Bài toán về điểm và vectơ

Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh

Đổi lựa chọn

Câu 1 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức  OM=2i+j. Tọa độ của điểm  M

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: OM=2i+jOM=2.i+1.j+0.kM(2;1;0)

Câu 2 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OM=2jkON=2j3i. Tọa độ của MN là: 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: MN=ONOM=(2j3i)(2jk)=3i+k

Suy ra MN=(3;0;1).

Câu 3 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2;3),B(1;0;1).  Gọi M là trung điểm đoạn  AB. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có: BA=(01;20;3+1)=(1;2;4). Suy ra A sai.

Suy ra AB=(1;2;4), D sai.

AB=12+22+(4)2=21. B đúng.

M là trung điểm của AB nên M(12;1;1), C sai.

Câu 4 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;3;5),N(6;4;1) và đặt  u=|MN|. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có MN=(62;4+3;15)=(4;1;6).

Do đó|MN|=42+(1)2+(6)2=53

Câu 5 Trắc nghiệm

Trong không gian Oxyz cho ba vecto a=(1;1;0),b=(1;1;0),c=(1;1;1). Mệnh đề nào dưới đây sai?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Kiểm tra lần lượt các điều kiện

{|a|=(1)2+12+02=2|c|=12+12+12=3a.b=(1).1+1.1+0.0=0ab

Lại có: b.c=1.1+1.1+0.1=20 nên bc không vuông góc.

Câu 6 Trắc nghiệm

Trong không gian Oxyz cho 3 véc tơ: a(4;2;5),b(3;1;3),c(2;0;1). Kết luận nào sau đây đúng 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Tính [a,b]=(|2513|;|5433|;|4231|)=(1;3;2). Suy ra loại A

Tính [a,b].c=(1;3;2).(2;0;1)=0. Suy ra a,b,c đồng phẳng.

Câu 7 Trắc nghiệm

Cho tam giác ABC biết A(2;4;3) và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là G(2;1;0). Khi đó AB+AC có tọa độ là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có AB+AC=2AM.

Do tính chất trọng tâm có AM=32AG. Suy raAB+AC=3AG.

AG=(22;14;0(3))=(0;3;3). Suy ra 3AG=(0;9;9).

Câu 8 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ab thỏa mãn |a|=23,|b|=3(a,b)=300. Độ dài của vectơ [5a,2b] bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Chú ý rằng (5a,2b)=1800(a,b)=1500.

Sử dụng công thức |[ma,nb]|=|m.n|.|a|.|b|.sin(ma,nb), ta được

|[5a,2b]|=|5.(2)|.23.3.sin1500=303.

Câu 9 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1),B(2;1;3),C(3;5;1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

AB=(21;12;3+1)=(1;3;4)DC=(3xD;5yD;1zD).

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB=DC{3xD=15yD=31zD=4{xD=4yD=8zD=3

Câu 10 Trắc nghiệm

Cho hình bình hành ABCD với A(2;4;4),B(1;1;3),C(2;0;5),D(1;3;4). Diện tích của hình bình hành ABCD bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

AB=(12;14;3+4)=(1;3;1)AC=(22;04;5+4)=(4;4;9).

Tính [AB,AC]=(|3149|;|1194|;|1344|)=(23;5;8).

Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành có

SABCD=|[AB,AC]|=(23)2+52+(8)2=618

Câu 11 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, các điểm A(1;2;3),B(3;3;4),C(1;1;2) sẽ:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

AB=(31;32;43)=(2;1;1)AC=(11;12;23)=(2;1;1).

Nhận thấy ABAC là hai vectơ đối nhau.

Câu 12 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a=(3;1;2),b=(1;2;m)c=(5;1;7). Giá trị m bằng bao nhiêu để c=[a,b]

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: [a,b]=(|122m|;|23m1|;|3112|)=(m+4;23m;7)

c=[a,b]{m+4=523m=17=7m=1

Câu 13 Trắc nghiệm

Cho hai điểm A(1;2;1)B(1;3;1). Tọa độ điểm M nằm trên trục tung sao cho tam giác ABM vuông tại M .

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

M nằm trên trục tung, giả sử M(0;m;0). Ta có

MA=(1;2m;1) và   MB=(1;3m;1)

Vì tam giác ABM vuông tại M nên ta có MA.MB=0 1.(1)+(2m)(3m)+(1).1=0m25m+4=0[m=1m=4 

Câu 14 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểmA(1;1;1),B(1;1;0)C(3;1;1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy)  và cách đều các điểm A,B,C .

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

M thuộc mặt phẳng (Oxy), giả sử M(m;n;0).

Ta có

MA=(m1)2+(n1)2+(01)2=(m1)2+(n1)2+1MB=(m+1)2+(n+1)2+(00)2=(m+1)2+(n+1)2MC=(m3)2+(n1)2+(0+1)2=(m3)2+(n1)2+1

M cách đều ba điểm A,B,C nên ta có MA = MB = MC.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MA = MC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = M{B^2}\\M{A^2} = M{C^2}\end{array} \right.

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m - 1)^2} + {(n - 1)^2} + 1 = {(m + 1)^2} + {(n + 1)^2}\\{(m - 1)^2} + {(n - 1)^2} + 1 = {(m - 3)^2} + {(n - 1)^2} + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 4n = 1\\4m = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n =  - \dfrac{7}{4}\end{array} \right.\end{array}

Vậy M\left( {2; - \dfrac{7}{4};0} \right) 

Câu 15 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho hai điểm  A(1;4;2) , B( - 1;2;4). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz  sao cho :M{A^2} + M{B^2} = 32.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

M nằm trên trục Oz, giả sử M(0;0;m).

Ta có

\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(0 - 4)}^2} + {{(m - 2)}^2}}  = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 17} \\MB = \sqrt {{{(0 + 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(m - 4)}^2}}  = \sqrt {{{(m - 4)}^2} + 5} \end{array}

Theo giả thiết M{A^2} + M{B^2} = 32 suy ra ta có

\begin{array}{l}{(m - 2)^2} + 17 + {(m - 4)^2} + 5 = 32\\ \Leftrightarrow {(m - 2)^2} + {(m - 4)^2} = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 12m + 20 = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 12m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\end{array}

Vậy M(0;0;1) hoặc M(0;0;5)

Câu 16 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm  A(0;2; - 1) , B(2;0;1). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox sao cho :M{A^2} + M{B^2} đạt giá trị bé nhất.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

M nằm trên trục Ox, giả sử M(m;0;0).

Ta có

\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}}  = \sqrt {{m^2} + 5} \\MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}}  = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} \end{array}

Suy ra

M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10

= 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8

\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.

Vậy M(1;0;0)

Câu 17 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABCA\left( {1;2; - 1} \right), B\left( {2; - 1;3} \right), C\left( { - 4;7;5} \right). Tọa độ chân đường phân giác trong góc \widehat B của tam giác ABC là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Gọi D là chân đường phân giác trong góc \widehat B của tam giác ABC

Ta có \overrightarrow {DA}  =  - \dfrac{{BA}}{{BC}}\overrightarrow {DC} . Tính được BA = \sqrt {26} , BC = \sqrt {104} .

Suy ra \overrightarrow {DA}  =  - \dfrac{{\sqrt {26} }}{{\sqrt {104} }}\overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  =  - 2\overrightarrow {DA} .

Gọi D\left( {x;y;z} \right). Từ \overrightarrow {DC}  =  - 2\overrightarrow {DA}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - x =  - 2\left( {1 - x} \right)\\7 - y =  - 2\left( {2 - y} \right)\\5 - z =  - 2\left( { - 1 - z} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2/3\\y = 11/3\\z = 1\end{array} \right..

Câu 18 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A\left( {1;0;1} \right), ~B\left( 2;1;2 \right)D\left( {1; - 1;1} \right)C'(4;5; - 5).  Khi đó, thể tích của hình hộp đó là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có \overrightarrow {AB}  = (1;1;1),\overrightarrow {AD}  = (0; - 1;0)

ABCD.A'B'C'D' là hình hộp \Rightarrow ABCD là hình bình hành. Khi đó ta có \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}

Giả sử C(x;y;z) . Ta có: \overrightarrow {BC}  = (x - 2;y - 1;z - 2)

 \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 1 =  - 1\\z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow C(2;0;2)

Ta có \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'}  = \left( {2;5; - 7} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AD} } \right]{\rm{ = }}(1;0; - 1)

Theo công thức tính thể tích ta có

{V_{ABCD.A'B'C'D}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AD} } \right]{\rm{.}}\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {1.2 + 0.5 + \left( { - 1} \right).\left( { - 7} \right)} \right| = 9

Câu 19 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,  cho tứ diện ABCD  có A(2; - 1;1), B(3;0; - 1), C(2; - 1;3)D thuộc trục Oy . Tính tổng tung độ của các điểm D, biết thể tích tứ diện bằng 5 .

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Giả sử D\left( {0;y;0} \right) \in Oy ta có:

\overrightarrow {AB}  = (1;1; - 2),\overrightarrow {AC}  = (0;0;2),\overrightarrow {AD}  = ( - 2;y + 1; - 1)

Ta có \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 2;0} \right)

Theo công thức tính thể tích ta có

{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {2.( - 2) - 2.(y + 1) + 0.( - 1)} \right]} \right| = \dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right|

Theo giả thiết ta có {V_{ABCD}} = 5, suy ra ta có:

\dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {6 + 2y} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 6 = 30\\2y + 6 =  - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\\y =  - 18\end{array} \right.

Suy ra  D(0;12;0) hoặc D(0; - 18;0)

Do đó tổng tung độ của các điểm D12 + ( - 18) =  - 6

Câu 20 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \vec a = \left( {1;m;2} \right),\vec b = \left( {m + 1;2;1} \right)\vec c = \left( {0;m - 2;2} \right). Giá trị m bằng bao nhiêu để ba vectơ \vec a,\vec b,\vec c đồng phẳng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có

\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{m + 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&m\\{m + 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {m - 4;2m + 1;2 - {m^2} - m} \right)

\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m)

\vec a,\vec b,\vec c đồng phẳng khi

\begin{array}{l}\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = 0 \Leftrightarrow (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m) = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + m - 2 + 4 - 2{m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow  - 5m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{5}\end{array}