\,{t_2} - 3{t_1} - 2} \right)$.

Vì $d \bot \left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {0;4; - 1} \right)$ nên $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow n$ là 2 vectơ cùng phương.

$\Rightarrow \overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_2} - {t_1} - 5 = 0\\9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k\\4{t_2} - 12{t_1} - 8 =  - 4k\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\13{t_2} - 16{t_1} - 13 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\13{t_2} - 16\left( {5{t_2} - 5} \right) - 13 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\ - 67{t_2} + 67 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 =  - k\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_2} = 1\\{t_1} = 0\\k = 1\end{array} \right.$ .

$\Rightarrow M\left( {1;\,\, - 2;\,\,2} \right),\,\,N\left( {1;\,\,2;\,\,1} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {0;4; - 1} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và có 1 VTCP $\overrightarrow {MN} \left( {0;4; - 1} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.$

Vì $M \in d:\,\,\dfrac{x}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1} \Rightarrow$ Gọi $M\left( { - 2t;\,\,1 + t;\,\,t} \right)$.

Ta có: $OM = \sqrt {{{\left( { - 2t} \right)}^2} + {{\left( {1 + t} \right)}^2} + {t^2}}  = \sqrt {6{t^2} + 2t + 1}$.

$d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2\left( { - 2t} \right) - \left( {1 + t} \right) + 2t - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{\left| { - 3t - 3} \right|}}{3} = \left| {t + 1} \right|$.

Theo bài ra ta có: M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng $\left( P \right)$$\Leftrightarrow \sqrt {6{t^2} + 2t + 1}  = \left| {t + 1} \right|$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6{t^2} + 2t + 1 = {t^2} + 2t + 1\\ \Leftrightarrow 5{t^2} = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}$

$\Rightarrow M\left( {0;1;0} \right)$

Vậy có 1 điểm $M$  thỏa mãn yêu cầu bài toán là $M\left( {0;1;0} \right)$.

Ta có $A\left( {4; - 3;5} \right),B\left( {2; - 5;1} \right)$ nên trung điểm của AB là $I\left( {3; - 4;3} \right)$.

Đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 5}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 9}}{{13}}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3; - 2;13} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với d  nên mặt phẳng (P) có 1 VTPT $\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3; - 2;13} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {3; - 2;13} \right)$ và đi qua $I\left( {3; - 4;3} \right)$ có phương trình là:

$3\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 4} \right) + 13\left( {z - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x - 2y + 13z - 56 = 0$.

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M\left( { - 1;3;2} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x - 2y + 4z + 1 = 0$.

$\Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;4} \right)$.

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng là: $\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{4}$.