Giải Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Cấp số nhân lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời hoạt động 1 trang 98 sgk Đại số và Giải tích 11: Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp ô thứ hai hai hạt, … cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô trước cho đến ô cuối cùng.

Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ.

Lời giải:

Số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu là: 1; 2; 4; 8; 16; 32

Trả lời hoạt động 2 trang 99 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy đọc hoạt động 1 và cho biết ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc?
Lời giải:

Từ câu hỏi 1 ta thấy:

Ô thứ 1 có 1=20=211 hạt thóc.

Ô thứ 2 có 2=21=221 hạt thóc.

Ô thứ 3 có 4=22=231 hạt thóc.

Ô thứ 4 có 8=23=241 hạt thóc.

Ô thứ 5 có 16=24=251 hạt thóc.

...

Tổng quát: Ô thứ n có 2n1 hạt thóc.

Ô thứ 11 có: 2111=210=1024 hạt thóc

Trả lời hoạt động 3 trang 101 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và q = -12
a. Viết năm số hạng đầu của nó
b. So sánh u22 với tích u1.u3 và u32 với tích u2.u4. Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên
Lời giải:
a.
 
b. 

Trả lời hoạt động 4 trang 101 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính tổng số các hạt thóc ở 11 ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động 1Phương pháp giải: Nhân cả tổng S cần tính với 2 rồi lấy 2S-S, thu gọn ta được kết quả.
Lời giải:
Ta có:

u1=1u2=2u3=22...u11=210

S=u1+u2+...+u10 =1+2+22+...+210

2S=2+22+...+210+211

2SS=(2+22+...+210+211) (1+2+22+...+210)

S=2111=2047

Cách tổng quát:

Ta có:

S=u1+u2+u3+u4+u5+u6+u7+u8+u9+u10+u11=u1+u1.q+u1.q2++u1.q9+u1.q10(1)S.q=u1.q+u1.q2++u1.q9+u1.q10+u1.q11(2)

Lấy (1) trừ (2), ta được:

(1q)S=u1(1q11)

S=u1(1q11)1q

Do đó tổng số hạt thóc của 11 ô đầu là S=1(1211)12=2111=2047

Trả lời hoạt động 5 trang 102 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính tổng: 

S=1+13+132+...+13n

Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân:

Sn=u1(1qn)1q

Lời giải:

Cấp số nhân có: u1=1q=13

S là tổng của n+1 số hạng đầu tiên

S=u1(1qn+1)1q=1.[1(13)n+1]113 =32[1(13)n+1]

Cách 2:

Ta có:

S=1+13+132+133+...+13n3S=3+1+13+132+...+13n13S=3+S13n2S=313nS=12(313n)=32(113n+1)

Bài tập (trang 103, 104 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 103 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh các dãy số 35.2n, 52n, -12n là các cấp số nhân.
Phương pháp giải: Chứng minh un+1un là một số không đổi.
Lời giải:

+) Ta có: un=35.2nu1=35.21=65

Với mọi nN, ta có:

un+1=35.2n+1 un+1un=35.2n+135.2n =2n+12n=2n.22n=2 (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với u1=65 và q=2.

+) Ta có: un=52nu1=521=52

Với mọi nN, ta có:

un+1un=52n+152n=52n+1:52n =52n+1.2n5=2n2n+1=2n2n.2=12 (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với u1=52  và q=12

+) Ta có: un=(12)nu1=(12)1=12

Với mọi nN, ta có:

un+1un=(12)n+1(12)n=(12)n.(12)(12)n=12 (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với u1=12 và q=12.

Bài 2 trang 103 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số nhân với công bội q
a. Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q
b. Biết q = 23, u4821.Tìm u1
c. Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?
Phương pháp giải: Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: un = u1.qn-1
Lời giải:
a. 
b.
c.
Bài 3 trang 103 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết:
a. u3=3  và u5=27
b. u4-u2=25 và u3-u1=50
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: un=u1.qn-1.
Lời giải:
a. Trong cấp số nhân, ta có: un=u1.qn1 Trong đó u1 là số hạng thứ nhất, un là số hạng thứ n và q là công bội.

Mà:

{u3=3u5=27{u1.q2=3u1.q4=27u1.q4u1.q2=273q2=9q=±3+)q=3u1.32=3u1=332=13CSN:13;1;3;9;27+)q=3u1.(3)2=3u1=3(3)2=13CSN:13;1;3;9;27

b. Ta có: u4=u1q3;u2=u1q;u3=u1q2

Theo bài ra:

{u4u2=25u3u1=50{u1q3u1q=25u1q2u1=50{u1q(q21)=25u1(q21)=50u1q(q21)u1(q21)=2550q=2550=12u1.(12)2u1=50u1.(34)=50u1=2003CSN:2003;1003;503;253;256

Bài 4 trang 104 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: un=u1qn-1 và công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSN: Sn=u1(1-qn)1-q.
Lời giải:

Giả sử có cấp số nhân: u1,u2,u3,u4,u5,u6

Theo giả thiết ta có:

u1+u2+u3+u4+u5=31.        (1)

u2+u3+u4+u5+u6=62.        (2)

Nhân hai vế của (1) với q, ta được:  u1q+u2q+u3q+u4q+u5q=31q

u2+u3+u4+u5+u6=31q     (3)

Từ (2) và (3) 62=31.qq=2.

Ta có S5=31u1(125)12=31 31u1=31u1=1

Vậy ta có cấp số nhân là: 1,2,4,8,16,32.

Cách khác:

Vậy ta có cấp số nhân là: 1,2,4,8,16,32.

Bài 5 trang 104 sgk Đại số và Giải tích 11: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân, với u1=1,8,q=1+1,4%=1,014.

Sử dụng công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân: un=u1.qn1

Lời giải:

Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%.N.

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là 

N+1,4%.N=101,4%.N =101,4100.N.

Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.

Hiện tại: u1=N

Sau 1 năm: u2=101,4100.N

Sau 2 năm: u3=(101,4100)2.N;...

Vậy nếu N=1,8 triệu người

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì:

Sau 5 năm số dân của tỉnh là u6=(101,4100)5.1,81,9 (triệu người)

Sau 10 năm số dân của tỉnh là u11=(101,4100)10.1,82,1 (triệu người).

Bài 6 trang 104 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (hình bên). Từ hình vuông C2 lại tiếp tục như trên để được hình vuông C3… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C1, C2, C3, …,Cn

Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân 

Lời giải:

Xét dãy số (an), ta có a1=4.

Gọi an là cạnh hình vuông Cn.

Ta tính cạnh hình vuông an+1 như sau:

Xét tam giác BEF vuông tại B có BE=34BA=3an4BF=14BC=an4

Do đó EF=BE2+BF2 =(3an4)2+(an4)2=104an hay an+1=104an.

Vậy dãy số (an) là cấp số nhân với số hạng đầu là a1=4 và công bội q=104

Lý thuyết Bài Cấp số nhân

1. Định nghĩa

un là cấp số nhân un+1=un.q, với nN

Công bội q=un+1un.

Ví dụ:

Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u1=5,q=3. Tính u2.

Ta có: u2=qu1=3.5=15.

2. Số hạng tổng quát

un=u1.qn1,(n2)

Ví dụ:

Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u1=5,q=3. Tính u5.

Ta có:

u5=u1q4=5.34=405.

3. Tính chất

uk2=uk1.uk+1 hay |uk|=uk1.uk+1, với k2 

Ví dụ:

Cho bốn số x;5;25;y theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm x,y.

Ta có:

52=x.25x=1252=5yy=125

Vậy x=1,y=125.

4. Tổng n số hạng đầu 

Sn=u1(qn1)q1 =u1(1qn)1q(q1).

Ví dụ:

Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u1=5,q=3. Tính S10.

Ta có:

S10=u1(1q10)1q=5.(1310)13=5(3101)2