Giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời hoạt động 1 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm một giá trị của x sao cho 2sinx – 1 = 0.
Lời giải: 

Ta có: 2sinx1=0sinx=12

Do sinπ6=12

π6 là một giá trị của x thỏa mãn 2sinx1=0.

Trả lời hoạt động 2 trang 19 sgk Đại số và Giải tích 11: Có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2 không?
Lời giải: 
Không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2
Trả lời hoạt động 3 trang 21 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:...
a. 
b. 
Lời giải: 
a.

sinx=13[x=arcsin13+k2πx=πarcsin13+k2π(kZ)

Vậy phương trình sinx=13 có các nghiệm là:

[x=arcsin13+k2πx=πarcsin13+k2π(kZ)

b. 

sin(x+450)=22sin(x+450)=sin(450)[x+450=450+k3600x+450=1800(450)+k3600(kZ)[x=900+k3600x=1800+k3600(kZ)

Vậy phương trình có nghiệm [x=900+k3600x=1800+k3600(kZ)

Trả lời hoạt động 4 trang 23 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
c. 
Lời giải: 
a. 

Vì 12 = cos 2π3 nên cos ⁡x = 12 ⇔ cos ⁡x = cos 2π3

⇔ x = ±2π3 + k2π, k ∈ Z

b. 
cosx=23  ⇒ x=±arccos23+k2π,kZ
c. 

32=cos300nên cos(x+300)=32

⇔ cos(x+300)=cos300

⇔ x+300=±300+k.3600,kZ

⇔ x=k.3600,kZ và x=600+k.3600,kZ

Trả lời hoạt động 5 trang 24 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. tanx = 1
b. tanx = -1
c. tanx = 0
Lời giải: 
a.
tan⁡ x = 1 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ π4 ⇔ x = π4 + kπ, k ∈ Z
b.
tan⁡ x = -1 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ (π4) ⇔ x =π4 + kπ, k ∈ Z
c.
tan⁡ x = 0 ⇔ tan⁡ x = tan⁡0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
Trả lời hoạt động 6 trang 26 sgk Đại số và Giải tích 11: Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau:... 
a. cotx = 1
b. cotx = -1
c. cotx = 0.
Lời giải: 
a.
cot⁡ x = 1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ π4 ⇔ x = π4 + kπ, k ∈ Z
b.
cot⁡ x = -1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ (π4) ⇔ x = π4 + kπ,k ∈ Z
c.
cot⁡ x = 0 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ π2⇔ x = π2 + kπ, k ∈ Z
Bài tập (trang 28, 29 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 
b. sin3x = 1
c. 
d. 
Lời giải: 

a)sin(x+2)=13[x+2=arcsin13+k2πx+2=πarcsin13+k2π[x=arcsin132+k2πx=πarcsin132+k2π(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=arcsin132+k2π(kZ) hoặc x=πarcsin132+k2π(kZ)

b.

sin3x=1sin3x=sinπ23x=π2+k2πx=π6+k2π3(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=π6+k2π3,(kZ)

c)sin(2x3π3)=02x3π3=kπ2x3=π3+kπx=π2+3kπ2(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=π2+k.3π2,kZ

d. 

sin(2x+200)=32sin(2x+200)=sin(600)[2x+200=600+k36002x+200=1800+600+k3600[2x=800+k36002x=2200+k3600[x=400+k1800x=1100+k1800(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=400+k1800,(kZ) hoặc x=1100+k1800,(kZ)

Bài 2 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y=sin3x và y=sinx bằng nhau?
Lời giải: 

x thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi x là nghiệm của phương trình:          

sin3x=sinx[3x=x+k2π3x=πx+k2π(kZ)[2x=k2π4x=π+k2π(kZ)[x=kπx=π4+kπ2(kZ)

Vậy [x=kπx=π4+kπ2(kZ) là nghiệm.

Bài 3 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
c. 
d.  
a. 
Phương pháp giải:
Lời giải:
b. 
Phương pháp giải:
Lời giải: 
c. 
Phương pháp giải: 
Lời giải: 
d. 
Phương pháp giải: 
Lời giải: 
Bài 4 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải phương trình 2cos2x1sin2x=0
Phương pháp giải: 

+) Tìm ĐKXĐ.

+) AB=0A=0

+) Giải phương trình lượng giác cơ bản: cosx=cosα[x=α+k2πx=α+k2π(kZ)

Lời giải: 

Điều kiện: sin2x12xπ2+k2π xπ4+kπ(kZ)

2cos2x1sin2x=0

2cos2x=0 

cos2x=0

2x=π2+kπ

x=π4+kπ2(kZ)

Kiểm tra ĐK:

π4+kπ2π4+lπ

kπ2lπ

k2l

k2l

Hay k không thể nhận các giá trị chẵn.

Do đó k lẻ nên k=2m+1.

Vậy x=π4+(2m+1)π2=3π4+mπ.

Vậy phương trình có nghiệm x=3π4+mπ,mZ.

Chú ý: Nghiệm x=3π4+mπ cũng có thể viết thành x=π4+nπ bằng cách đặt m=n1.

Các em cũng có thể vẽ đường tròn đơn vị để loại nghiệm như sau: 

Các điểm biểu diễn x=π4+kπ là M1,M2 nhưng điều kiện là xπ4+kπ nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn x=π4+kπ2 là M1,M2,M3,M4 nhưng do không lấy hai điểm M1,M2 nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn M3,M4.

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua O và AOM4^=π4 nên nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,kZ.

Bài 5 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
c. 
d. 

a. 

Phương pháp giải: 

Coi biểu thức sau hàm tan như một ẩn phụ khác, giải tương tự như pt LG cơ bản

tanx=tanax=a+k1800(kZ)

Lời giải: 

Điều kiện x150900+k1800 x1050+k.1800.

tan(x150)=33

tan(x150)=tan300

x150=300+k1800,(kZ).

x=450+k1800,(kZ). (tm)

Vậy nghiệm của phương trình là: x=450+k1800,(kZ).

b. 

Phương pháp giải:

Coi biểu thức sau hàm cot như một ẩn phụ lớn, giải tương tự như pt LG cơ bản

cotx=cotαx=α+kπ(kZ)

Lời giải: 

Điều kiện 3x1kπ(kZ) hay x1+kπ3(kZ)

cot(3x1)=3cot(3x1)=cot(π6)3x1=π6+kπ3x=1π6+kπx=13π18+kπ3(kZ)(tm)

Vậy nghiệm phương trình là x=13π18+kπ3,(kZ)

c. 

Phương pháp giải: 

AB=0[A=0B=0

Lưu ý điều kiện xác định của các hàm tan và cot, hàm phân thức.

Lời giải: 

Điều kiện cosx0xπ2+kπ(kZ)

cos2xtanx=0[cos2x=0tanx=0[2x=π2+kπx=kπ[x=π4+kπ2x=kπ(kZ)(tm)

Vậy nghiệm phương trình là: x=π4+kπ2(kZ) hoặc x=kπ(kZ)

d. 

Phương pháp giải: 

AB=0[A=0B=0

Lưu ý điều kiện xác định của các hàm tan và cot, hàm phân thức.

Lời giải: 

ĐK: sinx0xkπ(kZ)

sin3xcotx=0[sin3x=0cotx=0[3x=kπx=π2+nπ[x=kπ3x=π2+nπ(k,nZ)

Kết hợp với điều kiện ta thấy khi k=3m,mZ thì x=kπ3=3mπ3=mπ(mZ) sinx=0 không thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm là: x=kπ3 (k3m(mZ)) và x=π2+nπ(nZ).

Chú ý:

Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác để loại nghiệm:

Các nghiệm [x=kπ3x=π2+kπ,kZ được biểu diễn bởi các điểm từ A1 đến A8 trên đường tròn lượng giác như hình dưới.

Với điều kiện x ≠ k.π nên các điểm A1 và A4 bị loại.

Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A2; A3; A5; A6; A7; A8 và ta viết được dưới kết quả [x=±π3+kπx=π2+kπ,kZ.

Bài 6 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y=tan(π4x) và y=tan2x  bằng nhau?
Phương pháp giải: 

Bài toán tương đương giải phương trình tan(π4x)=tan2x.

B1: Coi X=π4xvàα=2x

B2: Giải tương tự như PT 

tanX=tanα X=α+kπ,kZ

Từ đó suy ra nghiệm x và KL

Lời giải:

Ta có:

tan(π4x)=tan2xDK:{π4xπ2+mπ2xπ2+mπ[xπ4mπxπ4+mπ2xπ4+mπ2(mZ)

Khi đó phương trình tương đương với:

2x=π4x+kπ3x=π4+kπx=π12+kπ3(kZ)

Kết hợp điều kiện ta có: 

π12+kπ3π4+mπ2kπ3mπ2+π62kπ3mπ+π2k3m+1k3m+12(k,mZ)

Vậy phương trình có nghiệm: x=π12+kπ3(k3m+12(k,mZ))

Bài 7 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11: H Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
a.
Phương pháp giải:

B1: chuyển vế, đưa PT về dạng sinα=cosβ.

B2: Do sinx=cos(π2x) PT trở về dạng cosX=cosY với X=(π2x);Y=β

[X=Y+k2πX=Y+k2π(kZ)

Từ đó suy ra nghiệm x và KL.

Lời giải:

sin3xcos5x=0cos5x=sin3x=cos(π23x)[5x=π23x+k2π5x=π2+3x+k2π[8x=π2+k2π2x=π2+k2π[x=π16+kπ4x=π4+kπ(kZ)

Vậy nghiệm phương trình là: x=π16+kπ4(kZ) và x=π4+kπ,(kZ)

Cách khác:

sin3x - cos5x = 0

Vậy nghiệm phương trình là: x=π16+kπ4(kZ) và x=π4+kπ,(kZ)

b. 

Phương pháp giải:

B1: Tìm ĐKXĐ.

B2: vì 1tanx=cotx=tan(π2x)

phương trình trở về dạng tanα=tanβ với α=3x;β=π2x

α=β+kπ(kZ)

B3: Suy ra nghiệm x rồi KL.

Lời giải:

Điều kiện:

{cos3x0cosx0{3xπ2+kπxπ2+kπ{xπ6+kπ3xπ2+kπxπ6+kπ3(kZ)

tan3xtanx=1tan3x=1tanxtan3x=cotxtan3x=tan(π2x)3x=π2x+kπ4x=π2+kπx=π8+kπ4(kZ)(tm)

Vậy nghiệm phương trình là x=π8+kπ4,kZ.

Chú ý:

Ở bài này ta thấy ngay họ nghiệm x=π8+kπ4,kZ không có nghiệm nào vi phạm điều kiện xác định nên ta lấy cả họ nghiệm và không phải loại bỏ điểm nào.

Lý thuyết Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình sinx=a

+) Nếu |a|>1 thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu |a|1 thì phương trình sinx=a có các nghiệm x=arcsina+k2π vàx=πarcsina+k2π

Đặc biệt:

+) sinf(x)=sinα [f(x)=α+k2πf(x)=πα+k2π(kZ)

+) sinf(x)=sinβ0 [f(x)=β0+k3600f(x)=1800β0+k3600(kZ)

b) Phương trình cosx=a

+) Nếu |a|>1 thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu |a|1 thì phương trình cosx=a có các nghiệm x=arccosa+k2π và  x=arccosa+k2π

Đặc biệt:

+) cosf(x)=cosα [f(x)=α+k2πf(x)=α+k2π(kZ)

+) cosf(x)=cosβ0 [f(x)=β0+k3600f(x)=β0+k3600(kZ)

c) Phương trình tanx=a

Phương trình luôn có nghiệm x=arctana+kπ.

Đặc biệt:

+) tanx=tanα x=α+kπ(kZ)

+) tanx=tanβ0 x=β0+k1800

d) Phương trình cotx=a

Phương trình luôn có nghiệm x=arccota+kπ.

Đặc biệt:

+) cotx=cotα x=α+kπ(kZ)

+) cotx=cotβ0 x=β0+k1800,kZ

e) Các trường hợp đặc biệt

* Phương trình sinx=a

+sinx=0x=kπ; 

+sinx=1x=π2+k2π;

+sinx=1x=π2+k2π;  

* Phương trình cosx=a

+cosx=0x=π2+kπ

+cosx=1x=π+k2π

+cosx=1x=k2π

2. Một số chú ý khi giải phương trình.

- Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan,cot, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.