Giải Toán 11 Bài 4: Vi phân

53 lượt xem

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Vi phân chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Vi phân lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Vi phân

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 170 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số

f (x) = \sqrt{x}, x_{0} = 4

và

Δ x = 0, 01

. Tính

f^{'} (x_{0}) Δ x

Phương pháp giải:

Tính $f^{'} (x)$ , suy ra $f^{'} (x_{0})$ và $f^{'} (x_{0}) Δ x$ .

Lời giải:

$\begin{aligned} f^{'} (x) = (\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \Rightarrow f^{'} (x_{0}) = \frac{1}{2 \sqrt{x_{0}}} = \frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{4} \\ \Rightarrow f^{'} (x_{0}) Δ x = \frac{1}{4} .0, 01 = 0, 0025 \end{aligned}$

Bài tập (trang 171 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 171 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm vi phân của các hàm số sau:

a. $y = \frac{\sqrt{x}}{a + b}$ ( $a, b$ là hằng số);

b. $y = (x^{2} + 4 x + 1) (x^{2} - \sqrt{x})$ .

Phương pháp giải:Sử dụng công thức tính vi phân: $d y = d f (x) = f^{'} (x) d x$

Lời giải:

$\begin{array}{l} d y = d (\frac{\sqrt{x}}{a + b}) = {(\frac{\sqrt{x}}{a + b})}^{'} d x \\ = \frac{1}{a + b} {(\sqrt{x})}^{'} d x \\ = \frac{1}{a + b} . \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x \\ \Rightarrow d y = \frac{1}{2 (a + b) \sqrt{x}} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} d y = d [(x^{2} + 4 x + 1) (x^{2} - \sqrt{x})] \\ \Rightarrow d y = {[(x^{2} + 4 x + 1) (x^{2} - \sqrt{x})]}^{'} d x \\ = [{(x^{2} + 4 x + 1)}^{'} (x^{2} - \sqrt{x}) + (x^{2} + 4 x + 1) {(x^{2} - \sqrt{x})}^{'}] d x \\ = [(2 x + 4) (x^{2} - \sqrt{x}) + (x^{2} + 4 x + 1) (2 x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})] d x \end{array}$

Bài 2 trang 171 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm

d y

, biết:

a. $y = \tan^{2} x$

b. $y = \frac{\cos x}{1 - x^{2}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính vi phân: $d y = d f (x) = f^{'} (x) d x$

Lời giải:

$\begin{array}{l} d y = d (\tan^{2} x) = {(\tan^{2} x)}^{'} d x \\ = [2 \tan x {(\tan x)}^{'}] d x \\ = 2 \tan x . \frac{1}{\cos^{2} x} d x \\ = \frac{2 \tan x}{\cos^{2} x} d x \end{array}$

$\begin{array}{l} d y = d (\frac{\cos x}{1 - x^{2}}) \\ \Rightarrow d y = {(\frac{\cos x}{1 - x^{2}})}^{'} d x \\ d y = \frac{{(\cos x)}^{'} (1 - x^{2}) - \cos x {(1 - x^{2})}^{'}}{{(1 - x^{2})}^{2}} d x \\ d y = \frac{- \sin x (1 - x^{2}) + 2 x \cos x}{{(1 - x^{2})}^{2}} d x \end{array}$

Lý thuyết Bài Vi phân

Định nghĩa

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $(a; b)$ và có đạo hàm tại $x \in (a; b)$ .

+) Kí hiệu: $∆ x$ là số gia của $x$ , sao cho $x + ∆ x \in (a; b)$ .

+) Ta gọi $f^{'} (x) . ∆ x$ (hay $y^{'} . ∆ x$ ) là vi phân của hàm số $y = f (x)$ tại $x$ ứng với số gia $∆ x$ .

Kí hiệu là $d f (x)$ hay $d y$ .

Công thức: $d y = d f (x) = f^{'} (x) ∆ x$

Chú ý:

+ Nếu $y = x$ , ta có: $d x = d y = (x)^{'} . ∆ x = 1. ∆ x = ∆ x$

+ Do đó với mọi hàm số $y = f (x)$ , ta có: $d y = d f (x) = f^{'} (x) ∆ x = f^{'} (x) d x$

Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán Học Lớp 11

Xem thêm các chương trình khác: