Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Phép thử và biến cố chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Phép thử và biến cố lớp 11.
Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Phép thử và biến cố
Các kết quả có thể xảy ra của phép thử gieo một con súc sắc là: xuất hiện mặt 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.
A: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp";
B: "Mặt sấp xảy ra đúng một lần";
C: "Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần".
a.
Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.
Kí hiệu: S: xuất hiện mặt sấp - M: xuất hiện mặt ngửa
Không gian mẫu: gồm 8 phần tử.
b.
Lời giải:
A={SSS;SSN;SNS;SNN}
B={SNN;NSN;NNS}
C={SSN;SNS;SNN;NSS;NSN;NNS;NNN}
Không gian mẫu:
Không gian mẫu có phần tử.
Cách viết khác:
Trong đó là kết quả "lần đầu xuất hiện mặt chấm, lần sau xuất hiện mặt chấm".
b.
A = "Lần gieo đầu được mặt chấm";
B = "Tổng số chấm trong hai lần gieo là ";
C = "Kết quả ở hai lần gieo là như nhau".
A: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn";
B: "Tích các số trên hai thẻ là số chẵn".
a.
Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.
Phép thử được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên hai thẻ".
Đồng nhất mỗi thẻ với chữ số ghi trên thẻ đó, ta có: Mỗi một kết quả có thể có các phép thử là một tổ hợp chập của chữ số .
Do đó, số phần tử của không gian mẫu là , và không gian mẫu gồm các phần tử sau:
= .
Chú ý:
Do hai thẻ cần chọn không phân biệt thứ tự nên cặp với là như nhau, chỉ tỉnh là 1 phần tử. Do đó không gian mẫu là
b.
A là tập con của không gian mẫu sao cho tổng các số trên hai thẻ là số chẵn.
B là tập con của không gian mẫu sao cho tích các số trên hai thẻ là số chẵn.
A = .
B=
.
A: "Không ai bắn trúng";
B: "Cả hai đều bắn trúng";
C: "Có đúng một người bắn trúng";
D: "Có ít nhất một người bắn trúng".
b. Chứng tỏ rằng A = ; B và C xung khắc.
Sử dụng các khái niệm biến cố đối, biến cố xung khắc, các phép toán trên các biến cố.
Lời giải:
Ta có: biến cố là "Có ít nhất 1 người bắn trúng" tức là một trong 3 trường hợp:
+ 1 người bắn trúng và 1 người bắn không trúng
+ cả 2 người đều bắn trúng
Như vậy biến cố là (trường hợp còn lại) "Không có ai bắn trúng" chính là biến cố .
Vậy
Ta có: là biến cố "Có đúng 1 người bắn trúng" nghĩa là 1 người bắn trúng và 1 người không bắn trúng, khác hẳn với biến cố là "cả hai đều phải bắn trúng".
Hiển nhiên
Vậy theo định nghĩa thì và xung khắc với nhau.
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Kí hiệu là các biến cố sau:
: "Lấy được thẻ màu đỏ";
: "Lấy được thẻ màu trằng";
: "Lấy được thẻ ghi số chẵn".
Hãy biểu diễn các biến cố bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu.
a.
Liệt kê số phần tử của không gian mẫu.
Phép thử được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên một thẻ".
Không gian mẫu được mô tả bởi tập .
b.
Liệt kê số phần tử của các biến cố A, B, C.
;
;
.
= "Số lần gieo không vượt quá ba";
= "Số lần gieo là bốn".
Liệt kê các phần tử.
a.
Không gian mẫu của phép thử đã cho là:
;
.
: "Chữ số sau lớn hơn chữ số trước";
: "Chữ số trước gấp đôi chữ số sau";
: "Hai chữ số bằng nhau".
Liệt kê các phần tử của các tập hợp.
Lời giải:
a.
Phép thử được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái qua phải".
Không gian mẫu:
b.
;
;
.
Lý thuyết Bài Phép thử và biến cố
I. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
1. Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, tuy nhiên có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
Trong "Xác suất" ở trường phổ thông, ta chỉ xét những phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả có thể có.
Sau đây, ta sẽ gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử.
2. Không gian mẫu
Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là .
Ví dụ:
Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.
Không gian mẫu .
II. Biến cố
1. Định nghĩa
Giả sử là không gian mẫu của phép thử .
a) Nếu là tập con của thì ta nói là biến cố (liên quan đến phép thử ).
b) Trong kết quả của việc thực hiện phép thử , nếu có một phần tử của biến cố xảy ra thì ta nói "biến cố xảy ra".
Ví dụ:
Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.
Không gian mẫu .
Gọi là biến cố: “Các mặt xuất hiện chẵn chấm”.
Khi đó .
2. Biến cố không thể và biến cố chắc chắn
Giả sử là không gian mẫu của phép thử , ta có các định nghĩa sau:
a) Biến cố được gọi là biến cố ngẫu nhiên (liên quan đến phép thử ), nếu như khác rỗng và là tập con thực sự của .
b) Tập rỗng được gọi là biến cố không thể (liên quan đến phép thử ) (gọi tắt là biến cố không).
c) Tập được gọi là biến cố chắc chắn (liên quan đến phép thử ).
3. Các quan hệ và các phép toán trên các biến cố (liên quan đến cùng một phép thử)
Giả sử là không gian mẫu của phép thử ; là các biến cố cùng liên quan đến phép thử , ta có các định nghĩa và các kết quả sau:
3.1 Hai biến cố đồng nhất
Định nghĩa:
Hai biến cố và là đồng nhất với nhau khi và chỉ khi "Tập bằng tập "
Chú ý: Từ định nghĩa trực tiếp suy ra rằng hai biến cố và đồng nhất với nhau khi và chỉ khi chúng đồng thời xảy ra hoặc đồng thời cùng không xảy ra, mỗi khi phép thử được thực hiện.
Kí hiệu: .
3.2 Hợp và giao của các biến cố
Giả sử là hai biến cố có liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa sau:
+) Tập được gọi là hợp của các biến cố và .
xảy ra khi và chỉ khi xảy ra hoặc xảy ra.
+) Tập được gọi là giao của các biến cố và .
xảy ra khi và chỉ khi và đồng thời xảy ra.
Biến cố còn được viết là .
3.3 Hai biến cố xung khắc
Hai biến cố và là xung khắc với nhau khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra hay .
3.4 Biến cố đối
Định nghĩa:
Nếu là biến cố liên quan đến phép thử thì tập cũng là một biến cố liên quan đến phép thử và được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là .
Chú ý:
Từ định nghĩa trực tiếp suy ra:
a) = "Không xảy ra biến cố ". Từ đó ta có:
( xảy ra) ⇔ ( không xảy ra).
b) là phần bù của trong .
c) là biến cố đối của biến cố thì là biến cố đối của biến cố ( và là hai biến cố đối nhau). Đồng thời ta có:
( và là hai biến cố đối nhau) ⇔ .
Ví dụ:
Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.
Không gian mẫu .
Gọi là biến cố: “Các mặt xuất hiện chẵn chấm”.
Khi đó .
Gọi là biến cố: “Các mặt xuất hiện lẻ chấm”.
Khi đó .
Dễ thấy:
và nên và là các biến cố đối của nhau.