Giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Một số phương trình lượng giác thường gặp lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời hoạt động 1 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình trong ví dụ 1.
a. 2sinx3=0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.
b. 3tanx+1=0 là phương trình bậc nhất đối với tanx.
a.
Phương pháp giải: 
Chuyển vế đưa về PT lượng giác cơ bản sinx=a
Lời giải: 
2sinx3=0sinx=32 , vô nghiệm vì sinx1<32 với mọi x.
b.
Phương pháp giải: 

B1: đưa PT về dạng tanx=a

B2: tìm α sao cho tanα=a PT trở về dạng tanx=tanα

B3: Kết luận nghiệm

Lời giải: 

3tanx+1=0tanx=33tanx=tanπ6

x=π6+kπ,kZ 

Trả lời hoạt động 2 trang 31 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
a. 
Phương pháp giải: 

B1: Đặt ẩn phụ t=cosx đưa về giải PT bậc hai ẩn t

B2: Sau khi tìm được t, bài toán đưa về giải PT lượng giác cơ bản.

B3. Giải và KL nghiệm x.

Lời giải: 

3cos2x5cosx+2=0

Đặt cosx=t với điều kiện 1t1 (*),

ta được phương trình bậc hai theo t:

3t25t+2=0(1)Δ=(5)24.3.2=1

Phương trình (1) có hai nghiệm là: 

t1=(5)+12.3=66=1(thỏa mãn)t2=(5)12.3=46=23(thỏa mãn)

Ta có:

cosx=1cosx=cos0x=k2π,kZ

cosx=23x=±arccos23+k2π,kZ 

b. 
Phương pháp giải: 

B1: Đặt ẩn phụ t=tanx đưa về giải PT bậc hai ẩn t

B2: Sau khi tìm được t, bài toán đưa về giải PT lượng giác cơ bản.

B3. Giải và KL nghiệm x.

Lời giải: 

3tan2x23tanx+3=0

Đặt t=tanx

Ta được phương trình bậc hai theo t:

3t223t+3=0(1)Δ=(23)24.3.3=24<0

Vậy phương trình (1) vô nghiệm, không có x thỏa mãn đề bài

Trả lời hoạt động 3 trang 32 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy nhắc lại:
a. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
b. Công thức cộng
c. Công thức nhân đôi
d. Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích
Lời giải: 

a.

Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin2α+cos2a=1

1+tan2α=1cos2ααπ2+kπ,kZ

1+cot2α=1sin2α;αkπ,kZ

tanα.cotα=1;αkπ2,kZ

b.

Công thức cộng:

cos(ab)=cosacosb+sinasinbcos(a+b)=cosacosbsinasinbsin(ab)=sinacosbcosasinb

tan(ab)=tanatanb1+tana.tanbtan(a+b)=tana+tanb1tana.tanb

c.

Công thức nhân đôi:

sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2αsin2α=2cos2a1=12sin2a

tan2α=2tanα1tan2α

d.

Công thức biến đổi tích thành tổng:

cosacosb=12[cos(ab)+cos(a+b)]

sinasinb=12[cos(ab)cos(a+b)]

sinacosb=12[sin(ab)+sin(a+b)]

Công thức biến đổi tổng thành tích:

cosu+cosv=2cosu+v2cosuv2cosucosv=2sinu+v2sinuv2sinu+sinv=2sinu+v2cosuv2sinusinv=2cosu+v2sinuv2

Trả lời hoạt động 4 trang 34 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải phương trình 3cos2 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0
Phương pháp giải: 

- Biến đổi phương trình về bậc hai với ẩn t=sin6x.

- Giải phương trình ẩn t và suy ra nghiệm.

Lời giải:

3cos26x+8sin3xcos3x4=03(1sin26x)+4sin6x4=03sin26x+4sin6x1=0

Đặt sin6x=t với điều kiện 1t1(*), ta được phương trình bậc hai theo t:

-3t2 + 4t - 1 = 0(1)

Δ = 42 - 4.(-1).(-3) = 4

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

t1=4+42.(3)=13(TM)t2=442.(3)=1(TM)

Ta có:

sin6x=136x=arcsin13+k2π và6x=πarcsin13+k2πx=16arcsin13+kπ3và x=π616arcsin13+kπ3,kZ

sin6x=1sin6x=sinπ2

6x=π2+k2π,kZ

x=π12+kπ3,kZ

Trả lời hoạt động 5 trang 35 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào các công thức cộng đã học

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa;sin(ab)=sinacosbsinbcosa;cos(a+b)=cosacosbsinasinb;cos(ab)=cosacosb+sinasinb

và kết quả cosπ4=sinπ4=22, hãy chứng minh rằng:

a. sinx+cosx=2cos(xπ4)
b. sinxcosx=2sin(xπ4)
Lời giải: 

a. sinx+cosx=2.(22sinx+22cosx)

=2.(sinπ4sinx+cosπ4cosx)

=2.cos(xπ4)

Cách khác:

2cos(xπ4)=2.(cosx.cosπ4+sinx.sinπ4)

=2.(22.cosx+22.sinx)=2.22.cosx+2.22.sinx=cosx+sinx(đpcm)

b. sinxcosx=2.(22sinx22cosx)

=2.(cosπ4sinxsinπ4cosx)

=2.sin(xπ4)

Cách khác:

2.sin(xπ4)=2.(sinx.cosπ4sinπ4.cosx)=2.(22.sinx22.cosx)=2.22.sinx2.22.cosx=sinxcosx(đpcm).

Trả lời hoạt động 6 trang 36 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải phương trình 3sin3xcos3x=2.
Phương pháp giải:
Chia cả hai vế cho 2 và sử dụng công thức sin(ab)=sinacosbsinbcosa biến đổi phương trình.
Lời giải:
Bài tập (trang 36, 37 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 36 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải phương trình 

sin2xsinx=0.

Phương pháp giải: 

Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích và giải các phương trình lượng giác cơ bản:

sinx=sinα[x=α+k2πx=πα+k2π(kZ)

Lời giải: 

sin2xsinx=0sinx(sinx1)=0[sinx=0sinx1=0[sinx=0sinx=1[x=kπx=π2+k2π(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=kπ hoặc x=π2+k2π(kZ)

Bài 2 trang 36 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 2cos2x−3cosx+1=0
b. 2sin2x+√2sin4x=0
a. 
Phương pháp giải: 
Đặt t=cosx, đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos.
Lời giải:

Đặt t=cosx,t[1;1] ta được phương trình:

2t23t+1=0[t=1(tm)t=12(tm)+)t=1cosx=1x=k2π(kZ)+)t=12cosx=12x=±π3+k2π(kZ)

Vậy x=k2π hoặc x=±π3+k2π (kZ).

b. 

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức nhân đôi sin4x=2sin2xcos2x

+) Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích.

+) Giải các phương trình lượng giác cơ bản của sin và cos.

Lời giải: 

2sin2x+2sin4x=02sin2x+22sin2xcos2x=02sin2x(1+2cos2x)=0[sin2x=01+2cos2x=0[sin2x=0cos2x=12[2x=kπ2x=±3π4+k2π[x=kπ2x=±3π8+kπ(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=kπ2 hoặc x=±3π8+kπ(kZ).

Bài 3 trang 37 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
c. 
d. 
a. 
Phương pháp giải: 

+) Sử dụng công thức sin2x2=1cos2x2

+) Đặt ẩn phụ t=cosx2(t[1;1]), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.

+) Giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos: cosx=cosαx=±α+k2π(kZ)

Lời giải: 

sin2x22cosx2+2=01cos2x22cosx2+2=0cos2x2+2cosx23=0

Đặt t=cosx2,t[1;1] thì phương trình trở thành

t2+2t3=0[t=1(tm)t=3(ktm)Khit=1cosx2=1x2=k2πx=k4π(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là: x=k4π(kZ).

b. 

Phương pháp giải: 

+) Sử dụng công thức cos2x=1sin2x

+) Đặt ẩn phụ t=sinx(t[1;1]), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.

+) Giải các phương trình lượng giác cơ bản của sin: sinx=sinα[x=α+k2πx=πα+k2π(kZ)

Lời giải: 

8cos2x+2sinx7=08(1sin2x)+2sinx7=08sin2x2sinx1=0

Đặt t=sinx,t[1;1] thì phương trình trở thành

8t22t1=0[t=12t=14(tm)+)t=12sinx=12[x=π6+k2πx=5π6+k2π(kZ)+)t=14sinx=14[x=arcsin(14)+k2πx=πarcsin(14)+k2π(kZ)

c. 

Phương pháp giải: 

+) Tìm ĐKXĐ

+) Đặt ẩn phụ t=tanx, đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.

+) Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: tanx=tanαx=α+kπ(kZ)

Lời giải:

ĐK: cosx0xπ2+kπ(kZ)

Đặt t=tanx thì phương trình trở thành 

2t2+3t+1=0[t=1t=12

[tanx=1tanx=12

[x=π4+kπx=arctan(12)+kπ(kZ)(tm)

d. 

Phương pháp giải: 

+) Tìm ĐKXĐ

+) Sử dụng công thức cotx=1tanx.

+) Đặt ẩn phụ t=tanx, quy đồng, đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.

+) Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: tanx=tanαx=α+kπ(kZ)

Lời giải:

ĐK: {sinx0cosx0{xkπxπ2+kπxkπ2(kZ)

tanx2cotx+1=0tanx2tanx+1=0tan2x+tanx2=0

Đặt t=tanx thì phương trình trở thành

t2+t2=0[t=1t=2[tanx=1tanx=2[x=π4+kπx=arctan(2)+kπ(kZ)(tm)

Bài 4 trang 37 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
c. 
d. 
a. 
Phương pháp giải: 

Phương trình: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d

TH 1: Xét cosx=0 có là nghiệm của phương trình hay không?

TH 2: Khi cosx0.

+ Bước 1: Chia cả 2 vế của phương trình cho cos2x

Ta được: asin2xcos2x+bsinxcosx+c=dcos2x

-Vì tanx=sinxcosx;1cos2x=tan2x+1 nên ta đưa phương trình về dạng:

atan2x+btanx+c=d(1+tan2x)(ad)tan2x+btanx+cd=0

+ Bước 2: Đặt t=tanx, giải phương trình bậc hai ẩn t và tìm các nghiệm t.

+ Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: tanx=tanαx=α+kπ(kZ) và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải: 

2sin2x+sinxcosx3cos2x=0

+ TH1: cosx=0sin2x=1, khi đó ta có 2.1+00=0 (vô nghiệm)

cosx0xπ2+kπ(kZ)

+ TH2: Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

2sin2xcos2x+sinxcosx3=02tan2x+tanx3=0

Đặt t=tanx, khi đó phương trình trở thành: 2t2+t3=0[t=1t=32

Với t=1tanx=1x=π4+kπ(kZ)(tm)

Với t=32tanx=32

x=arctan(32)+kπ(kZ)(tm)

Vậy nghiệm của phương trình là x=π4+kπ(kZ) hoặc x=arctan(32)+kπ(kZ).

b.

Lời giải:

3sin2x4sinxcosx+5cos2x=2

Khi cosx=0sin2x=1, khi đó ta có 3.10+0=2 (vô nghiệm)

cosx0xπ2+kπ(kZ)

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

3sin2xcos2x4sinxcosx+5=2cos2x3tan2x4tanx+5=2(tan2x+1)tan2x4tanx+3=0

Đặt t=tanx, khi đó phương trình trở thành: t24t+3=0[t=1t=3

Với t=1tanx=1

x=π4+kπ(kZ)(tm)

Với t=3tanx=3

x=arctan3+kπ(kZ)(tm)

Vậy nghiệm của phương trình là x=π4+kπ(kZ) hoặc x=arctan3+kπ(kZ).

Cách 2:

Ta có thể đưa về cùng dạng với câu a, như sau:

3sin2x4sinxcosx+5cos2x=23sin2x4sinxcosx+5cos2x=2(sin2x+cos2x)3sin2x4sinxcosx+5cos2x=2sin2x+2cos2xsin2x4sinxcosx+3cos2x=0

Sau đó giải phương trình tương tự như câu a.

c.
Lời giải: 

sin2x+sin2x2cos2x=12sin2x+2sinxcosx2cos2x=122sin2x+4sinxcosx4cos2x=1

+TH1: cosx=0sin2x=1, khi đó ta có 2+00=1 (vô nghiệm)

cosx0xπ2+kπ(kZ)

+TH2: Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

2sin2xcos2x+4sinxcosx4=1cos2x2tan2x+4tanx4=tan2x+1tan2x+4tanx5=0

Đặt t=tanx, khi đó phương trình trở thành: t2+4t5=0[t=1t=5

Với t=1tanx=1x=π4+kπ(kZ)(tm)

Với t=5tanx=5

x=arctan(5)+kπ(kZ)(tm)

Vậy nghiệm của phương trình là x=π4+kπ(kZ) hoặc x=arctan(5)+kπ(kZ).

Cách 2:

sin2x+sin2x2cos2x=122sin2x+2sin2x4cos2x=12sin2x+2.2sinxcosx4cos2x=sin2x+cos2xsin2x+4sinxcosx5cos2x=0

Sau đó thực hiện giải câu hỏi như câu a.

d.
Lời giải: 

2cos2x33sin2x4sin2x=42cos2x63sinxcosx4sin2x=4

Khi cosx=0sin2x=1, khi đó ta có 0+04=4x=π2+kπ(kZ) là nghiệm của phương trình.

Khi cosx0xπ2+kπ(kZ)

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

263sinxcosx4sin2xcos2x=4cos2x263tanx4tan2x=4tan2x463tanx=6tanx=13x=π6+kπ(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=π2+kπ(kZ) hoặc x=π6+kπ(kZ).

Cách 2:

2cos2x33sin2x4sin2x=42cos2x33.2sinxcosx4sin2x=4(sin2x+cos2x)2cos2x63sinxcosx4sin2x=4sin2x4cos2x6cos2x63sinxcosx=06cosx(cosx3sinx)=0[cosx=0cosx3sinx=0[cosx=0cosx=3sinx[cosx=0cosxsinx=3[cosx=0cotx=3[x=π2+kπx=π6+kπ

Bài 5 trang 37 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. cosx−√3sinx=√2
b. 3sin3x−4cos3x=5
c. 2sinx+2cosx−√2=0
d. 5cos2x+12sin2x−13=0
a.  
Phương pháp giải: 

Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: asinx+bcosx=c(a2+b2>0)

- Chia cả hai vế cho a2+b2, khi đó phương trình có dạng:

aa2+b2sinx+ba2+b2cosx=ca2+b2

- Đặt {aa2+b2=cosαba2+b2=sinα và sử dụng công thức sinxcosα+cosxsinα=sin(x+α) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.

Hoặc đặt {aa2+b2=sinαba2+b2=cosα và sử dụng công thức sinxsinα+cosxcosα=cos(xα) và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.

Lời giải: 

cosx3sinx=212cosx32sinx=22cosxcosπ3sinxsinπ3=22cos(x+π3)=cosπ4[x+π3=π4+k2πx+π3=π4+k2π[x=π12+k2πx=7π12+k2π(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=π12+k2π  hoặc x=7π12+k2π(kZ).

b. 
Lời giải: 

3sin3x4cos3x=535sin3x45cos3x=1

Đặt {sinα=35cosα=45, phương trình trở thành

sin3xsinαcos3xcosα=1cos3xcosαsin3xsinα=1cos(3x+α)=13x+α=π+k2π3x=πα+k2πx=πα3+k2π3(kZ)  

Vậy nghiệm của phương trình là x=πα3+k2π3(kZ)  (Với sinα=35;cosα=45).

Chú ý:

Có thể đặt cách khác như sau:

Đặt {cosβ=35sinβ=45, phương trình trở thành:

sin3xcosβcos3xsinβ=1sin(3xβ)=13xβ=π2+k2π3x=π2+β+k2πx=π6+β3+k2π3

c.
Lời giải: 

2sinx+2cosx2=02sinx+2cosx=2222sinx+222cosx=22212sinx+12cosx=12sinxsinπ4+cosxcosπ4=12cos(xπ4)=cosπ3[xπ4=π3+k2πxπ4=π3+k2π[x=7π12+k2πx=π12+k2π(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=7π12+k2π hoặc x=π12+k2π(kZ).

d. 
Lời giải: 

5cos2x+12sin2x13=0513cos2x+1213sin2x=1

Đặt {513=cosα1213=sinα , khi đó phương trình trở thành

cos2xcosα+sin2xsinα=1cos(2xα)=12xα=k2πx=α2+kπ(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=α2+kπ(kZ) với sinα=1213;cosα=513.

Bài 6 trang 37 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau: 
a. 
b. 
a. 
Phương pháp giải: 

+) Tìm ĐKXĐ.

+) Sử dụng công thức 1tanx=cotx=tan(π2x)

+) Đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản của tan: tanx=tanαx=α+kπ(kZ)

Lời giải:

a)tan(2x+1)tan(3x1)=1

ĐK: {cos(2x+1)0cos(3x1)0

{2x+1π2+kπ3x1π2+kπ {2xπ21+kπ3xπ2+1+kπ {xπ412+kπ2xπ6+13+kπ3

pttan(2x+1)=1tan(3x1)tan(2x+1)=cot(3x1)tan(2x+1)=tan(π23x+1)2x+1=π23x+1+kπ5x=π2+kπx=π10+kπ5(kZ)(tm)

Vậy nghiệm của phương trình là x=π10+kπ5(kZ).

b.
Phương pháp giải: 

+) Tìm ĐKXĐ.

+) Sử dụng công thức tan(a+b)=tana+tanb1tanatanb

+) Đặt t=tanx, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình tìm nghiệm t.

+) Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: tanx=tanαx=α+kπ(kZ)

Lời giải: 

b)tanx+tan(x+π4)=1

ĐK: {cosx0cos(x+π4)0

{xπ2+kπx+π4π2+kπ {xπ2+kπxπ4+kπ

Khi đó,

PTtanx+tanx+tanπ41tanxtanπ4=1

tanx+tanx+11tanx=1tanxtan2x+tanx+1=1tanxtan2x3tanx=0tanx(tanx3)=0[tanx=0tanx=3[x=kπx=arctan3+kπ(kZ)(tm)

Vậy nghiệm của phương trình là x=kπ hoặc x=arctan3+kπ(kZ).

Lý thuyết Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at+b=0(1)

Trong đó, a,b là các hằng số (a0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

Chia cả hai vế cho a ta được được (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ:

2cosx3=02cosx=3cosx=32=cosπ6x=±π6+k2π

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ:

5sinxsin2x=05sinx2sinxcosx=0sinx(52cosx)=0[sinx=052cosx=0[sinx=0cosx=52(VNvi52>1)x=kπ,kZ

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at2+bt+c=0(a0)

Trong đó a,b,c là các hằng số và t là một trong số các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

- Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có).

- Giải phương trình với ẩn phụ.

- Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ:

tan2xtanx2=0(1)

Đặt t=tanx thì (1) là:

t2t2=0[t=1t=2

[tanx=1tanx=2[x=π4+kπx=arctan2+kπ,kZ

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx

Xét phương trình asinx+bcosx=c

+) Chia hai vế phương trình cho a2+b2

+) Gọi α là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto OM=(a;b) thì phương trình trở thành một phương trình đã biết cách giải:

sin(x+α)=ca2+b2

Chú ý : Để phương trình sin(x+a)=c2a2+b2 có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

|c2a2+b2|1

|c|a2+b2

c2a2+b2

Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình asinx+bcosx=c có nghiệm.