Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu - Tơn chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Nhị thức Niu - Tơn lớp 11.
Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu - Tơn
a.
b.
a. Dựa vào tam giác Pa-xcan:
b. Dựa vào tam giác Pa-xcan:
a.
b.
c.
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:
Trong trường hợp số mũ khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.
b. Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:
c. Ta có:
B1: Khai triển về dạng
B2: Tìm k để từ đó suy ra
KL: Hệ số của là
Số hạng tổng quát:
Số hạng chứa ứng với
Do đó hệ số của trong khai triển của biểu thức đã cho là:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của nhị thức Newton:
Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: .
Để tìm hệ số của ta cho số mũ của x bằng 2, giải phương trình tìm n.
Số hạng tổng quát:
Hệ số của ứng với hay hệ số của là
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton:
Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: .
Để tìm hệ số của số hạng không chứa ta cho số mũ của x bằng 0, giải phương trình tìm
Số hạng tổng quát:
Số hạng không chứa ứng với
Vậy số hạng không chứa trong khai triển là .
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:
Để tính tổng các hệ số của khai triến trên ta cho .
Sử dụng khai triển của nhị thức Newton ta có:
Ta thấy, tổng các hệ số trong khai triển là:
Cho ta có:
hay
Do đó:
Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được bằng .
a. 1110–1 chia hết cho 100
b. chia hết cho 1000
c. là một số nguyên
a.
Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Phân tích .
Tổng sau cùng chia hết cho suy ra chia hết cho .
b.
Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Phân tích .
Ta có
Tổng sau cùng chia hết cho nên chia hết cho .
c.
Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Khai triển và .
Ta có:
Đặt
Vậy là một số nguyên.
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
1. Công thức nhị thức Niu - Tơn
Với là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên , ta có:
Ví dụ:
Viết khai triển .
Hướng dẫn:
Ta có:
2. Quy ước
Với là số thực khác và là số tự nhiên khác , ta quy ước:
; .
3. Chú ý
Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện và đều khác , có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:
Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.
II. Tam giác Pa-xcan
1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng
2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan
- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng .
- Xét hai số ở cột và cột , đồng thời cùng thuộc dòng , (), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột và dòng .
3. Tính chất của tam giác Pa-xcan
Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:
a) Giao của dòng và cột là
b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:
c) Các số ở dòng là các hệ số trong khai triển của nhị thức (theo công thức nhị thức Niu - Tơn), với là hai số thực tùy ý.
Chẳng hạn, các số ở dòng là các hệ số trong khai triển của (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây: