Giải Toán 11 Bài Ôn tập Chương 3

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài Ôn tập Chương 3 chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Ôn tập Chương 3 lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài Ôn tập Chương 3

Bài tập (trang 107, 108, 109 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?
Phương pháp giải:
Nhắc lại định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm.
Lời giải:

Xét cấp số cộng  (un) với un+1=un+d, ta có: un+1un=d

+) un+1>un nếu d>0

+)  un+1<un nếu d<0

Vậy cấp số cộng (un)

+) Tăng nếu d>0

+) Giảm nếu d<0.

Bài 2 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Cho cấp số nhân có u1 < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:
a. q > 0
b. q < 0
Phương pháp giải:
SHTQ của cấp số nhân: un = u1qn-1 với u1 là số hạng đầu của CSN và q là công bội của CSN.
Lời giải:
a. Ta có: un=u1qn1

q>0qn1>0u1.qn1<0

(vì u1<0)

un<0,n

b. Do q<0 nên:

+ Nếu n chẵn n1 lẻ qn1<0

u1.qn1>0(Vìu1<0).

un>0.

+ Nếu n lẻ n1 chẵn qn1>0

u1.qn1<0(Vìu1<0).

un<0.

Vậy nếu q<0,u1<0 thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.

Bài 3 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng, Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.
Phương pháp giải:
Cho u1 là số hạng đầu của CSC và d là công sai của CSC đó, ta có un+1 - un = d = const
Lời giải:

Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 và (vn) với công sai d2.

Suy ra {un+1un=d1vn+1vn=d2

Xét dãy (an) với an=un+vn

Ta có: an+1an=(un+1+vn+1)(un+vn)

=(un+1un)+(vn+1vn)=d1+d2=const

Vậy (an) là cấp số cộng có số hạng đầu là a1=u1+v1 và công sai là d1+d2

Ví dụ:

1,3,5,7,... là cấp số cộng có u1=1 và d1=2

0,5,10,15,... là cấp số cộng có v1=0 và d2=5

(an):1,8,15,22,... là cấp số cộng có a1=1+0=1 và d=d1+d2=2+5=7.

Bài 4 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tính các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Phương pháp giải:
Định nghĩa CSN: (un) là CSN công bội q thì un+1 = qun
Lời giải:

Gọi (an) là cấp số nhân công bội q1 và (bn) là cấp số nhân công bội q2 tương ứng.

Xét (un) với un=an.bn

Ta có:

un+1=an+1.bn+1

un+1un=an+1bn+1anbn=an+1an.bn+1bn=q1q2

Vậy dãy số (un) là một cấp số nhân có công bội : q=q1q2

Ví dụ:

1,2,4,... là cấp số nhân có công bội q1=2

3,9,27,... là cấp số nhân có công bội q2=3

Suy ra: 3,18,108... là cấp số nhân có công bội: q=q1q2=2.3=6.

Bài 5 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗, ta có:
a. 13n - 1 chia hết cho 6
b. 3n3 + 15n chia hết cho 9
Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải:

a. Với n=1, ta có: 1311=131=126

Giả sử: 13k1  6 với mọi k1

Ta chứng minh: 13k+11 chia hết cho 6

Thật vậy:

13k+11=13k+113k+13k1

=(13k+113k)+(13k1)=13k(131)+(13k1)

=12.13k+13k1

Vì : 12.13k  6 và 13k1  6 (theo giả thiết quy nạp)

Nên : 13k+11  6

Vậy 13n1 chia hết cho 6 với mọi nN.

b. Với n=1, ta có: 3.13+15.1=18  9

Giả sử:  3k3+15k  9 k1.

Ta chứng minh: 3(k+1)3+15(k+1)  9

Thật vậy:

3(k+1)3+15(k+1)

=3.(k3+3k2+3k+1)+15(k+1)

=3k3+9k2+9k+15k+18

=(3k3+15k)+9(k2+k+2)

Vì 3k3+15k  9 (theo giả thiết quy nạp) và 9(k2+k+2)  9

Nên: 3(k+1)3+15(k+1)  9

Vậy: 3n3+15n chia hết cho 9 với mọi nN

Bài 6 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Cho dãy số (un), biết u1 = 2, un+1 = 2un-1 (với n 1)
a. Viết năm số hạng đầu của dãy
b. Chứng minh: un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.
a. 
Phương pháp giải:

Viết các số hạng còn lại theo quy luật bài cho.

Lời giải:

Ta có:

u1=2u2=2u11=3u3=2u21=5u4=2u31=9u5=2u41=17

b. 
Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

Với n=1, ta có: u1=211+1=2 công thức đúng

Giả sử công thức đúng với mọi n=k1. Nghĩa là: uk=2k1+1

Ta chứng minh công thức cũng đúng với n=k+1, nghĩa là ta phải chứng minh:

uk+1=2(k+1)1+1=2k+1

Ta có: uk+1=2uk1=2(2k1+1)1=2.2k1+21=2k+1 (đpcm)

Vậy un=2n1+1 với mọi  nN.

Bài 7 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết: 
a. un=n+1n
b. un=(-1)n-1sin1n
c. un=n+1-n
Phương pháp giải:

*) Xét hiệu un+1un.

Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.

Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.

Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.

*) Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho unMnN.

Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho unmnN.

Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số M,m sao cho munMnN.

Lời giải:

a.

Xét hiệu:

un+1un=(n+1+1n+1)(n+1n)=n+1+1n+1n1n=1+1n+11n=n2+n+nn1n(n+1)=n2+n1n(n+1)>0nN

Do n2+n112+11=1>0 và n(n+1) > 0 với nN

Suy ra: un là dãy số tăng.

Mặt khác: un=n+1n2n.1n=2,nN un là dãy số bị chặn dưới.

Khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn trên.

Vậy un là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b.

Ta có:

 u1=(1)11sin1=sin1>0

u2=(1)21.sin12=sin12<0u3=(1)31.sin13=sin13>0

u1>u2 và u2<u3

Vậy un là dãy số không tăng không giảm.

Ta lại có: |un|=|(1)n1sin1n|=|sin1n|11un1

Vậy un là dãy số bị chặn.

Cách khác:

Với n1 thì 0<1n<1<π2sin1n>0,n

Suy ra: Với n chẵn n1 lẻ

(1)n1=1un<0

Với n lẻ n1 chẵn

(1)n1=1un>0.u1>u2<u3>u4<u5>u6

(un) không tăng không giảm.

(1)n1=1un<0

c.

Ta có:

un=n+1n =(n+1n)(n+1+n)n+1+n=n+1nn+1+n =1n+1+n

Xét hiệu:

un+1un=1(n+1)+1+n+11n+1+n=1n+2+n+11n+1+n 

Ta có:

{n+2>n+1n+1>n

n+2+n+1>n+1+n>0

1n+2+n+1<1n+1+n

un+1un<0

un  là dãy số giảm.

Mặt khác: un=1n+1+n>0,nN un là dãy số bị chặn dưới.

Ta lại có: với n1 thì n+1+n2+1

un=1n+1+n12+1

Suy ra: un là dãy số bị chặn trên.

Vậy un là dãy số giảm và bị chặn.

Bài 8 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un) biết:
a. 5u1+10u5=0S4=14
b. u7+u15=60u24+u212=1170
Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức 

un=u1+(n1)dSn=(2u1+(n1)d)n2

Lời giải:

a.

Ta có:

{5u1+10u5=0S4=14{5u1+10(u1+4d)=0(2u1+3d).42=14{15u1+40d=02u1+3d=7{u1=8d=3

Vậy số hạng đầu u1=8, công sai d=3

b.

Ta có:

{u7+u15=60u42+u122=1170

{(u1+6d)+(u1+14d)=60(1)(u1+3d)2+(u1+11d)2=1170(2)

(1)2u1+20d=60u1=3010d thế vào (2)

(2)[(3010d)+3d]2+[(3010d)+11d]2=1170

(307d)2+(30+d)2=1170

900420d+49d2+900+60d+d2=1170

50d2360d+630=0 

[d=3u1=0d=215u1=12

Vậy {u1=0d=3 hoặc {u1=12d=215

Bài 9 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Tìm số hạng đầu u1 và công bội của các cấp số nhân (un), biết:
a. u6=192u7=384
b. u4-u2=72u5-u3=144
c. u2+u5-u4=10u3+u6-u5=20
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: un = u1qn-1
Lời giải:
a. {u6=192u7=384{u1.q5=192(1)u1.q6=384(2)

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: q=2 thế vào (1) ta có: u1.25=192u1=6

Vậy u1=6 và q=2.

b. Ta có:

{u4u2=72u5u3=144{u1q3u1q=72u1q4u1q2=144{u1q(q21)=72u1q2(q21)=144u1q2(q21)u1q(q21)=14472q=14472=2u1.2.(221)=72u1.6=72u1=12

Vậy u1=12 và q=2

c. Ta có:

{u2+u5u4=10u3+u6u5=20{u1.q+u1.q4u1.q3=10u1.q2+u1.q5u1.q4=20{u1q(1+q3q2)=10(1)u1q2(1+q3q2)=20(2)

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: q=2 thế vào (1)

(1) 2u1(1+84)=10u1=1

Vậy u1=1 và q=2.

Bài 10 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11:Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp năm lần góc A. Tính các góc của tứ giác.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức SHTQ: un=u1+(n−1)d
Lời giải: 

Theo giả thiết ta có: A,B,C,D là một cấp số cộng và C^=5A^            

Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: d. Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

B^=A^+dC^=A^+2dD^=A^+3d

A^+2d=5A^

4A^2d=0    (1)

Mà tổng bốn góc của tứ giác bằng 3600 nên:

A^+B^+C^+D^=3600

A^+(A^+d)+(A^+2d)+(A^+3d)=3600

4A^+6d=3600 (2)      

Lấy (2)(1) ta được: 8d=3600d=450

4A^2.450=0A^=22,50=22030B^=A^+450=67030C^=A^+2.450=112030D^=A^+3.450=157030

Bài 11 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11:Biết rằng ba số x,y,z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Phương pháp giải:

Sử dụng công thức SHTQ và tính chất của CSC và CSN.

Lời giải:

Giả sử ba số x,y,z lập thành một cấp số nhân với công bội q ta có: y=x.q và z=y.q=x.q2.

Ba số x,2y,3z lập thành một cấp số cộng nên:

x+3z=2.2y

x+3.(xq2)=4.(xq)

x+3xq24xq=0

x.(1+3q24q)=0

x=0 hoặc 3q24q+1=0

Nếu x=0 thì x=y=z=0q không xác định (loại)

Nếu x0 thì 3q24q+1=0[q=1q=13

Cách khác:

Gọi công bội của CSN x;y;z là q.

y=x.q;z=x.q2.

Lại có : x;2y;3z lập thành CSC

2yx=3z2y2.xqx=3.xq22.xqx(2q1)=x.(3q22q)x.(3q24q+1)=0

+ Nếu x=0y=z=0

q không xác định (loại).

+ Nếu x03q24q+1=0q=1 hoặc q=13

Vậy CSN có công bội q=1 hoặc q=13

Bài 12 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11: Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12288 m2. Tính diện tích mặt trên cùng.
Phương pháp giải: Diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân. Sử dụng công thức SHTQ của CSN: un = u1.qn-1 .
Lời giải:

Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; … lần lượt là S1;S2;S3;;S11.

Ta có:

Diện tích đế tháp: S0=12288m2

Diện tích tầng 1: S1=12S0=12.12288m2=6144m2

Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới.

Do đó (Sn) là CSN có số hạng đầu S1=6144m2 công bội q=12.

Diện tích tầng 11 là S11=S1q10=6144.(12)10=6m2

Bài 13 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng nếu các số a2, b2, c2 lập thành một cấp số cộng (abc # 0) thì các số 1b+c,1c+a,1a+bcũng lập thành một cấp số cộng.

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất của CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSC thì: x + z = 2y.
Lời giải:

Ta phải chứng minh: 1b+c1c+a=1c+a1a+b

Thật vậy,

1b+c1c+a=1c+a1a+bc+abc(c+a)(b+c)=a+bca(c+a)(a+b)abb+c=bca+b(ab)(a+b)=(b+c)(bc)a2b2=b2c2

(đúng do a2,b2,c2 lập thành CSC)

Vậy (1) đúng nên 1b+c,1c+a;1a+b là cấp số cộng.

Bài 14 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11:Cho dãy số (un), biết un=3n. Hãy chọn phương án đúng:

a. Số hạng un+1bằng:

A. 3n+1                         B. 3n+3

C. 3n.3                             D. 3(n+1)

b. Số hạng u2n bằng:

A. 2.3n                              B. 9n

C. 3n+3                          D. 6n

c. Số hạng un1bằng :

A. 3n1                         B. 13.3n

C. 3n3                           D. 3n1

d. Số hạng u2n1 bằng:

A. 32.3n1                    B. 3n.3n1

C. 32n1                        D. 32(n1)

a.

Phương pháp giải:

Thay n bằng n+1

Lời giải:

Ta có: un+1=3n+1=3n.3

Chọn đáp án C.

b.

Phương pháp giải:

Thay n bằng 2n

Lời giải:

Ta có: u2n=32n=(32)n=9n,

Chọn đáp án B.

c.

Phương pháp giải:

Thay n bằng n-1

Lời giải:

Ta có: un1=3n1=3n.31=3n3

Chọn đáp án B.

d.

Phương pháp giải:

Thay n bằng 2n-1

Lời giải:

Ta có: u2n1=32n1=3n.3n1

Chọn đáp án B

Bài 15 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó là:

A. (1)n+1.sinπn      B. (1)2n(5n+1)

C. 1n+1+n         D. nn2+1

Phương pháp giải:
Dãy số (un) là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi nN*
Lời giải:

Xét từng phương án ta có:

_ Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử (1)n+1 nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, un không thể là dãy số tăng.

_ Phương án C:

u3=13+1+1=13u8=18+1+1=14

u8<u3un không là dãy số tăng  loại đáp án C

_ Phương án D: u1=12,u2=25

u2<u1un không là dãy số tăng  loại phương án D

Chọn đáp án B.

Thật vậy:

un=(1)2n.(5n+1)=5n+1 

(vì 2n chẵn nên (1)2n=1)                                                                

Ta có:

un+1un=(5n+1+1)(5n+1)=5n+15n

=5n.(51)=4.5n>0,nN

Suy ra: un là dãy số tăng.

Cách tổng quát:

Đáp án A:

(un): un=(1)n+1.sinπn có:

u1;u3;u5; dương

u2;u4;u6; âm

⇒ dãy số không tăng không giảm.

Đáp án B:

(un):(1)2n.(5n+1)=5n+1.

un+1=5n+1+1>5n+1=un với mọi n ∈ N.

(un) là dãy số tăng.

Đáp án C:

+(un):un=1n+1+nun+1=1n+2+n+1<1n+1+n=un

(un) là dãy số giảm.

Đáp án D:

+(un):un=nn2+1un+1un=n+1(n+1)2+1nn2+1=(n+1)(n2+1)n.(n2+2n+1)(n2+2n+1)(n2+1)=n2n+1(n2+2n+1)(n2+1)<0n1.

(un) là dãy giảm.

Bài 16 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11Cho cấp số cộng 2,x,6,y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. x=6,y=2       B. x=1,y=7

C. x=2,y=8             D. x=2,y=10

Phương pháp giải:
Tính chất CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số hạng liên tiếp của CSC thì x+z=2y.
Lời giải:

Theo giả thiết: 2,x,6,y là cấp số cộng

{2x=(2)+62.6=x+y{x=2y=10

Chọn đáp án D.

Bài 17 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số nhân 4,x,9. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A.x=36                           B.x=6,5

C.x=6                              D.x=36

Phương pháp giải: Tính chất CSN: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSN thì xz=y2.
Lời giải:

Ta có: 4,x,9 là ba số hạng của một cấp số nhân nên:

x2=(4).(9)=36x=6 hoặc x=6.

Chọn đáp án C.

Bài 18 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

A. u10+u202=u5+u10

B. u90+u210=2u150

C. u10u30=5u20

D. u10.u302=u20

Phương pháp giải:
Sử dụng công thức SHTQ của CSC: un=u1+(n-1)d
Lời giải:

Chọn đáp án B.

Bài 19 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11: Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:

A. {u1=2un+1=un2

B. {u1=1un+1=3un

C. {u1=3un+1=un+1

D. 7,77,777,....777..77n

Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa CSN.
Lời giải:

Ta có:

+{u1=2un+1=un2un+1un=un;un+2un+1=un+1=un2un+1unun+2un+1

(un) không phải CSN.

+{u1=1un+1=3unun+1un=3n1

(un) là CSN với công bội q = 3 ; u1 = -1.

+{u1=3un+1=un+1

Đây là cấp số cộng với u1=3 ; công sai d=1.

7;77;777;;77777

u2u1=777=11;u3u2=7777711;u2u1u3u2

Chọn đáp án B.