SBT Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp | Giải SBT Toán lớp 11

a) $\cos 2x-\sin x-1=0$

b) $\cos x\cos 2x=1+\sin x\sin 2x$

c) $4\sin x\cos x\cos 2x=-1$

d) $\tan x=3\cot x$.

Phương pháp giải:

a) Dùng công thức nhân đôi biến đổi $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác.

b) Sử dụng công thức cosin của tổng $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ đẻ rút gọn phương trình.

c) Sử dụng công thức nhân đôi $\sin 2x=2\sin x\cos x$ để rút gọn phương trình.

d) Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Sử dụng công thức $\cot x={\displaystyle \frac{1}{\tan x}}$ để rút gọn phương trình.

Lời giải:

a) Ta có: $\cos 2x-\sin x-1=0$

$\iff 1-2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$

$\iff \sin x(2\sin x+1)=0$

$\iff [\begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$.

b)

Ta có: $\cos x\cos 2x=1+\sin x\sin 2x$

$\iff \cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x=1$

$\iff \cos 3x=1$

$\iff 3x=k2\pi$

$\iff x=k{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},k\in \mathbb{Z}$.

c)

Ta có: $4\sin x\cos x\cos 2x=-1$

$\iff 2\sin 2x\cos 2x=-1$

$\iff \sin 4x=-1$

$\iff 4x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=-{\displaystyle \frac{\pi }{8}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$.

 d)

ĐKXĐ: $\iff \{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \sin x\ne 0\end{array}$

Ta có: $\tan x=3\cot x$

$\iff \tan x={\displaystyle \frac{3}{\tan x}}$

$\iff {\tan }^{2}x=3$

$\iff \tan x=\pm \sqrt{3}$

$\Rightarrow x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.

a) $3{\cos }^{2}x-2\sin x+2=0$

b) $5{\sin }^{2}x+3\cos x+3=0$

c) ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=4{\cos }^{2}2x$

d) $-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\sin }^{2}x={\cos }^{4}x$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ để rút gọn phương trình.

c) Rút gọn phương trình bằng cách:

Thêm bớt $VT$ để có hằng đẳng thức số 3.

Sử dụng công thức ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Sử dụng công thức nhân đôi.

Lời giải:

a) Ta có: $3{\cos }^{2}x-2\sin x+2=0$

$\iff 3(1-{\sin }^{2}x)-2\sin x+2=0$

$\iff 3{\sin }^{2}x+2\sin x-5=0$

$\iff (\sin x-1)(3\sin x+5)=0$

$\iff [\begin{array}{l}\sin x-1=0\\ 3\sin x+5=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}\sin x=1\\ \sin x=-{\displaystyle \frac{5}{3}}\text{(vô nghiệm)}\end{array}$ 

$\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b)

Ta có: $5{\sin }^{2}x+3\cos x+3=0$

$\iff 5(1-{\cos }^{2}x)+3\cos x+3=0$

$\iff 5{\cos }^{2}x-3\cos x-8=0$

$\iff (\cos x+1)(5\cos x-8)=0$

$\iff [\begin{array}{l}\cos x+1=0\\ 5\cos x-8=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}\cos x=-1\\ \cos x={\displaystyle \frac{8}{5}}\text{(vô nghiệm)}\end{array}$ 

$\iff x=(2k+1)\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

 c)

Ta có: ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=4{\cos }^{2}2x$

$\iff {({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}^3-$

$3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$

$=4{\cos }^{2}2x$

$\iff 1-{\displaystyle \frac{3}{4}}{\sin }^{2}2x=4{\cos }^{2}2x$

$\iff 1-{\displaystyle \frac{3}{4}}(1-{\cos }^{2}2x)=4{\cos }^{2}2x$

$\iff {\displaystyle \frac{13}{4}}{\cos }^{2}2x={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$\iff 13\left({\displaystyle \frac{1+\cos 4x}{2}}\right)=1$

$\iff 1+\cos 4x={\displaystyle \frac{2}{13}}$

$\iff \cos 4x=-{\displaystyle \frac{11}{13}}$

$\iff 4x=\pm \arccos \left(-{\displaystyle \frac{11}{13}}\right)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\pm {\displaystyle \frac{1}{4}}\arccos \left(-{\displaystyle \frac{11}{13}}\right)+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$.

 d)

Ta có: $-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\sin }^{2}x={\cos }^{4}x$

$\iff -{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}}={\left({\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{2}}\right)}^2$

$\iff -1+2-2\cos 2x=1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x$

$\iff {\cos }^{2}2x+4\cos 2x=0$

$\iff [\begin{array}{l}\cos 2x=0\\ \cos 2x=-4\text{(vô nghiệm)}\end{array}$

$\iff 2x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$.

a) $2\tan x-3\cot x-2=0$

b) ${\cos }^{2}x=3\sin 2x+3$

c) $\cot x-\cot 2x=\tan x+1$

Phương pháp giải:

a) Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Sử dụng công thức $\cot x={\displaystyle \frac{1}{\tan x}}$ để rút gọn phương trình.

b)

Sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi phương trình.

Ta thấy  không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương trình cho  để rút gọn phương trình.

Sử dụng công thức .

c)

Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Sử dụng công thức $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$, $\cot x={\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}$ và công thức nhân đôi để rút gọn

Lời giải:

a) ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \sin x\ne 0\end{array}$

Ta có: $2\tan x-3\cot x-2=0$

$\iff 2\tan x-{\displaystyle \frac{3}{\tan x}}-2=0$

$\Rightarrow 2{\tan }^{2}x-3-2\tan x=0$

$\iff \tan x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{7}}{2}}$

$\iff [\begin{array}{l}x=\arctan \left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{7}}{2}}\right)+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=\arctan \left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{7}}{2}}\right)+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.

b)

Ta có: ${\cos }^{2}x=3\sin 2x+3$

$\iff {\cos }^{2}x=6\sin x\cos x+3$

Ta thấy $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình.

Với $\cos x\ne 0$ ta chia hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được

$1=6\tan x+{\displaystyle \frac{3}{{\cos }^{2}x}}$

$\iff 1=6\tan x+3(1+{\tan }^{2}x)$

$\iff 3{\tan }^{2}x+6\tan x+2=0$

$\iff \tan x={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{3}}{3}}\iff$

$[\begin{array}{l}x=\arctan \left({\displaystyle \frac{-3+\sqrt{3}}{3}}\right)+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=\arctan \left({\displaystyle \frac{-3-\sqrt{3}}{3}}\right)+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.

c)

ĐKXĐ:

$\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \sin 2x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}$ $\iff \sin 2x\ne 0$ $\iff 2x\ne k\pi$ $\iff x\ne \frac{k\pi }{2}$

Ta có: $\cot x-\cot 2x=\tan x+1$

$\iff {\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}-{\displaystyle \frac{\cos 2x}{\sin 2x}}={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}+1$

$\iff {\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}-{\displaystyle \frac{\cos 2x}{2\sin x\cos x}}={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}+1$

$\Rightarrow 2{\cos }^{2}x-\cos 2x=2{\sin }^{2}x+\sin 2x$

$\iff 2({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)-\cos 2x=\sin 2x$

$\iff 2\cos 2x-\cos 2x=\sin 2x$

$\iff \cos 2x=\sin 2x$

$\begin{array}{l}\iff \tan 2x=1\\ \iff 2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.

a) ${\cos }^{2}x+2\sin x\cos x+5{\sin }^{2}x=2$

b) $3{\cos }^{2}x-2\sin 2x+{\sin }^{2}x=1$

c) $4{\cos }^{2}x-3\sin x\cos x+3{\sin }^{2}x=1$

Phương pháp giải:

a) Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với $\sin$ và $\cos$: $a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=d$

Bước 1: Xét $\cos x=0$ có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi $\cos x\ne 0$

- Chia cả 2 vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được: $a{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}+b{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}+c={\displaystyle \frac{d}{{\cos }^{2}x}}$

- Sử dụng công thức $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$; ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}={\tan }^{2}x+1$ đưa phương trình về dạng: 

$a{\tan }^{2}x+b\tan x+c=d(1+{\tan }^{2}x)$$\iff (a-d){\tan }^{2}x+b\tan x+c-d=0$

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của $\tan$:

$\tan x=\tan \alpha$

$\iff x=\alpha +k\pi ,\in \mathbb{Z}$ và đối chiếu với điều kiện.

b)

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với $\sin$ và $\cos$: $a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=d$

Bước 1: Xét $\cos x=0$ có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi $\cos x\ne 0$

- Chia cả 2 vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được: $a{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}+b{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}+c={\displaystyle \frac{d}{{\cos }^{2}x}}$

- Sử dụng công thức $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$; ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}={\tan }^{2}x+1$ đưa phương trình về dạng: 

$a{\tan }^{2}x+b\tan x+c=d(1+{\tan }^{2}x)$$\iff (a-d){\tan }^{2}x+b\tan x+c-d=0$

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của $\tan$:

$\tan x=\tan \alpha$

$\iff x=\alpha +k\pi ,\in \mathbb{Z}$ và đối chiếu với điều kiện.

c)

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với $\sin$ và $\cos$: $a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=d$

Bước 1: Xét $\cos x=0$ có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi $\cos x\ne 0$

- Chia cả 2 vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được: $a{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}+b{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}+c={\displaystyle \frac{d}{{\cos }^{2}x}}$

- Sử dụng công thức $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$; ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}={\tan }^{2}x+1$ đưa phương trình về dạng: 

$a{\tan }^{2}x+b\tan x+c=d(1+{\tan }^{2}x)$$\iff (a-d){\tan }^{2}x+b\tan x+c-d=0$

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của $\tan$:

$\tan x=\tan \alpha$

$\iff x=\alpha +k\pi ,\in \mathbb{Z}$ và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải:

a) Ta có ${\cos }^{2}x+2\sin x\cos x+5{\sin }^{2}x=2$

Thấy rằng $\cos x=0$ không thỏa mãn phương trình. Với $\cos x\ne 0$, chia hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được

$1+2{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}+5{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}={\displaystyle \frac{2}{{\cos }^{2}x}}$

$\iff 1+2\tan x+5{\tan }^{2}x=2(1+{\tan }^{2}x)$

$\iff 3{\tan }^{2}x+2\tan x-1=0$

$\iff [\begin{array}{l}\tan x=-1\\ \tan x={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=\arctan {\displaystyle \frac{1}{3}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

 b)

Ta có $3{\cos }^{2}x-2\sin 2x+{\sin }^{2}x=1$

Với $\cos x=0$ ta thấy $VT=VP=1$. Vậy phương trình có nghiệm $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

TH $\cos x\ne 0$, chia hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được

$3-4{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}+{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$

$\iff 3-4\tan x+{\tan }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$

$\iff 4\tan x=2$

$\iff \tan x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\iff x=\arctan {\displaystyle \frac{1}{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x=\arctan {\displaystyle \frac{1}{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c)

Ta có $4{\cos }^{2}x-3\sin x\cos x+3{\sin }^{2}x=1$

Thấy rằng $\cos x=0$ không thỏa mãn phương trình. Với $\cos x\ne 0$, chia hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được

$4-3{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}+3{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$

$\iff 4-3\tan x+3{\tan }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$

$\iff 2{\tan }^{2}x-3\tan x+3=0\text{(Vô nghiệm)}$

Vậy phương trình vô nghiệm.

a)  $2\cos x-\sin x=2$

b) $\sin 5x+\cos 5x=-1$

c) $8{\cos }^{4}x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0$

d) ${\sin }^{6}x+{\cos }^6+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 4x=0$

Phương pháp giải:

a) -Phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$

Biến đổi $VT$ phương trình về dạng

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha )$

trong đó $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$, $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$

-Sử dụng công thức $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ để thu gọn phương trình.

b)

-Phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$

Biến đổi $VT$ phương trình về dạng

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha )$

trong đó $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$, $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$

-Sử dụng công thức $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ để thu gọn phương trình.

c)

-Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn phương trình.

-Phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$

Biến đổi $VT$ phương trình về dạng

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha )$

trong đó $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$, $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$

-Sử dụng công thức khai triển $\sin$ của một tổng để thu gọn phương trình.

Lời giải:

a) Ta có $2\cos x-\sin x=2$

$\iff {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\cos x-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}\sin x={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$

Ký hiệu $\alpha$ là góc mà $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$ và $\sin \alpha =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$

Ta thu được phương trình

$\cos \alpha \cos x+\sin \alpha \sin x=\cos \alpha$

$\iff \cos (x-\alpha )=\cos \alpha$

$\iff x-\alpha =\pm \alpha +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff [\begin{array}{l}x=2\alpha +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=2\alpha +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

 b)

Ta có $\sin 5x+\cos 5x=-1$

$\iff {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cos 5x+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin 5x=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Trong đó $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$, $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ và $\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Ta thu được phương trình

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\sin 5x+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cos 5x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$

$\iff \sin (5x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\iff$

$[\begin{array}{l}5x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 5x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\pi -\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{\pi }{10}}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{5}},k\in \mathbb{Z}\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{5}}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{5}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{10}}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{5}},k\in \mathbb{Z}$ và $x={\displaystyle \frac{\pi }{5}}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{5}},k\in \mathbb{Z}$.

 c)

Ta có $8{\cos }^{4}x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0$

$\iff 8{\left({\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{2}}\right)}^2$

$-4\cos 2x+\sin 4x-4=0$

$\iff 2(1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x)$

$-4\cos 2x+\sin 4x-4=0$

$\iff 2{\cos }^{2}2x+\sin 4x-2=0$

$\iff 1+\cos 4x+\sin 4x-2=0$

$\iff \cos 4x+\sin 4x=1$

$\iff {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cos 4x+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin 4x=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

$\iff \sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cos 4x+\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\sin 4x=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

$\iff \sin \left(4x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

$\iff [\begin{array}{l}4x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 4x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{8}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$ và $x={\displaystyle \frac{\pi }{8}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$.

d)

Ta có ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 4x=0$

$\iff ({{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}^3$

$-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$

$+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 4x=0$

$\iff 1-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 4x=0$

$\iff 1-3{\left({\displaystyle \frac{\sin 2x}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 4x=0$

$\iff 1-{\displaystyle \frac{3}{4}}{\sin }^{2}2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 4x=0$

$\iff 1-{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{1-\cos 4x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 4x=0$

$\iff 8-3+3\cos 4x+4\sin 4x=0$

$\iff 3\cos 4x+4\sin 4x=-5$

$\iff {\displaystyle \frac{3}{5}}\cos 4x+{\displaystyle \frac{4}{5}}\sin 4x=-1$

Đặt ${\displaystyle \frac{3}{5}}=\sin \alpha$, ${\displaystyle \frac{4}{5}}=\cos \alpha$ ta được

$\sin \alpha \cos 4x+\cos \alpha \sin 4x=-1$

$\iff \sin (4x+\alpha )=-1$

$\iff 4x+\alpha ={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x={\displaystyle \frac{3\pi }{8}}-{\displaystyle \frac{\alpha }{4}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$

Vậu phương trình có nghiệm là $x={\displaystyle \frac{3\pi }{8}}-{\displaystyle \frac{\alpha }{4}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$.

a) $1+\sin x-\cos x-\sin 2x+2\cos 2x=0$

b) $\sin x-{\displaystyle \frac{1}{\sin x}}={\sin }^{2}x-{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}$

c) $\cos x\tan 3x=\sin 5x$

d) $2{\tan }^{2}x+3\tan x+$

$2{\cot }^{2}x+3\cot x+2=0$ 

Phương pháp giải:

a) Ta rút gọn phương trình bằng cách:

-Sử dụng công thức ${(\sin x-\cos x)}^2$

$={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$

$=1-\sin 2x$

-Sử dụng công thức nhân đôi $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

b)

Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Nhóm các số hạng với nhau để có nhân tử chung.

c)

Tìm ĐKXĐ

Sử dụng công thức $\tan 3x={\displaystyle \frac{\sin 3x}{\cos 3x}}$

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

d)

Tìm ĐKXĐ

Nhóm các số hạng một cách thích hợp để giải phương trình

Thêm bớt $VT$ để có hằng đẳng thức

Lời giải:

a) Ta có: 

${(\sin x-\cos x)}^2$

$={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$

$=1-\sin 2x$

Do đó $1-\sin 2x=(\sin x-\cos x{)}^2$

Khi đó: $1+\sin x-\cos x-$

$\sin 2x+2\cos 2x=0$

$\iff (1-\sin 2x)+(\sin x-\cos x)+2\cos 2x=0$

$\iff {(\sin x-\cos x)}^2+(\sin x-\cos x)$

$+2({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=0$

$\iff (\sin x-\cos x)[\sin x-\cos x+1$ $-2(\cos x+\sin x)]=0$

$\iff (\sin x-\cos x)(1-\sin x-3\cos x)=0$

$\iff [\begin{array}{l}\sin x-\cos x=0\\ 1-\sin x-3\cos x=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}\sin x=\cos x\\ \sin x+3\cos x=1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}\tan x=1\text{(1)}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}\sin x+{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}\cos x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}\text{(2)}\end{array}$

$\text{(1)}\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Giải phương trình $\text{(2)}$ ta đặt ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}=\sin \alpha$ và ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}=\cos \alpha$ ta được $\cos \alpha \cos x+\sin \alpha \sin x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}$

$\iff \cos (x-\alpha )={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}$

$\iff x-\alpha =\pm \arccos {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}},k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\alpha \pm \arccos {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}},k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x=\alpha \pm \arccos {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}},k\in \mathbb{Z}$

b)

ĐKXĐ: $\sin x\ne 0$

Ta có: $\sin x-{\displaystyle \frac{1}{\sin x}}={\sin }^{2}x-{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}$

$\iff (\sin x-{\sin }^{2}x)+$

$\left({\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}-{\displaystyle \frac{1}{\sin x}}\right)=0$

$\iff \sin x(1-\sin x)+{\displaystyle \frac{1-\sin x}{{\sin }^{2}x}}=0$

$\iff (1-\sin x)({\sin }^{3}x+1)=0$

$\iff [\begin{array}{l}\sin x=1\\ \sin x=-1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\\ x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\end{array}$

$\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

 c)

ĐKXĐ: $\cos 3x\ne 0$

$\iff x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{3}},k\in \mathbb{Z}$

Ta có: $\cos x\tan 3x=\sin 5x$

$\iff \cos x{\displaystyle \frac{\sin 3x}{\cos 3x}}=\sin 5x$

$\iff \cos x\sin 3x=\sin 5x\cos 3x$

$\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}(\sin 4x+\sin 2x)$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}(\sin 8x+\sin 2x)$

$\iff \sin 8x=\sin 4x$

$\iff [\begin{array}{l}8x=4x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 8x=\pi -4x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{12}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{6}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta được nghiệm của phương trình là $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x={\displaystyle \frac{\pi }{12}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{6}},k\in \mathbb{Z}$.

 d)

ĐKXĐ: $\cos \ne 0$ và $\sin x\ne 0$.

Ta có: $2{\tan }^{2}x+3\tan x+$

$2{\cot }^{2}x+3\cot x+2=0$

$\iff (2{\tan }^{2}x+2{\cot }^{2}x)$

$+(3\tan x+3\cot x)+2=0$

$\iff 2[{(\tan x+\cot x)}^2-2\tan x\cot x]+$

$3(\tan x+\cot x)+2=0$

$\iff 2[{(\tan x+\cot x)}^2-2]+$

$3(\tan x+\cot x)+2=0$

Đặt $\tan x+\cot x=t$ ta được phương trình $2t^2+3t-2=0$

$\iff [\begin{array}{l}t=-2\\ t={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Với $t=-2$ ta có $\tan x+\cot x=-2$

$\Rightarrow \tan x+{\displaystyle \frac{1}{\tan x}}=-2$

$\Rightarrow {\tan }^{2}x+1=-2\tan x$

$\Rightarrow \tan x=-1$

$\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}$

Với $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ta có $\tan x+\cot x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\Rightarrow \tan x+{\displaystyle \frac{1}{\tan x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\Rightarrow 2{\tan }^{2}x+2=\tan x\text{(Vô nghiệm)}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$