Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Giới hạn của dãy số lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời hoạt động 1 trang 112 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho dãy số (un) với un=1n

Biểu diễn (un) dưới dạng khai triển: 

1,12;13;14;15;.....;1100

Biểu diễn (un) trên trục số (h.46)

a. Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn.
b. Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?

a.

Phương pháp giải: 

Quan sát và nhận xét.

Lời giải:
Khoảng cách từ un tới 0 trở nên rất nhỏ (gần bằng 0) khi n trở nên rất lớn
b. 
Phương pháp giải:
Cho 1n < 0,01và 1n < 0,001  tìm điều kiện của n.
Lời giải:

Ta có: 1n<0,011n<1100 n>100.

Do đó từ số hạng thứ 101 thì khoảng cách từ un đến 0 đều nhỏ hơn 0,01.

1n<0,0011n<11000 n>1000.

Do đó từ số hạng thứ 1001 thì khoảng cách từ un đến 0 đều nhỏ hơn 0,001

Trả lời hoạt động 2 trang 117 sgk Đại số và Giải tích 11Có nhiều tờ giấy chồng nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,1 mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn.

Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy, u2 là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, u3 là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, un là bề dày của một xếp giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy ta được dãy số vô hạn un.

Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy

a. Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn

b. Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000 km haymm)

Lời giải:

a.

Giá trị của un rất lớn khi n tăng lên vô hạn

b.

Ta có: un>384.109 n10>384.109 n>384.1010.

Vậy cần n>384.1010 tờ giấy để đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng.
Bài tập (trang 121, 122 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 121 sgk Đại số và Giải tích 11: Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T=24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

Gọi (un) là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ n

a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un).
b. Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.
c. Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6g.

a.
Phương pháp giải:

Tính u1, u2, u3,.. từ quy luật đó dự đoán công thức của un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

Ta có:

+) Sau chu kì thứ nhất, lượng chất phóng xạ còn 12.

+) Sau chu kì thứ hai, lượng chất phóng xạ còn 14=122.

+) Sau chu kì thứ ba, lượng chất phóng xạ còn 18=123.

Do đó u1=12u2=122u3=123;....

Từ đó ta dự đoán công thức un=12n n1.

Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.

Hiển nhiên công thức trên đúng với n=1.

Giả sử công thức đúng với mọi k1, tức là có uk=12k, ta chứng minh công thức đó đúng với mọi n=k+1, tức là cần chứng minh: uk+1=12k+1.

Ta có uk+1=uk2=12k:2=12k.12=12k+1

Vậy un=12nnN.

b.
Phương pháp giải:

Tính limun.

Lời giải:

limun=lim(12)n=0.

c.
Phương pháp giải:

Chất phóng xạ sẽ không còn độc hại nếu un<106; tìm n.

Lời giải:

Đổi 106g=1106.1103kg=1109kg.

Để chất phóng xạ sẽ không còn độc hại, ta cần tìm n để un=12n<11092n>109n30

Nói cách khác, sau chu kì thứ 30 (nghĩa là sau 30.24000=720000 (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại. 

Bài 2 trang 121 sgk Đại số và Giải tích 11: Biết dãy số (un) thỏa mãn un-1<1n3 với mọi n. Chứng minh rằng lim un=1.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa giới hạn 0
Lời giải:

Vì lim1n3=0 nên theo định nghĩa thì

1n3 luôn nhỏ hơn một số dương A bé tùy ý, kể từ một số hạng N0 nào đó trở đi.

(1n3<An3>1An>1A3. Chọn N0=[1A3]+1, tức là từ số hạng thứ n mà n>N0 thì 1n3 luôn nhỏ hơn A)

Mà |un1|<1n3 nên |un1|<A với mọi n>N0=[1A3]+1

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 thì lim(un1)=0

limun=1. (đpcm)

Cách khác:

Các em có thể sử dụng định lý sau:

Cho hai dãy số (un) và (vn). Nếu có |un|vn và limvn=0 thì limun=0.

Cụ thể:

Vì |un1|<1n3 và lim1n3=0 nên lim(un1)=0limun=1.

Bài 3 trang 121 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm giới hạn sau:
a. lim 6n-13n+2
b. lim 3n2+n-52n2+1
c. lim 3n+5.4n4n+2n
d. lim 9n2-n+14n-2
a.
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n.
Lời giải:

Đặt I=lim6n13n+2 =limn(61n)n(3+2n)=lim61n3+2n

Vì khi n thì lim(1n)=0 nên lim(61n)=6 và lim(3+2n)=3

Do đó I=lim(61n)lim(3+2n) =63=2

b.
Lời giải:

Đặt I=lim3n2+n52n2+1 =limn2(3+1n5n2)n2(2+1n2) =lim3+1n5n22+1n2

Vì khi n thì lim(1n)=0 nên =lim(3+1n5n2)=3 và lim(2+1n2)=2

Do đó I=32

c.
Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho 4n và sử dụng giới hạn limqn=0(|q|<1)

Lời giải:

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho 4n ta được:

lim3n+5.4n4n+2n =lim(34)n+51+(12)n =0+51+0=51 =5.

d.
Lời giải:
Bài 4 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11: Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu 1,2,3,...,n,... trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51)
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
a. Gọi un là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un.
b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +....+ un
a.
Phương pháp giải:

Tính diện tích của hình vuông S=a2 với a là cạnh của hình vuông.

Lời giải:

Do hình vuông lớn có cạnh bằng 1, hình vuông màu xám thứ nhất có cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông lớn nên:

Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng 12 nên u1=(12)2=141.

Hình vuông thứ hai có cạnh bằng 14 nên u2=(14)2=142.

Hình vuông thứ ba có cạnh bằng 18 nên  u3=(18)2=143

Tương tự, ta có un=14n

b.
Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S=u11q(|q|<1).

Lời giải:

Dãy số (un) là một cấp số nhân lùi vô hạn với  u1=14 và  q=14. Do đó

limSn=u11q=14114=13.

Bài 5 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính tổng S= -1 + 110-1102+.....+(-1)n10n-1+....
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S=u11-q(q<1).
Lời giải:

Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1=1 và q=110

Vậy S=1+1101102+...+(1)n10n1+... =u11q =11(110)=1011.

Bài 6 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,0202020....(chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
Phương pháp giải:

Viết số thập phân dưới dạng tổng của các phân số và sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải:

Ta có a=1,0202020... =1+0,02+0,0002+0,000002+.....

=1+2100+21002+...+2100n+...

Vì  2100,  21002,..., 2100n,... là một cấp số nhân lùi vô hạn có: u1=2100, q = 1100.

a=1+210011100=1+299=10199.

Bài 7 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính các giới hạn sau:
a. lim (n3+2n2-n+1)
b. lim (-n2+5n-2)
c. lim (n2-n-n)
d. lim (n2-n+n)
a.
Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 2c trang 119 SGK:

Nếu limun=+ và limvn=a>0 thì lim(un.vn)=+.

Lời giải:

lim(n3+2n2n+1)=limn3(1+2n1n2+1n3)

Vì limn3=+ và

lim(1+2n1n2+1n3)

=1+lim2nlim1n2+lim1n3

=1>0

lim(n3+2n2n+1)=+

b.
Phương pháp giải:

Sử dụng hệ quả suy ra từ định lí 2c trang 119 SGK:

Nếu limun=+ và limvn=a<0 thì lim(un.vn)=.

Lời giải:

lim(n2+5n2)=limn2(1+5n2n2)

Vì limn2=+ và
lim(1+5n2n2)

=1+lim5nlim2n2

=1<0
lim(n2+5n2)=

c.
Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 1 trang 114 SGK:

Nếu limun=a và limvn=b, thì:

limunvn=ab (nếu b0).

Lời giải:

lim(n2nn) =lim(n2nn)(n2n+n)n2n+n 
=limn2nn2n2n+n =limnn2(11n)+n =lim111n+1=12

d.
Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 2c trang 119 SGK:

Nếu limun=+ và limvn=a>0 thì lim(un.vn)=+.

Lời giải:

lim(n2n+n)=lim(n2(11n)+n)=lim(n11n+n)=limn(11n+1)limn=+lim(11n+1)=1+1=2>0lim(n2n+n)=+

Bài 8 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết limun=3limvn=+.

Tính các giới hạn:

a.lim3un1un+1;

b. lim vn+2v2n-1

a.

Phương pháp giải:

Thay limun=3 vào tính giới hạn.

Lời giải:

lim3un1un+1=3limun1limun+1=3.313+1=2

b.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho vn2

Lời giải:

Vì limvn=+lim1vn=0

limvn+2vn21=limvn2(1vn+2vn2)vn2(11vn2)

=lim1vn+2vn211vn2=lim1vn+lim2vn21lim1vn2=0+010=0

Lý thuyết Bài Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn

+) limn+un=0 khi và chỉ khi |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) limn+un=alimn+(una)=0.

2. Giới hạn vô cực

+) limn+un=+ khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

limn+un=limn+(un)=+.

3. Các giới hạn đặc biệt

a) lim1n=0;

    lim1nk=0;

limnk=+, với k nguyên dương.

b) limqn=0 nếu |q|<1;

    limqn=+ nếu q>1.

c) limc=c (c là hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu limun=a và limvn=b, thì:

lim(un+vn)=a+b

lim(unvn)=ab

lim(un.vn)=ab

limunvn=ab (nếu b0).

b) Nếu un0 với mọi n và limun=a thì a>0 và limun=a.

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

a) Nếu limun=a và limvn=± thì limunvn=0.

b)  Nếu limun=a>0limvn=0 và vn>0 với mọi n thì limunvn=+

c) Nếu limun=+ và limvn=a>0 thì lim(un.vn)=+.

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn |q|<1.

+) Công thức tính tổng S của cấp số lùi vô hạn (un):

S=u1+u2+...+un+...=u11q