Bài toán về điểm và vectơ
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j\). Tọa độ của điểm $M$ là
Ta có: \(\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j \Rightarrow \overrightarrow {OM} = 2.\vec i + 1.\vec j + 0.\overrightarrow k \Leftrightarrow M\left( {2;1;0} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho \(\overrightarrow {OM} = 2\vec j - \vec k\) và \(\overrightarrow {ON} = 2\vec j - 3\vec i\). Tọa độ của \(\overrightarrow {MN} \) là:
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( {2\vec j - 3\vec i} \right) - \left( {2\vec j - \vec k} \right) = - 3\vec i + \vec k\)
Suy ra $\overrightarrow {MN} = \left( { - 3;0;1} \right)$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 2;3} \right),B\left( {1;0; - 1} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $AB$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có: \(\overrightarrow {BA} = (0 - 1; - 2 - 0;3 + 1) = ( - 1; - 2;4)\). Suy ra A sai.
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = (1;2; - 4)\), D sai.
Có \(AB = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} = \sqrt {21} \). B đúng.
Mà \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(M\left( {\frac{1}{2}; - 1;1} \right)\), C sai.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {2; - 3;5} \right),N\left( {6; - 4; - 1} \right)$ và đặt \(u = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Ta có \(\overrightarrow {MN} = (6 - 2; - 4 + 3; - 1 - 5) = (4; - 1; - 6)\).
Do đó\(|\overrightarrow {MN} | = \sqrt {{4^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {53} \)
Trong không gian $Oxyz$ cho ba vecto \(\vec a = \left( { - 1;1;0} \right),\vec b = \left( {1;1;0} \right),\vec c = \left( {1;1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
Kiểm tra lần lượt các điều kiện
\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \\\left| {\vec c} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \\\vec a.\vec b = ( - 1).1 + 1.1 + 0.0 = 0 \Rightarrow \vec a \bot \vec b\end{array} \right.\)
Lại có: \(\overrightarrow b .\overrightarrow c = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 \ne 0\) nên \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \) không vuông góc.
Trong không gian $Oxyz$ cho $3$ véc tơ: \(\vec a\left( {4;2;5} \right),\vec b\left( {3;1;3} \right),\vec c\left( {2;0;1} \right)\). Kết luận nào sau đây đúng
Tính \(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\1&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&4\\3&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\3&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\). Suy ra loại A
Tính \(\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = \left( {1;3; - 2} \right).\left( {2;0;1} \right) = 0\). Suy ra \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng.
Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {2;4; - 3} \right)$ và trọng tâm $G$ của tam giác có toạ độ là $G\left( {2;1;0} \right)$. Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) có tọa độ là
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \).
Do tính chất trọng tâm có \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG} \). Suy ra\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \).
Mà \(\overrightarrow {AG} = \left( {2 - 2;1 - 4;0 - ( - 3)} \right) = \left( {0; - 3;3} \right)\). Suy ra \(3\overrightarrow {AG} = (0; - 9;9)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt 3 ,{\rm{ }}\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\) và $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {30^0}$. Độ dài của vectơ \(\left[ {5\overrightarrow a , - 2\overrightarrow b } \right]\) bằng:
Chú ý rằng \(\left( {5\overrightarrow a , - 2\overrightarrow b } \right) = {180^0} - \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {150^0}.\)
Sử dụng công thức \(\left| {\left[ {m\vec a,n\vec b} \right]} \right| = \left| {m.n} \right|.\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\sin \left( {m\vec a,n\vec b} \right)\), ta được
\(\left| {\left[ {5\overrightarrow a , - 2\overrightarrow b } \right]} \right| = \left| {5.\left( { - 2} \right)} \right|.2\sqrt 3 .3.\sin {150^0} = 30\sqrt 3 .\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2; - 1;3} \right),C\left( { - 3;5;1} \right)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1; - 1 - 2;3 + 1} \right) = \left( {1; - 3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {DC} = ( - 3 - {x_D};5 - {y_D};1 - {z_D})\).
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - {x_D} = 1\\5 - {y_D} = - 3\\1 - {z_D} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 4\\{y_D} = 8\\{z_D} = - 3\end{array} \right.\)
Cho hình bình hành $ABCD$ với $A\left( {2;4; - 4} \right),B\left( {1;1; - 3} \right),C\left( { - 2;0;5} \right),D\left( { - 1;3;4} \right)$. Diện tích của hình bình hành $ABCD$ bằng
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 2;1 - 4; - 3 + 4} \right) = \left( { - 1; - 3;1} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2 - 2;0 - 4;5 + 4} \right) = \left( { - 4; - 4;9} \right)\).
Tính \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 4}&9\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\9&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 3}\\{ - 4}&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 23;5; - 8} \right)\).
Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành có
\({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \sqrt {{{( - 23)}^2} + {5^2} + {{( - 8)}^2}} = \sqrt {618} \)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, các điểm $A\left( {1;2;3} \right),B\left( {3;3;4} \right),C\left( { - 1;1;2} \right)$ sẽ:
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1;3 - 2;4 - 3} \right) = \left( {2;1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1 - 1;1 - 2;2 - 3} \right) = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\).
Nhận thấy \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ đối nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba vectơ \(\vec a = \left( {3; - 1; - 2} \right),\vec b = \left( {1;2;m} \right)\) và \(\vec c = \left( {5;1;7} \right)\). Giá trị \(m\) bằng bao nhiêu để \(\vec c = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\).
Ta có: \(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\2&m\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\m&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right)\)
\(\vec c = \left[ {\vec a,\vec b} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 4 = 5\\ - 2 - 3m = 1\\7 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\)
Cho hai điểm \(A(1;2; - 1)\) và \(B( - 1;3;1)\). Tọa độ điểm $M$ nằm trên trục tung sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $M$ .
$M$ nằm trên trục tung, giả sử \(M(0;m;0)\). Ta có
\(\overrightarrow {MA} = (1;2 - m; - 1)\) và $\overrightarrow {MB} = ( - 1;3 - m;1)$
Vì tam giác $ABM$ vuông tại $M$ nên ta có \(\overrightarrow {MA.} \overrightarrow {MB} = 0\) \( \Leftrightarrow 1.( - 1) + (2 - m)(3 - m) + ( - 1).1 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm\(A(1;1;1),B( - 1; - 1;0)\) và \(C(3;1; - 1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\left( {Oxy} \right)$ và cách đều các điểm \(A,B,C\) .
$M$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, giả sử \(M(m;n;0)\).
Ta có
\(\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} \\MB = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}} \\MC = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} \end{array}\)
Vì $M$ cách đều ba điểm $A,B,C$ nên ta có $MA = MB = MC$.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MA = MC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = M{B^2}\\M{A^2} = M{C^2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m - 1)^2} + {(n - 1)^2} + 1 = {(m + 1)^2} + {(n + 1)^2}\\{(m - 1)^2} + {(n - 1)^2} + 1 = {(m - 3)^2} + {(n - 1)^2} + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 4n = 1\\4m = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = - \dfrac{7}{4}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(M\left( {2; - \dfrac{7}{4};0} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(1;4;2)\) , \(B( - 1;2;4)\). Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2} = 32\).
$M$ nằm trên trục $Oz$, giả sử \(M(0;0;m)\).
Ta có
\(\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(0 - 4)}^2} + {{(m - 2)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 17} \\MB = \sqrt {{{(0 + 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(m - 4)}^2}} = \sqrt {{{(m - 4)}^2} + 5} \end{array}\)
Theo giả thiết \(M{A^2} + M{B^2} = 32\) suy ra ta có
\(\begin{array}{l}{(m - 2)^2} + 17 + {(m - 4)^2} + 5 = 32\\ \Leftrightarrow {(m - 2)^2} + {(m - 4)^2} = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 12m + 20 = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 12m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(M(0;0;1)\) hoặc \(M(0;0;5)\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
$M$ nằm trên trục $Ox$, giả sử \(M(m;0;0)\).
Ta có
\(\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + 5} \\MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} \end{array}\)
Suy ra
\(M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10 \)
$= 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8$
\(\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Vậy \(M(1;0;0)\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\). Tọa độ chân đường phân giác trong góc \(\widehat B\) của tam giác \(ABC\) là:
Gọi \(D\) là chân đường phân giác trong góc \(\widehat B\) của tam giác \(ABC\)
Ta có \(\overrightarrow {DA} = - \dfrac{{BA}}{{BC}}\overrightarrow {DC} \). Tính được \(BA = \sqrt {26} \), \(BC = \sqrt {104} \).
Suy ra \(\overrightarrow {DA} = - \dfrac{{\sqrt {26} }}{{\sqrt {104} }}\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} \).
Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Từ \(\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = - 2\left( {1 - x} \right)\\7 - y = - 2\left( {2 - y} \right)\\5 - z = - 2\left( { - 1 - z} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2/3\\y = 11/3\\z = 1\end{array} \right.\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A\left( {1;0;1} \right)$, $~B\left( 2;1;2 \right)$, $D\left( {1; - 1;1} \right)$ và \(C'(4;5; - 5)\). Khi đó, thể tích của hình hộp đó là:
Ta có \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1),\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)\)
$ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp \( \Rightarrow ABCD\) là hình bình hành. Khi đó ta có \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)
Giả sử \(C(x;y;z)\) . Ta có: \(\overrightarrow {BC} = (x - 2;y - 1;z - 2)\)
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 1 = - 1\\z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow C(2;0;2)\)
Ta có \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} = \left( {2;5; - 7} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AD} } \right]{\rm{ = }}(1;0; - 1)\)
Theo công thức tính thể tích ta có
\({V_{ABCD.A'B'C'D}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AD} } \right]{\rm{.}}\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {1.2 + 0.5 + \left( { - 1} \right).\left( { - 7} \right)} \right| = 9\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện \(ABCD\) có \(A(2; - 1;1)\), \(B(3;0; - 1)\), \(C(2; - 1;3)\) và $D$ thuộc trục $Oy$ . Tính tổng tung độ của các điểm $D$, biết thể tích tứ diện bằng $5$ .
Giả sử \(D\left( {0;y;0} \right) \in Oy\) ta có:
\(\overrightarrow {AB} = (1;1; - 2),\overrightarrow {AC} = (0;0;2),\overrightarrow {AD} = ( - 2;y + 1; - 1)\)
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 2;0} \right)\)
Theo công thức tính thể tích ta có
\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {2.( - 2) - 2.(y + 1) + 0.( - 1)} \right]} \right| = \dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right|\)
Theo giả thiết ta có \({V_{ABCD}} = 5\), suy ra ta có:
\(\dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {6 + 2y} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 6 = 30\\2y + 6 = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\\y = - 18\end{array} \right.\)
Suy ra \(D(0;12;0)\) hoặc \(D(0; - 18;0)\)
Do đó tổng tung độ của các điểm $D$ là \(12 + ( - 18) = - 6\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec a = \left( {1;m;2} \right),\vec b = \left( {m + 1;2;1} \right)$ và \(\vec c = \left( {0;m - 2;2} \right)\). Giá trị \(m\) bằng bao nhiêu để ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng
Ta có
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{m + 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&m\\{m + 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {m - 4;2m + 1;2 - {m^2} - m} \right)\)
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m)\)
\(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng khi
\(\begin{array}{l}\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = 0 \Leftrightarrow (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m) = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + m - 2 + 4 - 2{m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow - 5m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{5}\end{array}\)
