Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Giới hạn của dãy số lớp 11.
Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số
Biểu diễn dưới dạng khai triển:
Biểu diễn trên trục số (h.46)
a. Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn.
b. Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?
a.
Phương pháp giải:
Quan sát và nhận xét.
Ta có: .
Do đó từ số hạng thứ thì khoảng cách từ đến đều nhỏ hơn .
.
Do đó từ số hạng thứ thì khoảng cách từ đến đều nhỏ hơn
Trả lời hoạt động 2 trang 117 sgk Đại số và Giải tích 11: Có nhiều tờ giấy chồng nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,1 mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn.Gọi là bề dày của một tờ giấy, là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, là bề dày của một xếp giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy ta được dãy số vô hạn .
Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy
a. Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn
b. Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000 km haymm)
Lời giải:
a.
Giá trị của un rất lớn khi n tăng lên vô hạn
b.
Ta có: .
Vậy cần tờ giấy để đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng.
Bài tập (trang 121, 122 sgk Đại số và Giải tích 11)
Gọi là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ
a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un).
b. Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.
c. Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6g.
a.
Phương pháp giải:
Tính u1, u2, u3,.. từ quy luật đó dự đoán công thức của un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Lời giải:
Ta có:
+) Sau chu kì thứ nhất, lượng chất phóng xạ còn .
+) Sau chu kì thứ hai, lượng chất phóng xạ còn .
+) Sau chu kì thứ ba, lượng chất phóng xạ còn .
Do đó ; ; ;....
Từ đó ta dự đoán công thức .
Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.
Hiển nhiên công thức trên đúng với .
Giả sử công thức đúng với mọi , tức là có , ta chứng minh công thức đó đúng với mọi , tức là cần chứng minh: .
Ta có
Vậy .
b.
Phương pháp giải:
Tính .
Lời giải:
.
c.
Phương pháp giải:
Chất phóng xạ sẽ không còn độc hại nếu tìm n.
Lời giải:
Đổi .
Để chất phóng xạ sẽ không còn độc hại, ta cần tìm n để
Nói cách khác, sau chu kì thứ (nghĩa là sau (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.
Vì nên theo định nghĩa thì
luôn nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
(. Chọn , tức là từ số hạng thứ mà thì luôn nhỏ hơn )
Mà nên với mọi
Theo định nghĩa dãy số có giới hạn thì
. (đpcm)
Cách khác:
Các em có thể sử dụng định lý sau:
Cho hai dãy số và . Nếu có và thì .
Cụ thể:
Vì và nên .
Đặt
Vì khi thì nên và
Do đó
Đặt
Vì khi thì nên và
Do đó
Chia cả tử và mẫu cho và sử dụng giới hạn
Lời giải:
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho ta được:
.
Tính diện tích của hình vuông với là cạnh của hình vuông.
Lời giải:
Do hình vuông lớn có cạnh bằng 1, hình vuông màu xám thứ nhất có cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông lớn nên:
Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng nên .
Hình vuông thứ hai có cạnh bằng nên .
Hình vuông thứ ba có cạnh bằng nên
Tương tự, ta có
Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn .
Lời giải:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn với và . Do đó
.
Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với và
Vậy .
Viết số thập phân dưới dạng tổng của các phân số và sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Ta có
Vì , ,..., ,... là một cấp số nhân lùi vô hạn có: , q = .
Sử dụng định lí 2c trang 119 SGK:
Nếu và thì .
Lời giải:
Vì và
Sử dụng hệ quả suy ra từ định lí 2c trang 119 SGK:
Nếu và thì .
Lời giải:
Vì và
Sử dụng định lí 1 trang 114 SGK:
Nếu và , thì:
(nếu ).
Lời giải:
Sử dụng định lí 2c trang 119 SGK:
Nếu và thì .
Lời giải:
Tính các giới hạn:
a.
b.
a.
Phương pháp giải:
Thay vào tính giới hạn.
Lời giải:
b.
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho
Lời giải:
Vì
Lý thuyết Bài Giới hạn của dãy số
1. Giới hạn hữu hạn
+) khi và chỉ khi có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
+) .
2. Giới hạn vô cực
+) khi và chỉ khi có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
+ .
3. Các giới hạn đặc biệt
a) ;
;
, với nguyên dương.
b) nếu ;
nếu .
c) ( là hằng số).
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Nếu và , thì:
(nếu ).
b) Nếu với mọi và thì và .
5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.
a) Nếu và thì .
b) Nếu , và với mọi thì
c) Nếu và thì .
6. Cấp số nhân lùi vô hạn
+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội thỏa mãn .
+) Công thức tính tổng của cấp số lùi vô hạn :