Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời hoạt động 1 trang 146 sgk Đại số và Giải tích 11: Một đoàn tàu chuyển động khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là s=t2

Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t;to] với to=3 và t=2;t=2,5;t=2,9;t=2,99.

Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi t càng gần to=3.

Lời giải:

Vận tốc của đoàn tàu là:

v=st=t2t=t

 Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t;to] với:

t0=3;t=2:3+22=2,5t0=3;t=2,5:3+2,52=2,75t0=3;t=2,9:3+2,92=2,95t0=3;t=2,99:3+2,992=2,995

t càng gần to=3 thì vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t;to] càng gần 3.

Trả lời hoạt động 2 trang 149 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số y = x2. Hãy tính y' (x0) bằng định nghĩa.
Lời giải:
Trả lời hoạt động 3 trang 150 sgk Đại số và Giải tích 11:
a. Vẽ đồ thị của hàm số f (x) = x22
b. Tính f ' (1).
c. Vẽ đường thẳng đi qua điểm M (1;12) và có hệ số góc bằng f ' (1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.
Lời giải:
a.
b.

- Giả sử Δx là số gia của đối số tại x0=1. Ta có:

c.

- Đường thẳng có hệ số góc bằng f(1)=1 có dạng:

y=1.x+a hay y=x+a

Mà đường thẳng đó đi qua điểm M(1;12) nên có: 12=1+aa=121=12

⇒ đường thẳng đi qua M và có hệ số góc bằng 1 là: y=x12

Ta có đồ thị như trên. Đường thẳng y=x12 tiếp xúc với đồ thị hàm số f(x) tại M

Trả lời hoạt động 4 trang 152 sgk Đại số và Giải tích 11: Viết phương trình đường thẳng đi qua Mo (xo;yo) và có hệ số góc k.
Lời giải:
Đường thẳng đi qua điểm Mo (xo;yo) và có hệ số góc k có phương trình y = k(x-xo) hay y = kx + (-kxo+y0)
Trả lời hoạt động 5 trang 152 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số y = -x2 + 3x -2. Tính y ' (2) bằng định nghĩa.
Phương pháp giải:

- Tính Δy theo số gia Δx.

- Tính tỉ số ΔyΔx và tính đạo hàm y(2)=limΔx0ΔyΔx.

Lời giải:

- Giả sử Δx là số gia của đối số tại xo=2. Ta có:

Δy=y(2+Δx)y(2)

=(2+Δx)2+3(2+Δx)2(22+3.22)=(4+4Δx+(Δx)2)+6+3Δx2=(Δx)2Δx

ΔyΔx=(Δx)2ΔxΔx=Δx1y(2)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0(Δx1)=1

Trả lời hoạt động 6 trang 153 sgk Đại số và Giải tích 11: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:
a. f (x) = x2 tại điểm x bất kỳ;
b. g (x) = 1x tại điểm bất kỳ x # 0.
Phương pháp giải:

- Tính Δy theo Δx.

- Tính tỉ số ΔyΔx.

- Tính giới hạn limΔx0ΔyΔx và kết luận.

Lời giải:

a.

Giả sử Δx là số gia của đối số tại x0 bất kỳ. Ta có:

Δy=f(x0+Δx)f(x0)=(x0+Δx)2x02=2x0Δx+(Δx)2ΔyΔx=2x0Δx+(Δx)2Δx=2x0+Δxy(x0)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0(2x0+Δx)=2x0

b.

Giả sử Δx là số gia của đối số tại x0 bất kỳ. Ta có:

Δy=g(x0+Δx)g(x0)=1x0+Δx1x0=Δxx0(x0+Δx)ΔyΔx=Δxx0(x0+Δx):Δx=1x0(x0+Δx)y(x0)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0(1x0(x0+Δx))=1x02

Bài tập (trang 156, 157 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm số gia của hàm số f(x)=x3, biết rằng:

a. x0=1;x=1

b. x0=1;x=0,1

a.

Phương pháp giải:

Số gia của hàm số y=f(x) là: Δf(x)=f(x0+Δx)f(x0)

Lời giải:

Δf(x)=f(x0+Δx)f(x0)Δf(x)=f(1+1)f(1)Δf(x)=f(2)f(1)Δf(x)=2313=7

b.

Phương pháp giải:

Số gia của hàm số y=f(x) là: Δf(x)=f(x0+Δx)f(x0)

Lời giải:

Δf(x)=f(x0+Δx)f(x0)Δf(x)=f(10,1)f(1)Δf(x)=f(0,9)f(1)Δf(x)=0,931=0,271

Bài 2 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính y và ΔyΔx của các hàm số sau theo x và x :

a.  y=2x5

b. y = x2 -1

c. y = 2x3

d. y = 1x

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: Δy=f(x+Δx)f(x) tính Δy, từ đó suy ra ΔyΔx

(Trong công thức Δy=f(x0+Δx)f(x0) ta coi x0=x)

Lời giải:

a.

Δy=f(x+Δx)f(x)=[2(x+Δx)5](2x5)=2x+2Δx52x+5=2ΔxΔyΔx=2ΔxΔx=2

b.

c. 

d.

Bài 3 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a. y=x2+x tại x0=1

b. y = 1x tại x0 = 2

c. y = x+1x-1 tại x0 = 2

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử Δx là số gia của đối số tại x0, tính Δy=f(x0+Δx)f(x0).

Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx.

Bước 3: Tìm limΔx0ΔyΔx.

Kết luận f(x0)=limΔx0ΔyΔx.

Lời giải:

a.

Giả sử x là số gia của số đối tại x0=1. Ta có:

Δy=f(1+Δx)f(1)=(1+Δx)2+(1+Δx)121=1+2Δx+(Δx)2+1+Δx2=Δx(Δx+3)ΔyΔx=Δx+3limΔx0ΔyΔx=limΔx0(Δx+3)=3

Vậy f(1)=3.

Cách khác:

f(x)=x2+xf(1)=2limx1f(x)f(1)x1=limx1x2+x2x1=limx1(x1)(x+2)x1=limx1(x+2)=1+2=3f(1)=3

b.

Giả sử x là số gia của số đối tại x0=2. Ta có:

Δy=f(2+Δx)f(2)=12+Δx12=22Δx2(2+Δx)=Δx2(2+Δx)ΔyΔx=12(2+Δx)limΔx0ΔyΔx=limΔx0(12(2+Δx))=12.2=14

Vậy f(2)=14.

Cách khác:

f(x)=1xf(2)=12limx2f(x)f(2)x2=limx21x12x2=limx22x2x(2x)=limx2(12x)=12.2=14f(2)=14

c.

Giả sử x là số gia của số đối tại x0=0.Ta có:

Δy=f(Δx)f(0)=Δx+1Δx10+101=Δx+1Δx1+1=Δx+1+Δx1Δx1=2ΔxΔx1ΔyΔx=2Δx1limΔx0ΔyΔx=limΔx0(2Δx1)=21=2

Vậy f(0)=2.

Cách khác:

f(x)=x+1x1f(0)=1limx0f(x)f(0)x0=limx0x+1x1+1x=limx0x+1+x1x1x=limx02xx1x=limx02x1=201=2f(0)=2

Bài 4 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng hàm số 

f(x)={(x1)2 nếu x0x2 nếu x<0

không có đạo hàm tại điểm x=0 nhưng có đạo hàm tại điểm x=2.

Phương pháp giải:

Điều kiện cần để hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x=x0 là hàm số liên tục tại x=x0.

Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại x=x0:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0(a;b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) limxx0f(x)f(x0)xx0 thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại x0.

Lời giải:

Ta có:

limx0+f(x)=limx0+(x1)2=(01)2=1limx0f(x)=limx0(x2)=02=0limx0+f(x)limx0f(x)

Do đó hàm số y=f(x) gián đoạn tại x=0.

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x=0 (vi phạm điều kiện cần).

Xét giới hạn: 

limx2f(x)f(2)x2=limx2(x1)21x2=limx2x22xx2=limx2x(x2)x2=limx2x=2

Vậy hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x=2 và f(2)=2.

Bài 5 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y=x3:

a. Tại điểm có tọa độ (1;1)

b. Tại điểm có hoành độ bằng 2

c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

a.

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x=x0 là: y=f(x0)(xx0)+f(x0)

Lời giải:

Ta có:

limxx0f(x)f(x0)xx0=limxx0x3x03xx0=limxx0(x2+x.x0+x02)=x02+x0.x0+x02=3x02y(x0)=3x02

Ta có: y(1)=3.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;1) là: y=3(x+1)1=3x+2

b. 

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x=x0 là: y=f(x0)(xx0)+f(x0)

Lời giải:

Ta có: y(2)=3.22=12y(2)=23=8.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là: y=12(x2)+8=12x16.

c.

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 là f(x0)=3.

Giải phương trình tìm x0, từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x=x0.

Lời giải:

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có: 

y(x0)=33x02=3x02=1 x0=±1.

+) Với x0=1 ta có y(1)=1, phương trình tiếp tuyến là y=3(x1)+1=3x2

+) Với x0=1 ta có y(1)=1, phương trình tiếp tuyến là y=3(x+1)1=3x+2

Bài 6 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y=1x:

a. Tại điểm (12;2)

b. Tại điểm có hoành độ bằng -1; 

c. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -14

a.

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x=x0 là: y=f(x0)(xx0)+f(x0)

Lời giải:

Xét giới hạn:

limxx0f(x)f(x0)xx0=limxx01x1x0xx0=limxx0x0xx.x0(xx0)=limxx01x.x0=1x02y(x0)=1x02

Ta có: y(12)=4.

Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm (12;2) là y=4(x12)+2=4x+4

b. 

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x=x0 là: y=f(x0)(xx0)+f(x0)

Lời giải:

Ta có: y(1)=1,y(1)=1.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là 1 là: y=(x+1)1=x2.

c.

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 là f(x0)=3.

Giải phương trình tìm x0, từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x=x0.

Lời giải:

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có

y(x0)=141x02=14x02=4x0=±2.

Với x0=2 ta có y(2)=12, phương trình tiếp tuyến là y=14(x2)+12=14x+1.

Với x0=2 ta có y(2)=12, phương trình tiếp tuyến là: y=14(x+2)12=14x1.

Chú ý: Trong các ý a, b, c đều sử dụng cách tính đạo hàm của hàm số tại điểm x=x0 bằng định nghĩa. Sau khi học xong bài 2 thì các em có thể quay lại làm lại bài tập này, việc tính đạo hàm sẽ dễ hơn rất nhiều

Bài 7 trang 157 sgk Đại số và Giải tích 11: Một vật rơi tự do theo phương trình s=12gt2, trong đó g9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường.

a. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t+t, trong các trường hợp t=0,1s;t=0,05s;t=0,001s.

b. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t =5s

Phương pháp giải:

Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến t+t là  vtb=s(t+Δt)s(t)Δt

Lời giải:

a.

Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến t+t là 

vtb=s(t+Δt)s(t)Δt=12g(t+Δt)212gt2Δt=gt2+2gt.Δt+gΔt2gt22Δt=12g(2t+Δt)

Với t=5 và

+) t=0,1 thì vtb4,9.(10+0,1)49,49m/s;

+) t=0,05 thì vtb4,9.(10+0,05)49,245m/s;

+) t=0,001 thì vtb4,9.(10+0,001)49,005m/s.

b. 

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5s chính là vận tốc trung bình trong khoảng thời gian (t;t+Δt) khi Δt0 là :

vtt=limΔt012g(2t+Δt) =gt=9,8.5=49(m/s)

Lý thuyết Bài Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 

1. Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b)x0(a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số f(x)f(x0)xx0  khi xx0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại  x0, kí hiệu là f(x0) hay y(x0). Như vậy:

f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0

Nếu đặt xx0=x và y=f(x0+x)f(x0) thì ta có

f(x0)=limΔx0ΔyΔx

Đại lượng x được gọi là số gia của đối số tại x0 và đại lượng y được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Với x là số gia của số đối tại x0,tính y=f(x0+x)f(x0);

Bước 2. Lập tỉ số ΔyΔx;

Bước 3. Tính limΔx0ΔyΔx.

Nhận xét: nếu thay x0 bởi x ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x(a;b).

3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm

Định lí. Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.

Chú ý.

Định lí trên tương đương với khẳng định : Nếu y=f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Nếu tồn tại, f(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm M0(x0;f(x0)). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M0(x0;f(x0)) là

yf(x0)=f(x0)(xx0)

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

v(t)=s(t) là vận tốc tức thời của chuyển động s=s(t) tại thời điểm t.