Giải Toán 11 Bài Ôn tập chương II

Quy tắc nhân: Nếu công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có $m$ cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có $n$ cách thực hiện hành động thứ hai thì có $m.n$ cách hoàn thành công việc.

- Ví dụ:

Một lớp có $3$ tổ, mỗi tổ có $6$ nam và $4$ nữ. Cần chọn từ mỗi tổ một người để thành lập đội thanh niên tình nguyện mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách để lập được một đội?

Giải

Để lập đội, từ mỗi đội ta chọn một người:

+ Có $10$ cách chọn $1$ người từ tổ thứ nhất

+ Có $10$ cách chọn $1$ người từ tổ thứ hai

+ Có $10$ cách chọn $1$ người từ tổ thứ ba

Từ đó, theo quy tắc nhân ta có:

$10.10.10=1000$ (cách chọn)

Bài 4 trang 76 sgk Đại số và Giải tích 11: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các số 0,1,2,3,4,5,6 sao cho:
a. Các chữ số có thể giống nhau 

b. Các chữ số khác nhau

Tập hợp $A=\left\{0,1,2,3,4,5,6\right\}$

Gọi số có $4$ chữ số tạo thành là $\overline{abcd}$

Ta có: $\overline{abcd}$ chẵn nên:

Số $\overline{abcd}\{\begin{array}{c}a,b,c,d\in A\hfill \\ a\ne 0\hfill \\ d\in \left\{0,2,4,6\right\}\hfill \end{array}$

+) Có $4$ cách để chọn $d$

+) $a\ne 0$ ⇒ có $6$ cách chọn $a$

+) Có $7$ cách chọn $b$ và $7$ cách chọn $c$

Vậy : $\mathrm{4.6.7.7}=1176$ số chẵn $\overline{abcd}$ trong đó, các chữ số có thể giống nhau

b. 

Gọi $\overline{abcd}$  là số cần tìm 

Trường hợp 1: $\overline{abc0}(d=0)$

Vì $a,b,c$ đôi một khác nhau và khác $d$ nên có $A_6^3$ số $\overline{abc0}$

Vậy có $A_6^3$ số $\overline{abc0}$

Trường hợp 2: $\overline{abcd}$ (với $d\ne 0$)

+) $d\in \left\{2,4,6\right\}$ $\Rightarrow$ có $3$ cách chọn $d$

+) $a\ne 0,a\ne d$ nên có $5$ cách chọn $a$

+) $b\ne a,b\ne d$ nên có $5$ cách chọn $b$

+) $c\ne a,b,d$ nên có $4$ cách chọn $c$

$\Rightarrow$ Có $3.5.5.4=300$ số  $\overline{abcd}$ loại 2

Vậy có: $A_6^3+300=420$ số  $\overline{abcd}$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Cách khác:

Ở TH1, ta có thể đếm từng chữ số như sau:

TH1: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị bằng 0

⇒ Có 6 cách chọn chữ số hàng nghìn

          5 cách chọn chữ số hàng trăm

          4 cách chọn chữ số hàng chục

⇒ Theo quy tắc nhân: có 6.5.4 = 120 (số)

TH2: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị khác 0.

⇒ Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị

    Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (khác 0 và khác hàng đơn vị)

    Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm

    Có 4 cách chọn chữ số hàng chục

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4 = 300 (số)

⇒ Theo quy tắc cộng: Có tất cả 120 + 300 = 420 số chẵn thỏa mãn.

Số cách xếp $3$ nam và $3$ nữ vào $6$ ghế là $6!$ Cách.

Suy ra: $n(\mathrm{\Omega })=6!=720$

a) Ta gọi $A$ là biến cố : “Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau”

Ta đánh số ghế như sau:

Trường hợp 1:

+ Nam ngồi ghế số $1,3,5$ suy ra có $3!$ cách xếp

+ Nữ ngồi ghế số $2,4,6$ suy ra có $3!$ cách xếp

Suy ra trường hợp 1 có $3!.3!=36$ cách xếp

Trường hợp 2:

+ Nữ ngồi ghế số $1,3,5$ suy ra có $3!$ cách xếp

+ Nam ngồi ghế số $2,4,6$ suy ra có $3!$ cách xếp

Suy ra trường hợp 1 có $3!.3!=36$ cách xếp

Suy ra:

$N(A)=3!.3!+3!.3!=36+36=72$ cách xếp.

Vậy ${\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{72}{720}=\frac{1}{10}=0,1}$

Phép thử: "Gieo một con xúc sắc ba lần."

Không gian mẫu:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Omega }=\left\{\{\mathrm{j},\mathrm{j},\mathrm{k}\}|1\le i,j,k\le 6\right\}\\ & \Rightarrow n(\mathrm{\Omega })=6^3=216\end{array}$

Gọi $A$ là biến cố: “Mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần”

Suy ra biến cố đối là $\overline{A}$: “Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”.

Lần gieo thứ nhất không ra mặt 6 chấm nên có 5 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5 chấm)

Lần gieo thứ hai và thứ ba: tương tự có 5 kết quả có thể xảy ra.

Theo quy tắc nhân: $n(\overline{A})=5^3=125$

$\Rightarrow P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{125}{216}$

Do đó: $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx 0,4213$.

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$

Tính số phần tử của biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)={\displaystyle \frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}}$.

$A$ là biến cố “Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

Suy ra:

Vậy ${\displaystyle P(A)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}}$

b. Gọi $B$ là biến cố: “Tích các số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ”.

Tích của hai số là số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. Khi đó ta có:

Vậy ${\displaystyle P(B)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}}$

Chú ý: Do bài cho là hai con xúc sắc nên không gian mẫu luôn có $36$ phần tử, hai con xúc sắc khác nhau nên các trường hợp đảo vị trí của hai kết quả đều được tính (chỉ đối với hai kết quả ra mặt khác nhau).

A. 104                        B. 1326

C. 450                        D. 2652

Vậy có $C_{52}^2=1326$ (cách)

Chọn đáp án B.

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử củ biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

Ta có: $n(\mathrm{\Omega })=6^2=36$

Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất.

$\Rightarrow \overline{A}$ là biến cố: “ Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow n(\overline{A})=5^2=25\\ & \Rightarrow P(\overline{A})=\frac{25}{36}\Rightarrow P(A)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\end{array}$

Chọn đáp án B.

Bài 13 trang 77 sgk Đại số và Giải tích 11: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là:

A. $\frac{9}{30}$            B. $-\frac{9}{30}$          C. $\frac{10}{30}$            D. $\frac{6}{30}$

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử củ biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

Phép thử: "Lấy ngẫu nhiên hai quả cầu từ hộp có 3 quả trắng, 2 quả đen"

Số phần tử không gian mẫu là số cách chọn 2 trong 5 quả cầu nên: $n(\mathrm{\Omega })=C_5^2=10$

Gọi $A$ là biến cố: "Lấy được cả hai quả trắng"

$\Rightarrow n(A)=C_3^2=3$

$\Rightarrow P(A)=\frac{3}{10}=\frac{9}{30}$

Chọn đáp án A.

A. $\frac{12}{216}$                       B. $\frac{1}{216}$

C. $\frac{6}{216}$                       D. $\frac{3}{216}$

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử củ biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

Ta có:  $n(\mathrm{\Omega })=\mathrm{6.6.6}=216$

Gọi $A$ là biến cố: "Số chấm xuất hiện trên ba con là như nhau"

Suy ra:  $n(A)=6\Rightarrow P(A)=\frac{6}{216}$

Chọn đáp án C.

A. $\frac{4}{16}$                B. $\frac{2}{16}$                C. $\frac{1}{16}$                      D. $\frac{6}{16}$

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử củ biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$

Mỗi đồng tiền có 2 khả năng (hoặc ngửa (N) hoặc sấp (S)). Do đó ta có: $n(\mathrm{\Omega })=\mathrm{2.2.2.2}=16$

Gọi $A$ là biến cố: "Cả bốn lần xuất hiện mặt sấp" $\Rightarrow A=\left\{SSSS\right\}$

$\Rightarrow n(A)=1\Rightarrow P(A)=\frac{1}{16}$

Chọn đáp án C.