Giải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Đạo hàm của hàm số lượng giác lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời hoạt động 1 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính sin0,010,01;sin0,0010,001 bằng máy tính bỏ túi.
 
Lời giải: 
Trả lời hoạt động 2 trang 165 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính đạo hàm của hàm số: y=sin(π2x)
Phương pháp giải:

Cách 1: chuyển sin(π2x) thành cosx rồi tính đạo hàm.

Cách 2: Hàm hợp y=y(u(x)) có đạo hàm:  y=yu.ux

Lời giải:

y=sin(π2x)

Cách 1: 

Ta có: sin(π2x)=cosx (do góc π2x và x phụ nhau.)

y=sin(π2x)=cosx

y=cosx =sinx

Cách 2:

Đặt u=π2x thì y=sinu và ux=1;yu=sinu=cosu.

Áp dụng đạo hàm hàm hợp ta có:

y=yu.ux=cosu.(1)=(1).cos(π2x)=sinx

(do cos(π2x)=sinx).

Trả lời hoạt động 3 trang 166 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính đạo hàm của hàm số:

f(x)=sinxcosx(xπ2+kπ;kZ)

Phương pháp giải:

Áp dụng: (uv) = uvuvv2,

với u=sinx;v=cosx

Lời giải:

f(x)=(sinxcosx)=(sinx)cosxsinx.(cosx)cos2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x

Trả lời hoạt động 4 trang 167 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính đạo hàm của hàm số:

y=tan(π2x)  với xkπ,kZ 

Phương pháp giải:

Cách 1: Đưa về y=tan(π2x)=cotx rồi tính đạo hàm.

Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp với y=tanu;u=π2x

Lời giải:

Cách 1:

Vì π2x và x là hai góc phụ nhau nên tan(π2x)=cotx

y=tan(π2x)=cotx=1sin2x.

Cách 2:

Đặt u=π2x thì y=tanuy=tanu.ux 

Mà tanu=1cos2u;ux=(π2x)=1.

y=1cos2u.(1)=1cos2u=1cos2(π2x)=1sin2x (do cos⁡(π2x)=sinx)

Bài tập (trang 168, 169 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 168 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. y=x15x2

b. y=2x+373x

c. y=x2+2x+334x

d. y=x2+7x+3x23x

a. 

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương (uv)=uvuvv2 với u=x1;v=5x2

Lời giải:

y=x15x2y=(x1)(5x2)(x1)(5x2)(5x2)2y=(5x2)5(x1)(5x2)2y=5x25x+5(5x2)2y=3(5x2)2

b. 

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương (uv)=uvuvv2 với u=2x+3;v=73x

Lời giải:

y=2x+373xy=(2x+3)(73x)(2x+3)(73x)(73x)2y=2(73x)(2x+3)(3)(73x)2y=2(73x)+3(2x+3)(73x)2y=146x+6x+9(73x)2y=23(73x)2

c. 

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương (uv)=uvuvv2 với u=x2+2x+3;v=34x

Lời giải:

y=x2+2x+334xy=(x2+2x+3)(34x)(x2+2x+3)(34x)(34x)2y=(2x+2)(34x)(x2+2x+3)(4)(34x)2=6x8x2+68x+4x2+8x+12(34x)2=4x2+6x+18(34x)2

d. 

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương (uv)=uvuvv2 với u=x2+7x+3;v=x23x

Lời giải:

y=x2+7x+3x23xy=(x2+7x+3)(x23x)(x2+7x+3)(x23x)(x23x)2y=(2x+7)(x23x)(x2+7x+3)(2x3)(x23x)2=2x36x2+7x221x2x314x26x+3x2+21x+9(x23x)2=10x26x+9(x23x)2

Bài 2 trang 168 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các bất phương trình sau:

a. y<0 với y=x2+x+2x1

b. y0 với y=x2+3x+1

c. y>0 với y=2x1x2+x+4

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

Lời giải:

a.

Ta có y=(x2+x+2).(x1)(x2+x+2).(x1)(x1)2 

=(2x+1)(x1)(x2+x+2).1(x1)2

=2x2+x2x1x2x2(x1)2

 =x22x3(x1)2

Do đó, y<0x22x3(x1)2<0

{x1x22x3<0

{x11<x<3

x(1;1)(1;3).

b.

Ta có y=(x2+3).(x+1)(x2+3).(x+1)(x+1)2

=2x(x+1)(x2+3).1(x+1)2 =2x2+2xx23(x+1)2

x2+2x3(x+1)2.

Do đó, y0x2+2x3(x+1)20

{x+10x2+2x30

{x1[x1x3[x1x3

x(;3][1;+).

c. 

Ta có y=(2x1).(x2+x+4)(2x1).(x2+x+4)(x2+x+4)2

=2(x2+x+4)(2x1)(2x+1)(x2+x+4)2 =2x2+2x+84x2+2x2x+1(x2+x+4)2

=2x2+2x+9(x2+x+4)2.

Do đó, y>02x2+2x+9(x2+x+4)2>02x2+2x+9>01192<x<1+192x(1192;1+192)

Vì x2+x+4= (x+12)2154>0, với xR.

Bài 3 trang 169 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)y=5sinx3cosxb)y=sinx+cosxsinxcosxc)y=xcotxd)y=sinxx+xsinxe)y=1+2tanxf)y=sin1+x2

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm lượng giác:

(sinx)=cosx,(cosx)=sinx,(tanx)=1cos2x,(cotx)=1sin2x

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, 1 thương và quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp.

Lời giải: 

Bài 4 trang 168 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)y=(92x)(2x39x2+1)b)y=(6x1x2)(7x3)c)y=(x2)x2+1d)y=tan2xcotx2e)y=cosx1+x

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương, quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp và bảng đạo hàm cơ bản.

Lời giải:
Bài 5 trang 168 sgk Đại số và Giải tích 11 Tính f(1)φ(1), biết rằng f(x)=x2 và φ(x)=4x+sinπx2.

Phương pháp giải:

+) Tính f(x) và φ(x)

+) Suy ra f(1) và φ(1) và f(1)φ(1).

Lời giải:

Ta có:

f(x)=x2f(x)=(x2)=2xf(1)=2.1=2φ(x)=4x+sinπx2φ(x)=(4x+sinπx2)=(4x)+(sinπx2)=4+(πx2)cosπx2=4+π2cosπx2φ(1)=4+π2cosπ.12=4+π2.0=4f(1)φ(1)=24=12

Bài 6 trang 168 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a. sin6x+cos6x+3sin2x.cos2x

b. cos2(π3x)+cos2(π3+x)+cos2(2π3x) +cos2(2π3+x)2sin2x

a. 

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.

Lời giải:

Ta có:

y=(sin6x)+(cos6x)+(3sin2xcos2x)=6sin5x(sinx)+6cos5x(cosx)+3.[(sin2x)cos2x+sin2x(cos2x)]=6sin5xcosx+6cos5x(sinx)+3[2sinxcosxcos2x+sin2x.2cosx(sinx)]=6sin5xcosx6cos5xsinx+6sinxcos3x6cosxsin3x=(6sin5xcosx6cosxsin3x)+6sinxcos3x6cos5xsinx=6sin3xcosx(sin2x1)+6sinxcos3x(1cos2x)=6sin3xcosx.(cos2x)+6sinxcos3xsin2x=6sin3xcos3x+6sin3xcos3x=0y=0,x

Vậy y=0 với mọi x, tức là y không phụ thuộc vào x.

Cách khác:

sin6x+cos6x=(sin2x)3+(cos2x)3=(sin2x+cos2x)33sin2xcos2x(sin2x+cos2x)=133sin2xcos2x.1=13sin2xcos2xy=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x=1y=(1)=0

b. 

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: sinxsiny=2cosx+y2sinxy2

Lời giải:

y=1+cos(2π32x)2+1+cos(2π3+2x)2+1+cos(4π32x)2

+1+cos(4π3+2x)22sin2x

=12+12cos(2π32x) +12+12cos(2π3+2x) +12+12cos(4π32x) +12+12cos(4π3+2x) 2.1cos2x2

=1+12cos(2π32x) +12cos(2π3+2x) +12cos(4π32x) +12cos(4π3+2x) +cos2x

Do đó y=12.(2).[sin(2π32x)] +12.2.[sin(2π3+2x)] +12.(2).[sin(4π32x)] +12.2.[sin(4π3+2x)] 2sin2x

=sin(2π32x)sin(2π3+2x)+sin(4π32x) sin(4π3+2x)2sin2x

=2cos2π3.sin(2x)+2cos4π3.sin(2x)2sin2x

=sin2x+sin2x2sin2x=0,

(Vì cos2π3 = cos4π3 = 12.)

Vậy y=0 với mọi x, do đó y không phụ thuộc vào x.

Cách khác:

y=1+12[cos(2π32x)+cos(4π32x)]+12[cos(2π3+2x)+cos(4π3+2x)]+cos2x=1+12.2cos(π2x)cosπ3+12.2cos(π+2x)cosπ3+cos2x=1cos2x.12cos2x.12+cos2x=1cos2x+cos2x=1y=1,xy=0,x

Bài 7 trang 168 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải phương trình f(x)=0, biết rằng:

a. f(x)=3cosx+4sinx+5x

b. f(x)=1sin(π+x)+2cos(2π+x2)

a.

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm, tính đạo hàm của hàm số, sau đó giải phương trình lượng giác.

Phương pháp giải phương trình dạng asinx+bcosx=c: Chia cả 2 vế cho a2+b2.

Lời giải:

f(x)=3sinx+4cosx+5. Do đó

f(x)=03sinx+4cosx+5=0

3sinx4cosx=5

35sinx45 cosx=1.    (1)

Đặt cosφ=35(φ(0;π2))sinφ=45, ta có:

(1)   sinx.cosφcosx.sinφ=1sin(xφ)=1

xφ=π2+k2πx=φ+π2+k2π,kZ

b.

Phương pháp giải:

Sử dụng mối liên hệ của các góc phụ nhau, bù nhau, hơn kém nhau π, hơn kém nhau π2 và giải phương trình lượng giác cơ bản

Lời giải:

f(x)=(1)[sin(π+x)]+2[cos(π+x2)]=(π+x)cos(π+x)+2(π+x2).[sin(π+x2)]=cos(π+x)+2.12.[sin(π+x2)]

f(x)=cos(π+x)sin(π+x2)=cosx+sinx2

f(x)=0cosx+sinx2=0sinx2=cosx

sinx2=sin(xπ2)

[x2=xπ2+k2πx2=πx+π2+k2π

[x2=π2+k2π3x2=3π2+k2π [x=πk4πx=π+k4π3

x=π+k4π3

Cách khác:

f(x)=1sin(π+x)+2cos(2π+x2)=1+sinx+2cos(π+x2)=1+sinx2cosx2f(x)=(1+sinx2cosx2)=(1)+(sinx)2(cosx2)=0+cosx2.12(sinx2)=cosx+sinx2f(x)=0cosx+sinx2=0cosx=sinx2=cos(π2x2)cosx=cos(π(π2x2))cosx=cos(π2+x2)[x=π2+x2+k2πx=π2x2+k2π[x2=π2+k2π3x2=π2+k2π[x=π+k4πx=π3+k4π3

Chú ý:

Ở họ nghiệm thứ 2 nếu cho k=1+l,lZ thì:

x=π3+k4π3=π3+(1+l)4π3

=π3+4π+l4π3=π3+4π3+l4π3

=π+l4π3

Do đó hai họ nghiệm x=π+k4π và x=π+l4π3 hợp lại vẫn được họ nghiệm x=π+l4π3 trùng với kết quả cách 1.

Bài 8 trang 168 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải bất phương trình f(x)>g(x), biết rằng:

a. f(x)=x3+x2g(x)=3x2+x+2

b. f(x)=2x3x2+3g(x)=x3+x223

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của các hàm số f(x),g(x) và giải bất phương trình.

Lời giải:

a. 

f(x)=3x2+1g(x)=6x+1f(x)>g(x)3x2+1>6x+13x26x>03x(x2)>0[x>2x<0x(;0)(2;+)

b. 

Lý thuyết Bài Đạo hàm của hàm số lượng giác

1. Giới hạn của sinxx

Ta thừa nhận định lý: limx0sinxx=1

2. Đạo hàm của hàm số lượng giác

+ Hàm số y=sinx có đạo hàm xR và (sinx)=cosx ; 

+ Hàm số y=cosx có đạo hàm xR và (cosx)=sinx;  

+ Hàm số y=tanx có đạo hàm xπ2+kπ,k và (tanx)=1cos2x

+ Hàm số y=cotx có đạo hàm xkπ,k và (cotx)=1sin2x 

3. Bảng tổng hợp đạo hàm của hàm số lượng giác 

(sinx)=cosx

(sinu)=(cosu).u=u.cosu

(cosx)=sinx

(cosu)=(sinu).u=u.sinu

(tanx)=1cos2x

(tanu)=ucos2u

(cotx)=1sin2x

(cotu)=usin2u