Bài toán về điểm và vectơ
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức →OM=2→i+→j. Tọa độ của điểm M là
Ta có: →OM=2→i+→j⇒→OM=2.→i+1.→j+0.→k⇔M(2;1;0)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho →OM=2→j−→k và →ON=2→j−3→i. Tọa độ của →MN là:
Ta có: →MN=→ON−→OM=(2→j−3→i)−(2→j−→k)=−3→i+→k
Suy ra →MN=(−3;0;1).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−2;3),B(1;0;−1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có: →BA=(0−1;−2−0;3+1)=(−1;−2;4). Suy ra A sai.
Suy ra →AB=(1;2;−4), D sai.
Có AB=√12+22+(−4)2=√21. B đúng.
Mà M là trung điểm của AB nên M(12;−1;1), C sai.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;−3;5),N(6;−4;−1) và đặt u=|→MN|. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Ta có →MN=(6−2;−4+3;−1−5)=(4;−1;−6).
Do đó|→MN|=√42+(−1)2+(−6)2=√53
Trong không gian Oxyz cho ba vecto →a=(−1;1;0),→b=(1;1;0),→c=(1;1;1). Mệnh đề nào dưới đây sai?
Kiểm tra lần lượt các điều kiện
{|→a|=√(−1)2+12+02=√2|→c|=√12+12+12=√3→a.→b=(−1).1+1.1+0.0=0⇒→a⊥→b
Lại có: →b.→c=1.1+1.1+0.1=2≠0 nên →b và →c không vuông góc.
Trong không gian Oxyz cho 3 véc tơ: →a(4;2;5),→b(3;1;3),→c(2;0;1). Kết luận nào sau đây đúng
Tính [→a,→b]=(|2513|;|5433|;|4231|)=(1;3;−2). Suy ra loại A
Tính [→a,→b].→c=(1;3;−2).(2;0;1)=0. Suy ra →a,→b,→c đồng phẳng.
Cho tam giác ABC biết A(2;4;−3) và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là G(2;1;0). Khi đó →AB+→AC có tọa độ là
Gọi M là trung điểm của BC. Ta có →AB+→AC=2→AM.
Do tính chất trọng tâm có →AM=32→AG. Suy ra→AB+→AC=3→AG.
Mà →AG=(2−2;1−4;0−(−3))=(0;−3;3). Suy ra 3→AG=(0;−9;9).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ →a và →b thỏa mãn |→a|=2√3,|→b|=3 và (→a,→b)=300. Độ dài của vectơ [5→a,−2→b] bằng:
Chú ý rằng (5→a,−2→b)=1800−(→a,→b)=1500.
Sử dụng công thức |[m→a,n→b]|=|m.n|.|→a|.|→b|.sin(m→a,n→b), ta được
|[5→a,−2→b]|=|5.(−2)|.2√3.3.sin1500=30√3.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;−1),B(2;−1;3),C(−3;5;1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Có →AB=(2−1;−1−2;3+1)=(1;−3;4) và →DC=(−3−xD;5−yD;1−zD).
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi →AB=→DC⇔{−3−xD=15−yD=−31−zD=4⇔{xD=−4yD=8zD=−3
Cho hình bình hành ABCD với A(2;4;−4),B(1;1;−3),C(−2;0;5),D(−1;3;4). Diện tích của hình bình hành ABCD bằng
Có →AB=(1−2;1−4;−3+4)=(−1;−3;1) và →AC=(−2−2;0−4;5+4)=(−4;−4;9).
Tính [→AB,→AC]=(|−31−49|;|1−19−4|;|−1−3−4−4|)=(−23;5;−8).
Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành có
SABCD=|[→AB,→AC]|=√(−23)2+52+(−8)2=√618
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, các điểm A(1;2;3),B(3;3;4),C(−1;1;2) sẽ:
Có →AB=(3−1;3−2;4−3)=(2;1;1) và →AC=(−1−1;1−2;2−3)=(−2;−1;−1).
Nhận thấy →AB và →AC là hai vectơ đối nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ →a=(3;−1;−2),→b=(1;2;m) và →c=(5;1;7). Giá trị m bằng bao nhiêu để →c=[→a,→b].
Ta có: [→a,→b]=(|−1−22m|;|−23m1|;|3−112|)=(−m+4;−2−3m;7)
→c=[→a,→b]⇔{−m+4=5−2−3m=17=7⇔m=−1
Cho hai điểm A(1;2;−1) và B(−1;3;1). Tọa độ điểm M nằm trên trục tung sao cho tam giác ABM vuông tại M .
M nằm trên trục tung, giả sử M(0;m;0). Ta có
→MA=(1;2−m;−1) và →MB=(−1;3−m;1)
Vì tam giác ABM vuông tại M nên ta có →MA.→MB=0 ⇔1.(−1)+(2−m)(3−m)+(−1).1=0⇔m2−5m+4=0⇔[m=1m=4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểmA(1;1;1),B(−1;−1;0) và C(3;1;−1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) và cách đều các điểm A,B,C .
M thuộc mặt phẳng (Oxy), giả sử M(m;n;0).
Ta có
MA=√(m−1)2+(n−1)2+(0−1)2=√(m−1)2+(n−1)2+1MB=√(m+1)2+(n+1)2+(0−0)2=√(m+1)2+(n+1)2MC=√(m−3)2+(n−1)2+(0+1)2=√(m−3)2+(n−1)2+1
Vì M cách đều ba điểm A,B,C nên ta có MA = MB = MC.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MA = MC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = M{B^2}\\M{A^2} = M{C^2}\end{array} \right.
\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m - 1)^2} + {(n - 1)^2} + 1 = {(m + 1)^2} + {(n + 1)^2}\\{(m - 1)^2} + {(n - 1)^2} + 1 = {(m - 3)^2} + {(n - 1)^2} + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 4n = 1\\4m = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = - \dfrac{7}{4}\end{array} \right.\end{array}
Vậy M\left( {2; - \dfrac{7}{4};0} \right)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) , B( - 1;2;4). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho :M{A^2} + M{B^2} = 32.
M nằm trên trục Oz, giả sử M(0;0;m).
Ta có
\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(0 - 4)}^2} + {{(m - 2)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 17} \\MB = \sqrt {{{(0 + 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(m - 4)}^2}} = \sqrt {{{(m - 4)}^2} + 5} \end{array}
Theo giả thiết M{A^2} + M{B^2} = 32 suy ra ta có
\begin{array}{l}{(m - 2)^2} + 17 + {(m - 4)^2} + 5 = 32\\ \Leftrightarrow {(m - 2)^2} + {(m - 4)^2} = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 12m + 20 = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 12m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\end{array}
Vậy M(0;0;1) hoặc M(0;0;5)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2; - 1) , B(2;0;1). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox sao cho :M{A^2} + M{B^2} đạt giá trị bé nhất.
M nằm trên trục Ox, giả sử M(m;0;0).
Ta có
\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + 5} \\MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} \end{array}
Suy ra
M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10
= 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8
\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.
Vậy M(1;0;0)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A\left( {1;2; - 1} \right), B\left( {2; - 1;3} \right), C\left( { - 4;7;5} \right). Tọa độ chân đường phân giác trong góc \widehat B của tam giác ABC là:
Gọi D là chân đường phân giác trong góc \widehat B của tam giác ABC
Ta có \overrightarrow {DA} = - \dfrac{{BA}}{{BC}}\overrightarrow {DC} . Tính được BA = \sqrt {26} , BC = \sqrt {104} .
Suy ra \overrightarrow {DA} = - \dfrac{{\sqrt {26} }}{{\sqrt {104} }}\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} .
Gọi D\left( {x;y;z} \right). Từ \overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = - 2\left( {1 - x} \right)\\7 - y = - 2\left( {2 - y} \right)\\5 - z = - 2\left( { - 1 - z} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2/3\\y = 11/3\\z = 1\end{array} \right..
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A\left( {1;0;1} \right), ~B\left( 2;1;2 \right), D\left( {1; - 1;1} \right) và C'(4;5; - 5). Khi đó, thể tích của hình hộp đó là:
Ta có \overrightarrow {AB} = (1;1;1),\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)
ABCD.A'B'C'D' là hình hộp \Rightarrow ABCD là hình bình hành. Khi đó ta có \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}
Giả sử C(x;y;z) . Ta có: \overrightarrow {BC} = (x - 2;y - 1;z - 2)
\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 1 = - 1\\z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow C(2;0;2)
Ta có \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} = \left( {2;5; - 7} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AD} } \right]{\rm{ = }}(1;0; - 1)
Theo công thức tính thể tích ta có
{V_{ABCD.A'B'C'D}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AD} } \right]{\rm{.}}\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {1.2 + 0.5 + \left( { - 1} \right).\left( { - 7} \right)} \right| = 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2; - 1;1), B(3;0; - 1), C(2; - 1;3) và D thuộc trục Oy . Tính tổng tung độ của các điểm D, biết thể tích tứ diện bằng 5 .
Giả sử D\left( {0;y;0} \right) \in Oy ta có:
\overrightarrow {AB} = (1;1; - 2),\overrightarrow {AC} = (0;0;2),\overrightarrow {AD} = ( - 2;y + 1; - 1)
Ta có \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 2;0} \right)
Theo công thức tính thể tích ta có
{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {2.( - 2) - 2.(y + 1) + 0.( - 1)} \right]} \right| = \dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right|
Theo giả thiết ta có {V_{ABCD}} = 5, suy ra ta có:
\dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {6 + 2y} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 6 = 30\\2y + 6 = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\\y = - 18\end{array} \right.
Suy ra D(0;12;0) hoặc D(0; - 18;0)
Do đó tổng tung độ của các điểm D là 12 + ( - 18) = - 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \vec a = \left( {1;m;2} \right),\vec b = \left( {m + 1;2;1} \right) và \vec c = \left( {0;m - 2;2} \right). Giá trị m bằng bao nhiêu để ba vectơ \vec a,\vec b,\vec c đồng phẳng
Ta có
\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{m + 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&m\\{m + 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {m - 4;2m + 1;2 - {m^2} - m} \right)
\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m)
\vec a,\vec b,\vec c đồng phẳng khi
\begin{array}{l}\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = 0 \Leftrightarrow (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m) = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + m - 2 + 4 - 2{m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow - 5m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{5}\end{array}