Giải Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Quy tắc tính đạo hàm lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời hoạt động 1 trang 157 sgk Đại số và Giải tích 11: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=x3 tại điểm x tùy ý. Dự đoán đạo hàm của hàm số y=x100 tại điểm x.
 Phương pháp giải:

- Tính Δy.

- Tính limΔx0ΔyΔx suy ra đạo hàm.

Lời giải:

- Giả sử Δx là số gia của đối số tại \(\x_0) bất kỳ. Ta có:

Δy=f(x0+Δx)f(x0)=(x0+Δx)3x03=3x02Δx+3x0(Δx)2+(Δx)3y(x0)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0(3x02+3x0Δx+(Δx)2)=3x02

- Dự đoán đạo hàm của y=x100 tại điểm x là y=100x99

Trả lời hoạt động 2 trang 158 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh khẳng định trong nhận xét trên.

a. Đạo hàm của hàm hằng bằng 0:c=0.

b. Đạo hàm của hàm số y=x bằng 1: x' = 1

Lời giải:

a.

Hàm hằng Δy=0

limΔx0ΔyΔx=0

b. 

Theo định lí 1

y=x hay y=x1y=(x1)=1.x11=1.x0=1.1=1

Trả lời hoạt động 3 trang 158 sgk Đại số và Giải tích 11: Có thể trả lời ngay được không, nếu yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x)=x tại x=3;x=4?
Lời giải:

x=3<0 nên f(x) không có đạo hàm tại x=3

x=4, đạo hàm của f(x) là:

124=14

Trả lời hoạt động 4 trang 159 sgk Đại số và Giải tích 11: Áp dụng các công thức trong Định lí 3, hãy tính đạo hàm của các hàm số y=5x32x5y=x3x.
Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm y=xn và hàm y=x

Lời giải:

(1)y=(5x32x5)=(5x3)(2x5)

=(5.x3+5(x3))(2.x5+2.(x5))

=(0.x3+5.3x2)(0.x5+2.5x4)

=(0+15x2)(0+10x4)

=15x210x4

(2)y=(x3x)

=(x3).x+(x3).(x)

=3x2.xx3.12x

Trả lời hoạt động 5 trang 160 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy chứng minh các công thức trên và lấy ví dụ minh họa.
Lời giải:

- Nếu k là một hằng số thì (ku)=ku

Thật vậy, ta có: (ku)=ku+ku=0.u+ku=ku (do đạo hàm của hàm hằng bằng 0)

Ví dụ: (3x2)=3.(x2)=3.2x=6x

(1v)=vv2(v=v(x)0)

Thật vậy, ta có:

(1v)=1v1.vv2=0.vvv2=vv2

Ví dụ: (12x+1)=(2x+1)(2x+1)2=2(2x+1)2

Trả lời hoạt động 6 trang 161 sgk Đại số và Giải tích 11: Hàm số y=x2+x+1  là hàm hợp của hàm số nào?
Lời giải:

Hàm số y=x2+x+1 là hàm hợp của hàm số y=u(u=x2+x+1)

Bài tập (trang 162, 163 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 162 sgk Đại số và Giải tích 11: Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. y=7+xx2 tại x0=1

b. y=x32x+1 tại x0=2

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử Δx là số gia của đối số tại x0, tính Δy=f(x0+Δx)f(x0).

Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx.

Bước 3: Tìm limΔx0ΔyΔx.

Kết luận f(x0)=limΔx0ΔyΔx.

Lời giải:

a.

Giả sử  x  là số gia của đối số tại x0=1. Ta có:

Δy=f(1+Δx)f(1)Δy=7+(1+Δx)(1+Δx)27Δy=1+Δx12Δx(Δx)2Δy=(Δx)2ΔxΔyΔx=Δx1limΔx0ΔyΔx=limΔx0(Δx1)=1

Vậy f(1)=1.

b.

Giả sử  x  là số gia của số đối tại x0=2. Ta có:

Δy=f(2+Δx)f(2)Δy=(2+Δx)32(2+Δx)+15Δy=8+12Δx+6(Δx)2+(Δx)342Δx4Δy=(Δx)3+6(Δx)2+10ΔxΔyΔx=(Δx)2+6Δx+10limΔx0ΔyΔx=limΔx0((Δx)2+6Δx+10)=10

Vậy f(2)=10.

Bài 2 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y=x54x3+2x3

b. y=1413x+x20,5x4

c. y=x42 - 2x33 + 4x251

d. y=3x5(83x2)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm (xn)=nxn1.

Lời giải:

a. 

y=(x54x3+2x3)=(x5)(4x3)+(2x)(3)=(x5)4.(x3)+2.(x)0=5x44.3x2+2=5x412x2+2

b. 

c.

d.

y=3x5(83x2)=24x59x7y=(24x59x7)=24.(x5)9.(x7)=24.5x49.7x6=120x463x6

Cách khác:

y=[3x5(83x2)]=(3x5)(83x2)+3x5(83x2)=3.(x5)(83x2)+3x5[(8)(3x2)]=3.5x4(83x2)+3x5(03.2x)=120x445x618x6=120x463x6

Bài 3 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. y=(x75x2)3

b. y=(x2+1)(53x2)

c. y=2xx21

d. y=35xx2x+1

e. y=(m+nx2)3 (m,n là các hằng số)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm (xn)=nxn1, đạo hàm của hàm hợp [f(u)]=u.f(u), các quy tắc tính đạo hàm của tích và thương:

(uv)=uv+uv(uv)=uvuvv2

Lời giải:

a.

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp y=u3,u=x75x2

y=(x75x2)3y=3(x75x2)2(x75x2)y=3(x75x2)2[(x7)(5x2)]y=3(x75x2)2.(7x65.2x)y=3(x75x2)2.(7x610x)

b.

y=(x2+1)(53x2)y=5x23x4+53x2=3x4+2x2+5y=(3x4)+(2x2)+(5)y=3.4x3+2.2x+0y=12x3+4x

Cách khác:

y=(x2+1)(53x2)+(x2+1)(53x2)=[(x2)+(1)](53x2)+(x2+1)[(5)(3x2)]=(2x+0)(53x2)+(x2+1)(03.2x)=10x6x36x36x=4x12x3

c.

d. 

e.

y=3(m+nx2)2(m+nx2)=3(m+nx2)2[(m)+(nx2)]=3(m+nx2)2[0+(n).x2n.(x2)x4]=3(m+nx2)2.0x2n.2xx4=3(m+nx2)2.2nx3=6n(m+nx2)2.1x3

Cách khác:

y=(m+nx2)3y=3(m+nx2)2(m+nx2)y=3(m+nx2)2.(m+n.x2)y=3(m+nx2)2.n.(2).x3y=6n(m+nx2)2.1x3

Bài 4 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. y=x2xx+1

b.y=(25xx2)

c.y=x3a2x2 (a là hằng số)

d. y=1+x1x

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm: (xn)=n.xn1;(x)=12x.

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải:

y=x2xx+1y=(x2)(xx)+(1)y=2x[(x)x+x(x)]+0y=2x(x+x.12x)y=2xxx2y=2x3x2

b. 

c.

d.


Bài 5 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho y=x33x2+2. Tìm x để :

a. y>0

b. y' < 3

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số và giải các bất phương trình.

Lời giải:

a.

Ta có:

y=(x33x2+2)=(x3)(3x2)+(2)=3x23.2x+0=3x26x

y>03x26x>03x(x2)>0[x>2x<0S=(;0)(2;+)

b.

y<33x26x<33x26x3<012<x<1+2S=(12;1+2)

Lý thuyết Bài Quy tắc tính đạo hàm

1. Công thức

  (c)=0       (c là hằng số);

  (xn)=nxn1 (nN,xR);

  (x)=12x (x>0).

2. Phép toán

(u+v)=u+v;

(uv)=uv ;

(uv)=uv+uv ;

(ku)=ku (k là hằng số);

(uv) = uvuvv2, (v=v(x)0);

(1v) = vv2, (v=v(x)0).

3. Đạo hàm của hàm hợp

yx=yu.ux

Hệ quả: +)  (un)=n.un1.u

             +) (u)=u2u.