SBT Toán 11 Bài 1: Hàm lượng giác | Giải SBT Toán lớp 11

a) $y=\sqrt{\cos x+1}$

b) $y={\displaystyle \frac{3}{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}}$

c) $y={\displaystyle \frac{2}{\cos x-\cos 3x}}$ $$

d) $y=\tan x+\cot x$

Phương pháp giải:

a) Điều kiện xác định của hàm số $y=\sqrt{f(x)}$ là $f(x)\ge 0$

b)

Điều kiện xác định của hàm số $y={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ là $g(x)\ne 0$

c)

Điều kiện xác định của hàm số $y={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ là $g(x)\ne 0$

d)

Điều kiện xác định của hàm số $y=\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$ là $\cos x\ne 0$

Điều kiện xác định của hàm số $y=\cot x={\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}$ là $\sin x\ne 0$

Lời giải:

Điều kiện xác định: $\cos x+1\ge 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}-1\le \cos x\le 1\\ \Rightarrow -1+1\le \cos x+1\le 1+1\\ \Rightarrow 0\le \cos x+1\le 2\\ \Rightarrow \cos x+1\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}$

Vậy $\mathrm{D}=\mathbb{R}$.

  b)

Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l}{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\ne 0\\ \iff {\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\ne 0\\ \iff \cos 2x\ne 0\\ \iff 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy $\mathrm{D}=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c)

Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l}\cos x-\cos 3x\ne 0\\ \iff -2\sin 2x\sin x\ne 0\\ \iff \{\begin{array}{l}\sin 2x\ne 0\\ \sin x\ne 0\end{array}\\ \iff \sin 2x\ne 0\end{array}$

(Vì $\sin 2x\ne 0$ suy ra $\sin x\ne 0$)

$\iff 2x\ne k\pi$

$\begin{array}{l}\iff x\ne k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Chú ý:

Các em cũng có thể biến đổi như sau:

$\begin{array}{l}-2\sin 2x\sin x\ne 0\\ \iff -2.2\sin x\cos x.\sin x\ne 0\\ \iff -4{\sin }^{2}x\cos x\ne 0\\ \iff \{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\\ \iff x\ne \frac{k\pi }{2},k\in Z\end{array}$

 d)

Điều kiện xác định:

$\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}$$$\begin{gathered} \iff \sin x\cos x\ne 0 \\ \iff 2\sin x\cos x\ne 0 \end{gathered}$$$\iff \sin 2x\ne 0$$$\begin{gathered} \iff 2x\ne k\pi \\ \iff x\ne \frac{k\pi }{2} \end{gathered}$$

Vậy tập xác định là:$D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

a) $y=3-2\left|\sin x\right|$

b) $y=\cos x+\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$

c) $y={\cos }^{2}x+2\cos 2x$

d) $y=\sqrt{5-2{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}$

Phương pháp giải:

a) Hàm số $y=\sin x$ có $-1\le \sin x\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\iff 0\le \left|\sin x\right|\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

b)

Sử dụng công thức phân tích tổng thành tích thu gọn hàm số.

Sử dụng lý thuyết $-1\le \cos x\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ để đánh giá biểu thức ở trên.

c)

Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức

Sử dụng lý thuyết $-1\le \cos x\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ để đánh giá biểu thức ở trên.

d)

Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức

Hàm số $y=\sin x$ có $-1\le \sin x\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l}\iff 0\le \left|\sin x\right|\le 1\\ \iff 0\le {\sin }^{2}x\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}0\le \left|\sin x\right|\le 1\iff -2\le -2\left|\sin x\right|\le 0\\ \iff 3-2\le 3-2\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\right|\le 3\\ \iff 1\le 3-2\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\right|\le 3\end{array}$

Vậy GTLN của hàm số $y=3-2\left|\sin x\right|$ là 3 đạt được khi

$\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

GTNN của hàm số $y=3-2\left|\sin x\right|$  là 1 đạt được khi 

$\sin x=\pm 1\iff x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

 b)

Ta có: $\cos x+\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$

$\begin{array}{l}=2\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\\ =\sqrt{3}\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\end{array}$

Do $-1\le \cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\le 1$

$\iff -\sqrt{3}\le \sqrt{3}\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\le \sqrt{3}$

Vậy hàm số  $y=\cos x+\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$ có GTLN là $\sqrt{3}$ đạt được khi $\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=1$

$\begin{array}{l}\iff x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}=k2\pi \\ \iff x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

GTNN là$-\sqrt{3}$ đạt được khi $\cos \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=-1$

$\begin{array}{l}\iff x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}=\pi +k2\pi \\ \iff x={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

c)

Ta có:

${\cos }^{2}x+2\cos 2x$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{2}}+2\cos 2x\\ ={\displaystyle \frac{1+5\cos 2x}{2}}\end{array}$

Do $-1\le \cos 2x\le 1$

$\begin{array}{l}\iff -5\le 5\cos 2x\le 5\\ \iff 1-5\le 1+5\cos 2x\le 1+5\\ \iff {\displaystyle \frac{1-5}{2}}\le {\displaystyle \frac{1+5\cos 2x}{2}}\le {\displaystyle \frac{1+5}{2}}\\ \iff -2\le {\displaystyle \frac{1+5\cos 2x}{2}}\le 3\end{array}$

Vậy hàm số  $y={\cos }^{2}x+2\cos 2x$ có GTLN là $3$

đạt được khi $\cos 2x=1\iff 2x=k2\pi$

$\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

GTNN là $-2$  đạt được khi $\cos 2x=-1\iff 2x=\pi +k2\pi$

$\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 d)

Ta có: $5-2{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x=5-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}2x$

Do $0\le {\sin }^{2}2x\le 1$

 $\begin{array}{l}\iff -1\le -{\sin }^{2}2x\le 0\\ \iff -{\displaystyle \frac{1}{2}}\le -{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}2x\le 0\\ \iff 5-{\displaystyle \frac{1}{2}}\le 5-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}2x\le 5\\ \iff {\displaystyle \frac{9}{2}}\le 5-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}2x\le 5\\ \iff {\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}\le \sqrt{5-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}2x}\le \sqrt{5}\end{array}$

Vậy hàm số  $y=\sqrt{5-2{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}$ có GTLN là $\sqrt{5}$  đạt được khi $-{\sin }^{2}2x=0\iff \sin 2x=0$

 $\begin{array}{l}\iff 2x=k\pi \\ \iff x=k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

GTNN là ${\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}$  đạt được khi $-{\sin }^{2}2x=-1\iff \sin 2x=\pm 1$

$\iff 2x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi$

$\iff x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi$

$\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$.

 a) ${\displaystyle \frac{1}{\tan x}}=\cot x$

b) ${\displaystyle \frac{1}{1+{\tan }^{2}x}}={\cos }^{2}x$

c) ${\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}=1+{\cot }^{2}x$

d) $\tan x+\cot x={\displaystyle \frac{2}{\sin 2x}}$

Phương pháp giải:

 Biến đổi $VT=VP$, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.

Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.

Lời giải:

a)

$VT={\displaystyle \frac{1}{\tan x}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}}}$  $={\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}=\cot x=VP$ 

Do đó $VT=VP$  nếu hai vế xác định.

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}$

$\iff \sin 2x\ne 0$

$\iff x\ne k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x\ne k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$

 b)

Ta có :

$VP={\displaystyle \frac{1}{1+{\tan }^{2}x}}={\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}}}$

$={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}}}$ $={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}}}={\cos }^{2}x=VP$

Do đó $VT=VP$ nếu hai vế xác định

ĐKXĐ: $\cos x\ne 0\iff x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

 c)

Ta có :

$VP=1+{\cot }^{2}x=1+{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}}$

$={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}}={\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}=VT$  

Do đó $VT=VP$ nếu hai vế xác định.

ĐKXĐ: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d)

Ta có: $VT=\tan x+\cot x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}+{\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}$ $={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}}={\displaystyle \frac{1}{\sin x\cos x}}$

$VP={\displaystyle \frac{2}{\sin 2x}}={\displaystyle \frac{2}{2\sin x\cos x}}$ $={\displaystyle \frac{1}{\sin x\cos x}}$

Do đó $VT=VP$ nếu hai vế xác định.

$VT$ xác định khi $\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \sin x\ne 0\end{array}\iff \sin 2x\ne 0$ $\iff 2x\ne k\pi \iff x\ne {\displaystyle \frac{k\pi }{2}}$

$VP$ xác định khi $\sin 2x\ne 0\iff x\ne {\displaystyle \frac{k\pi }{2}}$.

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x\ne {\displaystyle \frac{k\pi }{2}}$.

a) $y={\displaystyle \frac{\cos 2x}{x}}$

b) $y=x-\sin x$

c) $y=\sqrt{1-\cos x}$

d) $y=1+\cos x\sin \left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-2x\right)$

Phương pháp giải:

Hàm số $y=f(x)$ với tập xác định $D$ gọi là hàm số chẵn nếu

$x\in D$ thì $-x\in D$ và $f(-x)=f(x)$

Hàm số $y=f(x)$ với tập xác định $D$ gọi là hàm số lẻ nếu

$x\in D$ thì $-x\in D$ và $f(-x)=-f(x)$

Bước 1: tìm TXĐ $D$, chứng minh $D$  là tập đối xứng

Bước 2: lấy $x\in D\Rightarrow -x\in D$

Bước 3: xét $f\left(-x\right)$

Nếu $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ hàm số chẵn

Nếu $f(-x)=-f(x)$ hàm số lẻ.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$ là tập đối xứng

$f(-x)={\displaystyle \frac{\cos (2(-x))}{-x}}={\displaystyle \frac{\cos (-2x)}{-x}}$ $={\displaystyle \frac{\cos 2x}{-x}}=-f(x)$

Vậy $y={\displaystyle \frac{\cos 2x}{x}}$ là hàm số lẻ.

 b)

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng

$$\begin{gathered} f(-x)=(-x)-\sin (-x) \\ =-x-(-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})=-x+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x} \end{gathered}$$$=-(x-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})=-f(x)$

Vậy $y=x-\sin x$ là hàm số lẻ.

c)

Do $-1\le \cos x\le 1\Rightarrow 0\le 1-\cos x\le 2$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng

$\begin{array}{l}f(-x)=\sqrt{1-\cos (-x)}\\ =\sqrt{1-\cos x}=f(x)\end{array}$

Vậy $y=\sqrt{1-\cos x}$ là hàm số chẵn.

 d)

$y=1+\cos x\sin \left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-2x\right)$ $=1+\cos x\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2x)$$=1-\cos x\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)$$=1-\cos x\cos 2x$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng

$\begin{array}{l}f(-x)=1-\cos (-x)\cos (2(-x))\\ =1-\cos x\cos 2x=f(x)\end{array}$

Vậy $y=1+\cos x\sin \left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-2x\right)$ là hàm số chẵn.

b) Từ đồ thị hàm số $y=\cos 2x$ , hãy vẽ đồ thị hàm số $y=\left|\cos 2x\right|$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức $\cos (\alpha +k2\pi )=\cos \alpha$

b)

Cách dựng đồ thị hàm số $y=\left|f(x)\right|$ từ đồ thị hàm số $y=f(x)$:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục $Ox$ của đồ thị hàm số $y=f(x)$

+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục $Ox$ của đồ thị $y=f(x)$ qua $Ox$

+ Xóa phần đồ thị phía dưới trục $Ox$ của đồ thị hàm số $y=f(x)$.

Lời giải:

a)

$\cos 2(x+k\pi )=\cos (2x+k2\pi )$ $=\cos 2x,k\in Z$

Vậy hàm số $y=\cos 2x$ là hàm số chẵn, tuần hoàn, có chu kỳ $\pi$.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left(0;1\right),\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}};0\right),$ $\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}};0\right),\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};-1\right),\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}};1\right)$

 b)

Đồ thị hàm số $y=\left|\cos 2x\right|$ gồm:

+ Phần đồ thị phía trên trục $Ox$ của đồ thị hàm số $y=\cos 2x$

+ Phần đồ thị có được từ việc lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục $Ox$ của đồ thị hàm số $y=\cos 2x$.

Đồ thị hàm số $y=\left|\cos 2x\right|$ là:

Điều kiện xác định của hàm số $y={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ là $g(x)\ne 0$

Hàm số $y={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ xác định khi $g(x)\ne 0$.

Hàm số $y=\sqrt{f(x)}$ xác định khi $f(x)\ge 0$.

Hàm số $y={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ xác định khi $g(x)\ne 0$.

Hàm số $y=\sqrt{f(x)}$ xác định khi $f(x)\ge 0$.

Phương pháp giải:

Phương pháp giải: