Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài Ôn tập Chương 3 chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Ôn tập Chương 3 lớp 11.
Giải bài tập Toán 11 Bài Ôn tập Chương 3
Xét cấp số cộng với , ta có:
+) nếu
+) nếu
Vậy cấp số cộng
+) Tăng nếu
+) Giảm nếu .
(vì )
b. Do nên:
+ Nếu chẵn lẻ
+ Nếu lẻ chẵn
Vậy nếu thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.
Giả sử có hai cấp số cộng với công sai và với công sai .
Suy ra
Xét dãy với
Ta có:
Vậy là cấp số cộng có số hạng đầu là và công sai là
Ví dụ:
là cấp số cộng có và
là cấp số cộng có và
là cấp số cộng có và .
Bài 4 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tính các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.Gọi là cấp số nhân công bội và là cấp số nhân công bội tương ứng.
Xét với
Ta có:
Vậy dãy số là một cấp số nhân có công bội :
Ví dụ:
là cấp số nhân có công bội
là cấp số nhân có công bội
Suy ra: là cấp số nhân có công bội: .
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.
a. Với , ta có:
Giả sử: với mọi
Ta chứng minh: chia hết cho
Thật vậy:
Vì : và (theo giả thiết quy nạp)
Nên :
Vậy chia hết cho với mọi .
b. Với , ta có:
Giả sử: .
Ta chứng minh:
Thật vậy:
Vì (theo giả thiết quy nạp) và
Nên:
Vậy: chia hết cho với mọi
Viết các số hạng còn lại theo quy luật bài cho.
Ta có:
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Với , ta có: công thức đúng
Giả sử công thức đúng với mọi . Nghĩa là:
Ta chứng minh công thức cũng đúng với , nghĩa là ta phải chứng minh:
Ta có: (đpcm)
Vậy với mọi .
*) Xét hiệu .
Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.
Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.
Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.
*) Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số sao cho .
Lời giải:
a.
Xét hiệu:
Do và n(n+1) > 0 với
Suy ra: là dãy số tăng.
Mặt khác: là dãy số bị chặn dưới.
Khi càng lớn thì càng lớn nên là dãy số không bị chặn trên.
Vậy là dãy số tăng và bị chặn dưới.
b.
Ta có:
và
Vậy là dãy số không tăng không giảm.
Ta lại có:
Vậy là dãy số bị chặn.
Cách khác:
Với thì
Suy ra: Với chẵn lẻ
Với lẻ chẵn
không tăng không giảm.
c.
Ta có:
Xét hiệu:
Ta có:
là dãy số giảm.
Mặt khác: là dãy số bị chặn dưới.
Ta lại có: với thì
Suy ra: là dãy số bị chặn trên.
Vậy là dãy số giảm và bị chặn.
Sử dụng các công thức
Lời giải:
a.
Ta có:
Vậy số hạng đầu , công sai
b.
Ta có:
thế vào
Vậy hoặc
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: thế vào (1) ta có:
Vậy và .
b. Ta có:
Vậy và
c. Ta có:
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: thế vào (1)
(1)
Vậy và .
Theo giả thiết ta có: là một cấp số cộng và
Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: . Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
, ,
(1)
Mà tổng bốn góc của tứ giác bằng nên:
(2)
Lấy ta được:
Sử dụng công thức SHTQ và tính chất của CSC và CSN.
Lời giải:
Giả sử ba số lập thành một cấp số nhân với công bội ta có: và .
Ba số lập thành một cấp số cộng nên:
hoặc
Nếu thì , không xác định (loại)
Nếu thì
Cách khác:
Gọi công bội của CSN là .
Lại có : lập thành CSC
+ Nếu
không xác định (loại).
+ Nếu hoặc
Vậy CSN có công bội hoặc
Phương pháp giải: Diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân. Sử dụng công thức SHTQ của CSN: un = u1.qn-1 .
Lời giải:
Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; … lần lượt là
Ta có:
Diện tích đế tháp:
Diện tích tầng 1:
Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới.
Do đó là CSN có số hạng đầu công bội .
Diện tích tầng 11 là
Ta phải chứng minh:
Thật vậy,
(đúng do lập thành CSC)
Vậy (1) đúng nên là cấp số cộng.
a. Số hạng bằng:
A. B.
C. D.
b. Số hạng bằng:
A. B.
C. D.
c. Số hạng bằng :
A. B.
C. D.
d. Số hạng bằng:
A. B.
C. D.
a.
Phương pháp giải:
Thay n bằng n+1
Ta có:
Chọn đáp án C.
b.
Phương pháp giải:
Thay n bằng 2n
Ta có: ,
Chọn đáp án B.
c.
Phương pháp giải:
Thay n bằng n-1
Ta có:
Chọn đáp án B.
d.
Phương pháp giải:
Thay n bằng 2n-1
Ta có:
Chọn đáp án B
A. B.
C. D.
Xét từng phương án ta có:
_ Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, không thể là dãy số tăng.
_ Phương án C:
không là dãy số tăng loại đáp án C
_ Phương án D:
không là dãy số tăng loại phương án D
Chọn đáp án B.
Thật vậy:
(vì chẵn nên )
Ta có:
Suy ra: là dãy số tăng.
Cách tổng quát:
Đáp án A:
(un): có:
dương
âm
⇒ dãy số không tăng không giảm.
Đáp án B:
với mọi n ∈ N.
là dãy số tăng.
Đáp án C:
là dãy số giảm.
Đáp án D:
là dãy giảm.
A. B.
C. D.
Theo giả thiết: là cấp số cộng
Chọn đáp án D.
Ta có: là ba số hạng của một cấp số nhân nên:
hoặc .
Chọn đáp án C.
A.
B.
C.
D.
Chọn đáp án B.
A.
B.
C.
D.
Ta có:
không phải CSN.
là CSN với công bội q = 3 ; u1 = -1.
Đây là cấp số cộng với ; công sai .
+
Chọn đáp án B.