Giải Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

59 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Hàm số lượng giác lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 4 sgk Đại số và Giải tích 11: Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau:...

b. Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc A, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung AM bằng x (rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx (lấy π ≈ 3,14)

Phương pháp giải:

Nhập các giá trị tương ứng vào hàm sin, cos trên máy tính bỏ túi

Lời giải:

Trả lời hoạt động 2 trang 6 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy so sánh các giá trị sinx và sin(-x), cosx và cos(-x).

Phương pháp giải:

B1: Vẽ hai góc $x$ và $- x$ trên đường tròn lượng giác.

B2: xác định $s i n (x), s i n (- x), c o s (x)$ và $c o s (- x)$ trên đường tròn lượng giác

B3: so sánh và rút ra KL.

Lời giải:

$s i n x = - s i n (- x)$

$c o s x = c o s (- x)$

Trả lời hoạt động 3 trang 6 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm những số T sao cho f(x + T) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số sau:...

Trả lời:

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức

\sin (α + k 2 π) = \sin α

Lời giải:

T = k 2 π (k \in Z)

vì

f (x + T) = \sin (x + k 2 π)

= \sin x = f (x)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\tan (α + k π) = \tan α$ để chỉ ra T

Lời giải:

$T = k π (k \in Z)$ vì $f (x + T) = \tan (x + k π)$ $= \tan x = f (x)$

Bài tập (trang 17, 18 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy xác định các giá trị của

x

trên đoạn

[- π; \frac{3 π}{2}]

để hàm số

y = \tan x

;

a. Nhận giá trị bằng 0;

b. Nhận giá trị bằng 1;

c. Nhận giá trị bằng dương;

d. Nhận giá trị bằng âm;

Trả lời:

Phương pháp giải:

B1: Vẽ đường thẳng y=0 (Ox)

B2: Quan sát xem đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=0 tại những điểm nào.

B3: Chỉ lấy những điểm thuộc đoạn đã cho và KL.

Lời giải:

Phương pháp giải:

B1: Vẽ đường thẳng y=1 (Ox)

B2: Quan sát xem đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=1 tại những điểm nào.

B3: Chỉ lấy những điểm thuộc đoạn đã cho và KL.

Lời giải:

Đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị $y = \tan x$ tại ba điểm có hoành độ $\frac{π}{4}; \frac{π}{4} \pm π$ .

Vậy $x = - \frac{3 π}{4}; x = \frac{π}{4}; x = \frac{5 π}{4}$ .

Phương pháp giải:

B1: Quan sát đồ thị hàm số, tìm các giá trị x sao cho đồ thị nằm phía trên trục hoành (hay tanx >0).

B2. Lấy các điểm thuộc đoạn đề bài yêu cầu và Kết luận.

Lời giải:

Trong các khoảng $(- π; - \frac{π}{2})$ ; $(0; \frac{π}{2})$ ; $(π; \frac{3 π}{2})$ , đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

Vậy $x \in (- π; - \frac{π}{2}) \cup (0; \frac{π}{2}) \cup (π; \frac{3 π}{2})$

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số, tìm các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải:

Trong các khoảng $(- \frac{π}{2}; 0), (\frac{π}{2}; π)$ , đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành.

Vậy $x \in (- \frac{π}{2}; 0) \cup (\frac{π}{2}; π)$ .

Bài 2 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm tập xác định của các hàm số:

Trả lời:

Phương pháp giải:

Lời giải:

Phương pháp giải:

Lời giải:

Phương pháp giải:

Lời giải:

Phương pháp giải:

Lời giải:

Bài 3 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số

y = \sin x

, hãy vẽ đồ thị của hàm số

y = | \sin x |

Phương pháp giải:

Lời giải:

Ta có

Bài 4 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng

s i n 2 (x + k π) = s i n 2 x

với mọi số nguyên

k

. Từ đó vẽ đồ thị hàm số

y = s i n 2 x

Phương pháp giải:

Dựa vào tính tuần hoàn và chu kì của hàm số

y = \sin x

: Hàm

y = \sin x

là hàm tuần hoàn với chu kì

2 π

Lời giải:

Hàm $y = \sin x$ là hàm tuần hoàn với chu kì $2 π$ nên ta có:

$\sin 2 (x + k π) = \sin (2 x + k 2 π)$ $= \sin 2 x \forall k \in Z$

Ta có:

$\begin{array}{l} f (x) = \sin 2 x \\ \Rightarrow f (x + π) = \sin 2 (x + π) \\ = \sin (2 x + k 2 π) = \sin 2 x = f (x) \end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = s i n 2 x$ tuần là hàm tuần hoàn với chu kì $π$ .

Xét hàm số $y = \sin 2 x$ trên đoạn $[0; π]$ .

Ta lấy các điểm đặc biệt như sau:

Bài 5 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số

y = \cos x

, tìm các giá trị của

x

để

\cos x = \frac{1}{2}

Phương pháp giải:

Lời giải:

Nghiệm của phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ là các hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ và đồ thị $y = \cos x$ .

Trong đó đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ là đường thẳng song song với trục hoành, đi qua điểm $A (0, \frac{1}{2})$ , còn hàm số $y = c o s x$ có đồ thị như hình dưới

Cách 1:

Ta xác định các giao điểm, lấy hoành độ (tức là gióng xuống trục Ox)

Suy ra $x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π (k \in Z)$ .

Cách 2: Xét trong đoạn $[- π; π]$ và sử dụng tính tuần hoàn để suy ra tất cả các giá trị của $x$

Dễ thấy: trong đoạn này chỉ có giao điểm ứng với $x = \pm \frac{π}{3}$ thỏa mãn $\cos x = \frac{1}{2}$

Suy ra các giá trị của $x$ là $x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π (k \in Z)$ .

Bài 6 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số

y = \sin x

, tìm các khoảng giá trị của

x

để hàm số đó nhận giá trị dương.

Phương pháp giải:

B1: Tìm các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số $y = \sin x$ và nằm phía trên trục hoành trong khoảng $[- π; π]$

B2: dựa vào chu kì tuần hoàn của hàm số $y = \sin x$ suy ra tất cả các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số và nằm phía trên trục hoành.

Lời giải:

Bài 7 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số

y = c o s x

, tìm các khoảng giá trị của

x

để hàm số đó nhận giá trị âm.

Phương pháp giải:

B1: Tìm các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số $y = c o s x$ và nằm phía dưới trục hoành trong khoảng $[0; 2 π]$

B2: Dựa vào chu kì tuần hoàn của đồ thị hàm số $y = c o s x$ suy ra tất cả các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số và nằm phía dưới trục hoành.

Lời giải:

Bài 8 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

Trả lời:

Phương pháp giải:

Sử dụng tập giá trị của hàm sin và cos:

- 1 \leq \sin x \leq 1; - 1 \leq \cos x \leq 1

Lời giải:

$y = 2 \sqrt{\cos x} + 1$

Điều kiện: $\cos x \geq 0$ .

Vì $- 1 \leq \cos x \leq 1$ nên kết hợp điều kiện ta có $0 \leq \cos x \leq 1$ $\Rightarrow 0 \leq \sqrt{\cos x} \leq 1$

$\Rightarrow 0 \leq 2 \sqrt{\cos x} \leq 2$ $\Rightarrow 0 + 1 \leq 2 \sqrt{\cos x} + 1 \leq 2 + 1$ $\Rightarrow 1 \leq y \leq 3$ .

Do dó $max y = 3$ khi $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng tập giá trị của hàm sin và cos:

- 1 \leq \sin x \leq 1; - 1 \leq \cos x \leq 1

Lời giải:

$y = 3 - 2 \sin x$

ta có: $- 1 \leq \sin x \leq 1$ $\Rightarrow 2 \geq - 2 \sin x \geq - 2$ $\Rightarrow 3 + 2 \geq 3 - 2 \sin x \geq 3 - 2$ $\Rightarrow 5 \geq y \geq 1$ .

Vậy $max y = 5$ khi $\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π$ .

Lý thuyết Bài 1. Hàm số lượng giác

1. Hàm số $y = \sin x$

- Có TXĐ $D = R$ , là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì $2 π$ , nhận mọi giá trị thuộc đoạn $[- 1; 1]$ .

- Đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(\frac{π}{2} + k 2 π; \frac{3 π}{2} + k 2 π)$

- Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm $O (0; 0)$

2. Hàm số $y = \cos x$

- Có TXĐ $D = R$ , là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì $2 π$ , nhận mọi giá trị thuộc đoạn $[- 1; 1]$ .

- Đồng biến trên mỗi khoảng $(- π + k 2 π; k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k 2 π; π + k 2 π)$

- Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm $(0; 1)$

3. Hàm số $y = \tan x$

- Có TXĐ $D = R ∖ {\frac{π}{2} + k π, k \in Z}$ , là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì $π$ , nhận mọi giá trị thuộc $R$ .

- Đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + k π)$ .

4. Hàm số $y = \cot x$

- Có TXĐ $D = R ∖ {k π, k \in Z}$ , là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì $π$ , nhận mọi giá trị thuộc $R$ .

- Nghịch biến trên mỗi khoảng $(k π; π + k π)$ .

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán Học Lớp 11

Giải Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Xem thêm các chương trình khác: