Bài tập ôn tập chương 1: Số tự nhiên

Ta có

$\begin{array}{l}A = \left( {6888:56-{{11}^2}} \right).152 + 13.72 + 13.28\\\,\,\,\,\,\, = \left( {6888:56 - 121} \right).152 + 13.72 + 13.28\\\,\,\,\,\,\, = \left( {123 - 121} \right).152 + 13.72 + 13.28\\\,\,\,\,\,\, = 2.152 + 13.\left( {72 + 28} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.152 + 13.100\\\,\,\,\,\,\, = 304 + 1300\\\,\,\,\,\,\, = 1604\end{array}$                    $\begin{array}{l}B = \left[ {5082:\left( {{{17}^{29}}:{{17}^{27}}-{{16}^2}} \right) + 13.12} \right]:31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = \left[ {5082:\left( {{{17}^{29 - 27}}-{{16}^2}} \right) + 13.12} \right]:31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = \left[ {5082:\left( {{{17}^2}-{{16}^2}} \right) + 13.12} \right]:31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = \left[ {5082:\left( {289 - 256} \right) + 13.12} \right]:31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = \left( {5082:33 + 13.12} \right):31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = \left( {154 + 156} \right):31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = 310:31 + 81\\\,\,\,\,\, = 10 + 81 = 91.\end{array}$

Suy ra $A - 2B = 1422.$

Do $x \vdots 5;x \vdots 6 \Rightarrow x \in BC\left( {5;6} \right) = \left\{ {0;30;60;90;120;...} \right\}$

Mà $0 < x < 100$ nên $x \in \left\{ {30;60;90} \right\}$.

Vậy $x \in \left\{ {30;60;90} \right\}$.

Ta có $A = 18 + 36 + 72 + 2x$ mà $A \vdots 9;18 \vdots 9;36 \vdots 9;72 \vdots 9 \Rightarrow 2x \vdots 9 \Rightarrow x \vdots 9$

Mà $45 < x < 55 \Rightarrow x = 54$

Vậy $x = 54$.

Gọi số học sinh khối 6 là $x\left( {x \in {N^*}} \right)$ (học sinh)

Theo bài ra ta có:

$x \vdots 10,x \vdots 12;x \vdots 15 \Rightarrow x \in BC\left( {10;12;15} \right)$ và $100 \le x \le 150$.

Ta có

$\begin{array}{l}10 = 2.5;12 = {2^2}.3;15 = 3.5\\ \Rightarrow BCNN(10;12;15) = {2^2}.3.5 = 60\\ \Rightarrow BC\left( {10;12;15} \right) = \left\{ {0;60;120;180;...} \right\}\\ \Rightarrow x \in  \left\{ {0;60;120;180;...} \right\} \end{array}$

Mà $100 \le x \le 150$ nên $x = 120$.

Vậy số học sinh khổi 6 là $120$ bạn.

Ta có:

$\begin{array}{l}{202^{303}} = {202^{3.101}} = {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}\\{303^{202}} = {303^{2.101}} = {\left( {{{303}^2}} \right)^{101}}\end{array}$

Ta so sánh ${202^3}$ và ${303^2}$

$\begin{array}{l}{202^3} = {\left( {2.101} \right)^3} = {2^3}{.101^3} = {2^3}{.101^{1 + 2}} = {2^3}{.101.101^2} = {8.101.101^2} = {808.101^2}\\{303^2} = {\left( {3.101} \right)^2} = {3^2}{.101^2} = {9.101^2}\end{array}$

Vì $9 < 808$ nên ${9.101^2} < {808.101^2}$ hay ${303^2} < {202^3}$

Do đó ${\left( {{{303}^2}} \right)^{101}} < {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}$

Vậy ${303^{202}} < {202^{303}}$ .

Gọi số đĩa cần chẩn bị là x cái $\left( {x \in {N^*}} \right)$  
Vì số bánh, kẹo và quýt được chia đều vào các đĩa nên: $840\;\, \vdots x{\rm{ }};{\rm{ }}2352\,\; \vdots \;x{\rm{ }};{\rm{ }}560\;\, \vdots \;x$  
Và $x$ là lớn nhất nên $x =$ƯCLN$\left( {840;2352;560} \right)$
Ta có: $840 = {2^3}.3.5.7;560 = {2^4}.5.7;2352 = {2^4}{.3.7^2}$

Suy ra  ƯCLN$\left( {840;{\rm{ }}2352;{\rm{ }}560} \right){\rm{ }} = \;{2^3}.7\; = 56$
Vậy số đĩa nhiều nhất cần chuẩn bị là $56$ .

$\begin{array}{l}{5^x} + {5^{x + 2}} = 650\\{5^x} + {5^x}{.5^2} = 650\\{5^x} + {5^x}.25 = 650\\{5^x}.\left( {1 + 25} \right) = 650\\{5^x}.26 = 650\\{5^x} = 650:26\\{5^x} = 25\\{5^x} = {5^2}\\x = 2\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}28.231 + 69.28 + 72.231 + 69.72\\ = \left( {28.231 + 69.28} \right) + \left( {72.231 + 69.72} \right)\\ = 28.\left( {231 + 69} \right) + 72.\left( {231 + 69} \right)\\ = 28.300 + 72.300\\ = 300.\left( {28 + 72} \right)\\ = 300.100\\ = 30000\end{array}$

Nhận thấy số 30000 gần với số 30005  nhất trong các đáp án  nên chọn A.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\;\left( {2x-130} \right):4 + 213 = {5^2} + 193\\\,\,\,\,\,\,\left( {2x-130} \right):4 + 213 = 25 + 193\\\,\,\,\,\,\,\left( {2x-130} \right):4 + 213 = 218\\\,\,\,\,\,\,\left( {2x-130} \right):4= 218 - 213\\\,\,\,\,\,\,\left( {2x-130} \right):4= 5\\\,\,\,\,\,\,\,2x-130= 5.4\\\,\,\,\,\,\,\,2x-130= 20\\\,\,\,\,\,\,\,2x= 20 + 130\\\,\,\,\,\,\,2x= 150\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,x= 150:2\\\,\,\,\,\,\,\,\,x= 75\end{array}$

Ta có

$\begin{array}{l} + )\,{x^3} - {2^3} = {2^5} - \left( {{3^{16}}:{3^{14}} + {2^8}:{2^6}} \right)\\{x^3} - {2^3} = {2^5} - \left( {{3^{16 - 14}} + {2^{8 - 6}}} \right)\\{x^3} - {2^3} = {2^5} - \left( {{3^2} + {2^2}} \right)\\{x^3} - {2^3} = {2^5} - \left( {9 + 4} \right)\\{x^3} - 8 = 32 - 13\\{x^3} - 8 = 19\\{x^3} = 19 + 8\\{x^3} = 27\\{x^3} = {3^3}\\x = 3\end{array}$                    

Suy ra ${x_1} = 3.$              

$\begin{array}{l}{\rm{ + )}}\,2448:\left[ {158 - 7.{{\left( {x - 6} \right)}^3}} \right] = 24\\158 - 7.{\left( {x - 6} \right)^3} = 2448:24\\158 - 7.{\left( {x - 6} \right)^3} = 102\\7.{\left( {x - 6} \right)^3} = 158 - 102\\7.{\left( {x - 6} \right)^3} = 56\\{\left( {x - 6} \right)^3} = 56:7\\{\left( {x - 6} \right)^3} = 8 = {2^3}\\x - 6 = 2\\x = 2 + 6\\x = 8\end{array}$

Suy ra ${x_2} = 8$

Từ đó ta có ${x_1} = 3;{x_2} = 8 \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 24.$

Gọi số có hai chữ số cần tìm là $\overline {ab} \left( {0 < a \le 9;0 \le b \le 9};\, a,b \in N \right)$.

Khi viết thêm chữ số $0$ vào giữa hai chữ số ta được số mới là $\overline {a0b}$ .

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\overline {a0b}  = 7.\overline {ab} \\100.a + b = 7.\left( {10.a + b} \right)\\100.a + b = 70.a + 7.b\\100.a - 70.a = 7.b - b\\30.a = 6.b\\5.a = b\end{array}$

Vì $a,b$ là các chữ số và $a \ne 0$ nên $a = 1;b = 5$ .

Vậy số cần tìm là $15$.

Gọi $n \in \mathbb{N}$  ta có các số: n; n+1; n+2; n+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp.

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}n + \left( {n + 1} \right) + \left( {n + 2} \right) + \left( {n + 3} \right) = 2010\\4.n + 6 = 2010\\4n= 2010 - 6\\4n= 2004\\n = 2004:4\\n = 501.\end{array}$              

Vậy 4 số tự nhiên đó là 501; 502; 503; 504.

Số nhỏ nhất là 501.

Ta chia các số trang của cuốn sách thành 4 nhóm:

+ Nhóm các số có $1$ chữ số (từ trang $1$ đến trang $9$): số chữ số cần dùng là $9$.

+ Nhóm các số có hai chữ số (từ trang $10$ đến trang $99$): số trang sách là: $\left( {99 - 10} \right):1 + 1 = 90$, số chữ số cần dùng là: $90.2 = 180$ .

+ Nhóm các số có $3$ chữ số (từ trang $100$ đến trang $999$): số trang sách là: $\left( {999 - 100} \right):1 + 1 = 900$, số chữ số cần dùng để đánh số trang nhóm này là: $900.3 = 2700$.

+Nhóm các số có $4$ chữ số (từ trang $1000$ đến trang $1031$): số trang sách là: $\left( {1031 - 1000} \right):1 + 1 = 32$ ; số chữ số cần dùng là $32.4 = 128$ .

Vậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang cuốn sách đó là: $9 + 180 + 2700 + 128 = 3017$

$\begin{array}{l}P = 1 + {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}}\\{5^3}.P = {5^3}.\left( {1 + {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}}} \right) = {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}} + {5^{102}}\\125.P = {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}} + {5^{102}}\\ \Rightarrow 125.P - P = \left( {{5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}} + {5^{102}}} \right) - \left( {1 + {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}}} \right)\\ \Rightarrow 124.P = {5^{102}} - 1\end{array}$

Gọi $d = UCLN\left( {14n + 3;21n + 4} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}14n + 3\, \vdots \,d\\21n + 4 \, \vdots \, d\end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l}3\left( {14n + 3} \right) \vdots \, d\\2\left( {21n + 4} \right) \vdots d\end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l}42n + 9 \,\vdots \, d\\42n + 8 \, \vdots \, d\end{array} \right\}\\\Rightarrow\left( {42n + 9} \right) - \left( {42n + 8} \right) \vdots d \Rightarrow 1 \vdots d \Rightarrow d = 1\end{array}$

Vậy $ƯCLN\left( {14n + 3;21n + 4} \right) = 1$ hay hai số đó là hai số nguyên tố cùng nhau.