Giải Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

57 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Đạo hàm cấp hai lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 172 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính

y^{'}

và đạo hàm của

y^{'}

biết:

y = x^{3} - 5 x^{2} + 4 x

b. y = sin3x

Phương pháp giải:

Sử dụng :

+ Công thức đạo hàm các hàm số cơ bản

+ Đạo hàm hàm số lượng giác

Lời giải:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(x^{3} - 5 x^{2} + 4 x)}^{'} = 3 x^{2} - 10 x + 4 \\ {(y^{'})}^{'} = {(3 x^{2} - 10 x + 4)}^{'} = 6 x - 10 \end{array}$

$y^{'} = (s i n 3 x)^{'} = 3 c o s 3 x (y^{'})^{'} = (3 c o s 3 x)^{'} = - 9 s i n 3 x$

Trả lời hoạt động 2 trang 173 sgk Đại số và Giải tích 11: Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình

s = \frac{1}{2} g t^{2}

(trong đó

g \approx 9, 8 m / s^{2}

). Hãy tính vận tốc tức thời

v (t)

tại các thời điểm

t_{o} = 4 s; t_{1} = 4, 1 s

. Tính tỉ số

\frac{Δ v}{Δ t}

trong khoảng

Δ t = t_{1} - t_{0} .

Phương pháp giải:

- Vận tốc $v (t) = \frac{S (t)}{t}$ .

- Thay các giá trị $t_{0}$ và $t_{1}$ vào $v (t)$ .

- Tính $\frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v (t_{1}) - v (t_{0})}{t_{1} - t_{0}}$

Lời giải:

$\begin{aligned} v (t) = \frac{s}{t} = \frac{\frac{1}{2} g t^{2}}{t} = \frac{1}{2} g t \\ \Rightarrow {\begin{matrix} v (t_{0}) = \frac{s}{t_{0}} = \frac{\frac{1}{2} g {t_{0}}^{2}}{t_{0}} = \frac{1}{2} g t_{0} = \frac{1}{2} .9, 8.4 = 19, 6 (m / s) \\ v (t_{1}) = \frac{s}{t_{1}} = \frac{\frac{1}{2} g {t_{1}}^{2}}{t_{1}} = \frac{1}{2} g t_{1} = \frac{1}{2} .9, 8.4, 1 = 20, 09 (m / s) \end{matrix} \\ \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v (t_{1}) - v (t_{0})}{t_{1} - t_{0}} = \frac{20, 09 - 19, 6}{4, 1 - 4} = 4, 9 \end{aligned}$

Trả lời hoạt động 3 trang 173 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do

s = \frac{1}{2} g t^{2}

Phương pháp giải:

Gia tốc chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường.

Lời giải:

$s^{″} = (\frac{1}{2} g t^{2})^{″} = (g t)^{'} = g = 9, 8 (m / s^{2})$

Bài tập (trang 174 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 174 sgk Đại số và Giải tích 11:

a. Cho $f (x) = (x + 10)^{6}$ . Tính $f " (2)$ .

b. Cho $f (x) = \sin 3 x$ . Tính $f " (- \frac{π}{2})$ , $f " (0)$ , $f " (\frac{π}{18})$ .

Phương pháp giải:

Lần lượt tính đạo hàm, đạo hàm cấp hai của hàm số. Từ đó thay số và suy ra đạo hàm cấp hai tại giá trị cần tính.

Lời giải:

Ta có:

$f^{'} (x) = 6 (x + 10)^{'} . (x + 10)^{5} = 6. (x + 10)^{5}$

$f " (x) = 6.5 (x + 10)^{'} . (x + 10)^{4} = 30. (x + 10)^{4}$

$\Rightarrow f^{″} (2) = 30. (2 + 10)^{4} = 622080$

Ta có:

$f^{'} (x) = (3 x)^{'} . \cos 3 x = 3 \cos 3 x$ ,

$f " (x) = 3. [- (3 x)^{'} . \sin 3 x] = - 9 \sin 3 x$

$\Rightarrow f " (- \frac{π}{2}) = - 9 \sin (- \frac{3 π}{2}) = - 9;$

$f " (0) = - 9 s i n 0 = 0$ ;

$f " (\frac{π}{18}) = - 9 \sin (\frac{π}{6}) = - \frac{9}{2}$ .

Bài 2 trang 174 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a. $y = \frac{1}{1 - x}$

b. $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$

c. $y = \tan x$

d. $y = \cos^{2} x$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

Lời giải:

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{1 - x} \\ \Rightarrow y^{'} = \frac{- {(1 - x)}^{'}}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{- (- 1)}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \\ \Rightarrow y^{″} = - \frac{{[{(1 - x)}^{2}]}^{'}}{{(1 - x)}^{4}} \\ = - \frac{2 (1 - x) (- 1)}{{(1 - x)}^{4}} = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}} \end{array}$

b. $\begin{array}{l} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \\ \Rightarrow y^{'} = - \frac{{(\sqrt{1 - x})}^{'}}{{(\sqrt{1 - x})}^{2}} = - \frac{\frac{{(1 - x)}^{'}}{2 \sqrt{1 - x}}}{1 - x} \\ = - \frac{\frac{- 1}{2 \sqrt{1 - x}}}{1 - x} = \frac{1}{2 {(\sqrt{1 - x})}^{3}} \\ \Rightarrow y^{″} = \frac{1}{2} . \frac{- {[{(\sqrt{1 - x})}^{3}]}^{'}}{{(\sqrt{1 - x})}^{6}} \\ = - \frac{1}{2} . \frac{3 {(\sqrt{1 - x})}^{2} . {(\sqrt{1 - x})}^{'}}{{(\sqrt{1 - x})}^{6}} \\ = - \frac{3 (1 - x) . \frac{- 1}{2 \sqrt{1 - x}}}{2 {(\sqrt{1 - x})}^{6}} = \frac{3}{4 {(\sqrt{1 - x})}^{5}} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = \tan x \\ \Rightarrow y^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x} \\ \Rightarrow y^{″} = - \frac{{(\cos^{2} x)}^{'}}{\cos^{4} x} = - \frac{2 \cos x {(\cos x)}^{'}}{\cos^{4} x} \\ = \frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{4} x} = \frac{2 \sin x}{\cos^{3} x} \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} y = \tan x \\ y^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x \\ y^{″} = {(1 + \tan^{2} x)}^{'} \\ = 2 \tan x {(\tan x)}^{'} \\ = 2 \tan x . \frac{1}{\cos^{2} x} \\ = \frac{2 \tan x}{\cos^{2} x} \end{array}$

d. $\begin{array}{l} y = \cos^{2} x \\ \Rightarrow y^{'} = 2 \cos x {(\cos x)}^{'} \\ = - 2 \cos x \sin x = - \sin 2 x \\ \Rightarrow y^{″} = - (2 x)^{'} \cos 2 x = - 2 \cos 2 x \end{array}$

Lý thuyết Bài Đạo hàm cấp 2

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ .

+) Nếu hàm số $f^{'} (x)$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $f (x)$ , kí hiệu là $f^{″} (x)$ .

+) Đạo hàm cấp $n (n \in N, n \geq 2)$ của hàm số $y = f (x)$ là đạo hàm của hàm số $f^{(n - 1)} (x)$ .

Kí hiệu: $f^{(n)} (x)$ hay $y^{(n)}$ :

Tức là $f^{(n)} (x) = {[f^{(n - 1)} (x)]}^{'}$

Đặc biệt: $f^{(0)} (x) = f (x)$

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: $S = s (t)$ .

Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t_{0}$ là: $v (t_{0}) = S^{'} (t_{0})$

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t_{0}$ là: $a (t_{0}) = S^{″} (t_{0})$

3. Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản

+) ${(\sin x)}^{(n)} = \sin (x + \frac{n π}{2})$

+) ${(\cos x)}^{(n)} = \cos (x + \frac{n π}{2})$

+) Nếu $n \leq m$ thì ${(x^{m})}^{(n)} = m (m - 1) . . . (m - n + 1) . x^{m - n}$

+) Nếu $n > m$ thì ${(x^{m})}^{(n)} = 0$ .

$\begin{array}{l} +) y = \sin (a x + b) \\ \Rightarrow y^{(n)} = a^{n} \sin (a x + b + \frac{n π}{2}) \\ +) y = \cos (a x + b) \\ \Rightarrow y^{(n)} = a^{n} \cos (a x + b + \frac{n π}{2}) \\ +) y = \frac{1}{a x + b} \\ \Rightarrow y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} . n! . a^{n}}{{(a x + b)}^{n + 1}} \\ +) y = \sqrt[m]{a x + b} \\ \Rightarrow y^{(n)} = \frac{1}{m} . (\frac{1}{m} - 1) . . . (\frac{1}{m} - n + 1) . a^{n} . {(a x + b)}^{\frac{1}{m} - n} \end{array}$

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán Học Lớp 11

Giải Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Xem thêm các chương trình khác: