Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Dãy số chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Dãy số lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Dãy số

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời hoạt động 1 trang 85 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số f(n) = 12n-1, n N*. Tính f (1), f (2), f (3), f (4), f (5).
Phương pháp giải: Thay lần lượt từng giá trị của n vào f
Lời giải: 
Trả lời hoạt động 2 trang 86 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa
Lời giải:

- Hàm số cho bằng bảng

Ví dụ:

x

0

1

2

3

4

y

1

3

5

7

9

- Hàm số cho bằng công thức:
Ví dụ: y=2x+1x

Trả lời hoạt động 3 trang 86 sgk Đại số và Giải tích 11: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:
a. Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;

b. Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.

Lời giải: 
a. Năm số hạng đầu: 

11;13;15;17;19

Số hạng tổng quát của dãy số: 12n1 (nN)

b. Năm số hạng đầu: 1;4;7;10;13

Số hạng tổng quát của dãy số: 3n2 với (nN)

Trả lời hoạt động 4 trang 87 sgk Đại số và Giải tích 11: Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.
Phương pháp giải: Dãy Phi-bô-na-xi có hai số hạng đầu bằng 1, số hạng sau bằng tổng hai số ngay trước nó.
Lời giải:
Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.
Trả lời hoạt động 5 trang 89 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho các dãy số (un) và (vn) với un=1 + 1n; vn= 5n-1
a. Tính un+1, vn+1
b. Chứng minh un+1 < un và vn+1 > vn, với mọi n  N*
a. 
Phương pháp giải:
Lời giải:
b. 
Phương pháp giải:
Lời giải:
Trả lời hoạt động 6 trang 90 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh các bất đẳng thức nn2+112; n2+12n1 với mọi n  N*
Phương pháp giải:

Xét hiệu hai vế cần đánh giá và so sánh với 0.

Lời giải:
Bài tập (trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11: Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:
a. un=n2n-1
b. un=2n-12n+1
c. un= (1 + 1n)n
d. un= nn2+1
Phương pháp giải:
Lời giải:
a. 
b. 
c. 
d. 
Bài 2 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho dãy số un, biết: u1=1;un+1=un+3 với n1.
a. Viết năm số hạng đầu của dãy số
b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un= 3n-4.
a.
Phương pháp giải: Công thức đã cho có thể hiểu là số hạng sau bằng số hạng trước cộng với 3.
Lời giải:

u1=1.

u2=u1+3=1+3=2.

u3=u2+3=2+3=5.

u4=u3+3=5+3=8.

u5=u4+3=8+3=11.

Năm số hạng đầu của dãy số là: u1=1;u2=2;u3=5; u4=8;u5=11

b.
Phương pháp giải:

Nội dung phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến n=k1 (giả thiết quy nạp). Ta chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi nN.

Lời giải:

Chứng minh un=3n4 (*) bằng phương pháp quy nạp:

+) Do u1=1=3.14 nên (*) đúng với n=1

+) Giả sử (*) đúng với n=k,k1, tức là uk=3k4.

Ta cần chứng minh (*) đúng với n=k+1, tức là chứng minh uk+1=3(k+1)4.

Thật vậy, từ giả thiết un+1=un+3 với mọi n ta suy ra:

uk+1=uk+3=3k4+3 =(3k+3)4=3(k+1)4

hay  uk+1=3(k+1)4

Do đó (*) đúng với n=k+1.

Kết luận: Vậy hệ thức đúng với mọi nN.

Bài 3 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11: Dãy số un cho bởi: u1=3; un+1=1+u2n, n1.
a. Viết năm số hạng đầu của dãy số. 
b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
a.
Phương pháp giải: Để viết năm số hạng đầu tiên của dãy số ta tính un lần lượt tại n = 1;2;3;4.
Lời giải:

Ta có:

u2=1+u12=1+32=10

u3=1+u22=1+(10)2=11

u4=1+u32=1+(11)2=12

u5=1+u42=1+(12)2=13

Năm số hạng đầu của dãy số là u1=3;u2=10;u3=11; u4=12;u5=13

b.
Phương pháp giải:

Dựa vào các giá trị u1;u2;u3;u4;u5 dự đoán công thức tổng un.

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến n=k1 (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến n=k+1.

Lời giải:

Ta có:

u1=3=9=1+8

u2=10=2+8

u3=11=3+8

u4=12=4+8

u5=13=5+8

...........

Từ trên ta dự đoán un=n+8, với nN   (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với n=1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với n=k1, tức là có  uk=k+8 với k1, ta cần chứng minh uk+1=(k+1)+8

Theo công thức dãy số, ta có:

uk+1=1+uk2 =1+(k+8)2

=1+k+8 =(k+1)+8.

Như vậy công thức (1) đúng với n=k+1.

Vậy công thức (1) được chứng minh.

Bài 4 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11: Xét tính tăng, giảm của các dãy số un biết:
a. un=1n-2
b. un=n-1n+1
c. un= (-1)n(2n+1)
d. un=2n+15n+2
Phương pháp giải:

Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau: 

Cách 1: Xét hiệu un+1un

+) Nếu hiệu trên lớn hơn 0 chứng tỏ un+1>un do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn 0 chứng tỏ un+1<un do đó dãy số là dãy giảm.

Cách 2: Xét thương un+1un

+) Nếu thương trên lớn hơn 1 chứng tỏ un+1>un do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu thương trên nhỏ hơn 1 chứng tỏ un+1<un do đó dãy số là dãy giảm.

Lời giải:

a. Xét hiệu

un+1un=1n+12(1n2) =1n+11n

=n(n+1)n(n+1)=1n(n+1)<0,nN

un+1un<0nN

un+1<un,nN

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Cách khác:

Với mọi nN  ta có:

un+1=1n+12<1n2<un

Do đó (un) là dãy số giảm.

b. Xét hiệu un+1un=n+11n+1+1n1n+1 =nn+2n1n+1 =n(n+1)(n1)(n+2)(n+1)(n+2)

=n2+n(n2n+2n2)(n+1)(n+2)=n2+n(n2+n2)(n+1)(n+2) =n2+nn2n+2(n+1)(n+2) =2(n+1)(n+2)>0

un+1>unnN

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Cách khác:

un=n1n+1=n+12n+1=n+1n+12n+1=12n+1

Với mọi n thuộc N* ta có:

un+1=11(n+1)+1=11n+2un=11n+11n+2<1n+11n+2>1n+111n+2>11n+1un+1>un

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

c.

Nhận xét: 

u1<0,u2>0,u3<0,u4>0,u1<u2,u2>u3,u3<u4,

⇒ dãy số (un)không tăng, không giảm.

Chú ý:

Các dãy số mà có số hạng đan dấu là dãy số không tăng và cũng không giảm.

d.

Phương pháp giải:

Xét thương un+1un(vì un với mọi n N*) rồi so sánh với 1.

Lời giải:

Ta có: un+1=2(n+1)+15(n+1)+2=2n+35n+7

un+1un =2n+35n+7:2n+15n+2

=2n+35n+7.5n+22n+1

=(2n+3)(5n+2)(5n+7)(2n+1)

=10n2+15n+4n+610n2+14n+5n+7

=10n2+19n+610n2+19n+7<1 với mọi nN

(Vì 10n2+19n+6<10n2+19n+7)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.

Cách khác:

un+1un=2(n+1)+15(n+1)+22n+15n+2=2n+35n+72n+15n+2=(2n+3)(5n+2)(2n+1)(5n+7)(5n+7)(5n+2)=(10n2+15n+4n+6)(10n2+5n+14n+7)(5n+7)(5n+2)=1(5n+7)(5n+2)<0,nNun+1un<0,nNun+1<un,nN

Bài 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11: Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?
a. un=2n2-1
b. un=1n(n+2)
c. un=12n2-1
d. un=sin n +cos n
Phương pháp giải:

Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho unMnN.

Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho unmnN.

Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho munMnN.

Lời giải:

a. Ta có:

n1n212n22

2n211un1,nN

Do đó (un) bị chặn dưới bởi 1.

Ngoài ra, (un) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để 2n21<M với mọi nN.

b. Dễ thấy un>0nN.

Mặt khác, vì:

{n1n212n2n(n+2)=n2+2n1+2=31n(n+2)13un13nN.

Suy ra 0<un 13 với mọi  nN.

Vậy dãy số bị chặn.

c. Dễ thấy un=12n21>0 với mọi nN

Ta có:

n212n222n211>00<12n211nN

Vậy 0<un1nN, tức dãy số bị chặn.

d. Ta có:

sinn+cosn=2(12sinn+12cosn)=2(sinncosπ4+cosnsinπ4)=2sin(n+π4)Vì 1sin(n+π4)122sin(n+π4)22sinn+cosn2nN

Vậy 2un2nN, tức là dãy số là dãy bị chặn.
Lý thuyết Bài Dãy số

1. Định nghĩa

a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N*  được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

u:NR

nu(n)

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u1, u2,u3, ….,un,….,

trong đó un = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đầu của dãy số (un)

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3,..., m}, với mN  được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là: u1, u2,u3, ….,um, trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

Khi đó un=f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N

Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được un.

b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được un với n tuỳ ý.

c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

- Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).

- Với n ≥ 2, cho một công thức tính un nếu biết un1 (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)

Chẳng hạn, các công thức có thể là:

{u1=aun=f(un1),n2

 hoặc 

{u1=a,u2=bun=f(un1,un2),n3

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi nN

- Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi nN.

Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số:

Phương pháp 1:

Xét hiệu H = un+1 - un

- Nếu H > 0 với mọi nN thì dãy số tăng

- Nếu H < 0 với mọi nN thì dãy số giảm.

Phương pháp 2:

Nếu un > 0 với mọi nN  thì lập tỉ số un+1un, rồi so sánh với 1.

- Nếu un+1un>1 với mọi nN thì dãy số tăng.

- Nếu  un+1un<1 với mọi nN thì dãy số giảm.

4. Dãy số bị chặn

- Dãy số un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho

un ≤ M, với mọi nN

- Dãy số Un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho

un ≥ m, với mọi nN

- Dãy số Un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho:

m ≤ un ≤ M, với mọi nN