SBT Toán 11 Bài 1: Hàm lượng giác | Giải SBT Toán lớp 11

Chúng tôi giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Hàm lượng giác chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Hàm lượng giác

Bài 1.1 trang 12 SBT Đại số và giải tích 11: Tìm tập xác định của các hàm số

a) y=cos2xx1

b) y=tanx3

c) y=cot2x

d) y=sin1x21

Phương pháp giải:

a) Phân thức f(x)g(x) xác định khi g(x)0

b)

Hàm số y=tanx3=sinx3cosx3 xác định khi cosx30

c)

Hàm số y=cot2x=cos2xsin2x xác định khi sin2x0

d)

Phân thức y=f(x)g(x) xác định khi g(x)0

Lời giải:

Điều kiện xác định: x10x1

Vậy D=R{1}.

b)

Điều kiện xác định: cosx30x3π2+kπ x3π2+k3π,kZ

Vậy D=R{3π2+k3π}.

c)

Điều kiện xác định: sin2x02xkπ xkπ2,kZ

Vậy D=R{kπ2}.

d)

Điều kiện xác định: x210x±1

Vậy D=R{1;1}.

Bài 1.2 trang 12 SBT Đại số và giải tích 11: Tìm tập xác định của các hàm số

a) y=cosx+1

b) y=3sin2xcos2x

c) y=2cosxcos3x 

d) y=tanx+cotx

Phương pháp giải:

a) Điều kiện xác định của hàm số y=f(x) là f(x)0

b)

Điều kiện xác định của hàm số y=f(x)g(x) là g(x)0

c)

Điều kiện xác định của hàm số y=f(x)g(x) là g(x)0

d)

Điều kiện xác định của hàm số y=tanx=sinxcosx là cosx0

Điều kiện xác định của hàm số y=cotx=cosxsinx là sinx0

Lời giải:

Điều kiện xác định: cosx+10

Ta có:

1cosx11+1cosx+11+10cosx+12cosx+10,xR

Vậy D=R.

  b)

Điều kiện xác định:

sin2xcos2x0cos2xsin2x0cos2x02xπ2+kπxπ4+kπ2,kZ

Vậy D=R{π4+kπ2,kZ}.

c)

Điều kiện xác định:

cosxcos3x02sin2xsinx0{sin2x0sinx0sin2x0

(Vì sin2x0 suy ra sinx0)

2xkπ

xkπ2,kZ

Vậy D=R{kπ2,kZ}.

Chú ý:

Các em cũng có thể biến đổi như sau:

2sin2xsinx02.2sinxcosx.sinx04sin2xcosx0{sinx0cosx0{xkπxπ2+kπxkπ2,kZ

 d)

Điều kiện xác định:

{sinx0cosx0sinxcosx02sinxcosx0sin2x02xkπxkπ2

Vậy tập xác định là:D=R{kπ2,kZ}.

Bài 1.3 trang 12 SBT Đại số và giải tích 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số

a) y=32|sinx|

b) y=cosx+cos(xπ3)

c) y=cos2x+2cos2x

d) y=52cos2xsin2x

Phương pháp giải:

a) Hàm số y=sinx có 1sinx1,xR

0|sinx|1,xR

b)

Sử dụng công thức phân tích tổng thành tích thu gọn hàm số.

Sử dụng lý thuyết 1cosx1,xR để đánh giá biểu thức ở trên.

c)

Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức

Sử dụng lý thuyết 1cosx1,xR để đánh giá biểu thức ở trên.

d)

Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức

Hàm số y=sinx có 1sinx1,xR

0|sinx|10sin2x1,xR

Lời giải:

a)

0|sinx|122|sinx|03232|sinx|3132|sinx|3

Vậy GTLN của hàm số y=32|sinx| là 3 đạt được khi

sinx=0x=kπ,kZ

GTNN của hàm số y=32|sinx|  là 1 đạt được khi 

sinx=±1x=±π2+k2π,kZ.

 b)

Ta có: cosx+cos(xπ3)

=2cos(xπ6)cosπ6=3cos(xπ6)

Do 1cos(xπ6)1

33cos(xπ6)3

Vậy hàm số  y=cosx+cos(xπ3) có GTLN là 3 đạt được khi cos(xπ6)=1

xπ6=k2πx=π6+k2π,kZ

GTNN là3 đạt được khi cos(xπ6)=1

xπ6=π+k2πx=7π6+k2π,kZ

c)

Ta có:

cos2x+2cos2x

=1+cos2x2+2cos2x=1+5cos2x2

Do 1cos2x1

55cos2x5151+5cos2x1+51521+5cos2x21+5221+5cos2x23

Vậy hàm số  y=cos2x+2cos2x có GTLN là 3

đạt được khi cos2x=12x=k2π

x=kπ,kZ

GTNN là 2  đạt được khi cos2x=12x=π+k2π

x=π2+kπ,kZ

 d)

Ta có: 52cos2xsin2x=512sin22x

Do 0sin22x1

 1sin22x01212sin22x0512512sin22x592512sin22x5322512sin22x5

Vậy hàm số  y=52cos2xsin2x có GTLN là 5  đạt được khi sin22x=0sin2x=0

 2x=kπx=kπ2,kZ

GTNN là 322  đạt được khi sin22x=1sin2x=±1

2x=±π2+k2π

x=±π4+kπ

x=π4+kπ2,kZ.

Bài 1.4 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: Với những giá trị nào của x, ta có mỗi đẳng thức sau ?

 a) 1tanx=cotx

b) 11+tan2x=cos2x

c) 1sin2x=1+cot2x

d) tanx+cotx=2sin2x

Phương pháp giải:

 Biến đổi VT=VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.

Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.

Lời giải:

a)

VT=1tanx=1sinxcosx  =cosxsinx=cotx=VP 

Do đó VT=VP  nếu hai vế xác định.

ĐKXĐ: {sinx0cosx0

sin2x0

xkπ2,kZ

Vậy đẳng thức xảy ra khi xkπ2,kZ

 b)

Ta có :

VP=11+tan2x=11+sin2xcos2x

=1cos2x+sin2xcos2x =11cos2x=cos2x=VP

Do đó VT=VP nếu hai vế xác định

ĐKXĐ: cosx0xπ2+kπ,kZ

Vậy đẳng thức xảy ra khi xπ2+kπ,kZ.

 c)

Ta có :

VP=1+cot2x=1+cos2xsin2x

=sin2x+cos2xsin2x=1sin2x=VT  

Do đó VT=VP nếu hai vế xác định.

ĐKXĐ: sinx0xkπ,kZ

Vậy đẳng thức xảy ra khi xkπ,kZ.

d)

Ta có: VT=tanx+cotx=sinxcosx+cosxsinx =sin2x+cos2xsinxcosx=1sinxcosx

VP=2sin2x=22sinxcosx =1sinxcosx

Do đó VT=VP nếu hai vế xác định.

VT xác định khi {cosx0sinx0sin2x0 2xkπxkπ2

VP xác định khi sin2x0xkπ2.

Vậy đẳng thức xảy ra khi xkπ2.

Bài 1.5 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số

a) y=cos2xx

b) y=xsinx

c) y=1cosx

d) y=1+cosxsin(3π22x)

Phương pháp giải:

Hàm số y=f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu

xD thì xD và f(x)=f(x)

Hàm số y=f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu

xD thì xD và f(x)=f(x)

Bước 1: tìm TXĐ D, chứng minh D  là tập đối xứng

Bước 2: lấy xDxD

Bước 3: xét f(x)

Nếu f(x)=f(x) hàm số chẵn

Nếu f(x)=f(x) hàm số lẻ.

Lời giải:

a) Tập xác định: D=R{0} là tập đối xứng

f(x)=cos(2(x))x=cos(2x)x =cos2xx=f(x)

Vậy y=cos2xx là hàm số lẻ.

 b)

Tập xác định: D=R là tập đối xứng

f(x)=(x)sin(x)=x(sinx)=x+sinx=(xsinx)=f(x)

Vậy y=xsinx là hàm số lẻ.

c)

Do 1cosx101cosx2

Tập xác định: D=R là tập đối xứng

f(x)=1cos(x)=1cosx=f(x)

Vậy y=1cosx là hàm số chẵn.

 d)

y=1+cosxsin(3π22x) =1+cosxsin(π2+2x)=1cosxsin(π22x)=1cosxcos2x

Tập xác định: D=R là tập đối xứng

f(x)=1cos(x)cos(2(x))=1cosxcos2x=f(x)

Vậy y=1+cosxsin(3π22x) là hàm số chẵn.

Bài 1.6 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: a) Chứng minh rằng cos2(x+kπ)=cos2x,kZ. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y=cos2x

b) Từ đồ thị hàm số y=cos2x , hãy vẽ đồ thị hàm số y=|cos2x|

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức cos(α+k2π)=cosα

b)

Cách dựng đồ thị hàm số y=|f(x)| từ đồ thị hàm số y=f(x):

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox của đồ thị hàm số y=f(x)

+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị y=f(x) qua Ox

+ Xóa phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số y=f(x).

Lời giải:

a)

cos2(x+kπ)=cos(2x+k2π) =cos2x,kZ

Vậy hàm số y=cos2x là hàm số chẵn, tuần hoàn, có chu kỳ π.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;1),(π4;0), (π4;0),(π2;1),(π2;1)

SBT Toán 11 Bài 1: Hàm lượng giác | Giải SBT Toán lớp 11 (ảnh 1)

 b)

Đồ thị hàm số y=|cos2x| gồm:

+ Phần đồ thị phía trên trục Ox của đồ thị hàm số y=cos2x

+ Phần đồ thị có được từ việc lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số y=cos2x.

Đồ thị hàm số y=|cos2x| là:

SBT Toán 11 Bài 1: Hàm lượng giác | Giải SBT Toán lớp 11 (ảnh 2)


Bài 1.7 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: Tập xác định của hàm số y=1+2cosx là

A. [2π3+k2π;2π3+k2π]

B. [π3+k2π;π3+k2π]

C. [5π6+k2π;5π6+k2π]

D. [π4+k2π;π4+k2π]

Phương pháp giải:

Điều kiện xác định của hàm số  là .

Lời giải:

ĐKXĐ: 1+2cosx0 cosx12 2π3+k2πx2π3+k2π,kZ

Đáp án: A

Bài 1.8 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: Tập xác định của hàm số y=1sinx2cotx là  

A. R{π2+kπ}

B. R{kπ2}

C. R{kπ}

D. R{k2π}

Phương pháp giải:

Điều kiện xác định của hàm số y=f(x)g(x) là g(x)0

Lời giải:

ĐKXĐ: {sinx0cosx0

sinxcosx02sinxcosx0

sin2x0

xkπ2,kZ

Vậy D=R{kπ2,kZ}

Đáp án :B

Cách khác:

Hàm số không xác định khi cotx = 0 hoặc khi cotx không xác định

Tức là khi x = kπ hoặc x = π/2 + kπ, k ∈ Z.

Gộp hai giá trị này lại ta được kết quả x = kπ/2, k ∈ Z.

Vậy tập xác định là R \ {π/2+kπ,k ∈ Z }

Bài 1.9 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: Tập xác định của hàm số y=1+tanx1sinx là

A. R{π2+k2π}

B. [k2π;π+k2π]

C. R{π2+kπ}

D. R[π6+k2π;5π6+k2π]

Phương pháp giải:

Hàm số y=f(x)g(x) xác định khi g(x)0.

Hàm số y=f(x) xác định khi f(x)0.

Lời giải:

ĐKXĐ: {cosx01sinx>0

{cosx01sinx0

{xπ2+kπxπ2+k2π

xπ2+kπ

Vậy xπ2+kπ,kZ hay R{π2+kπ,kZ}

Đáp án: C.

Cách khác:

Hàm số không xác định khi tanx không xác định hoặc sinx = 1

Tức là khi x = π/2+kπ, hoặc x = π/2+k2π, k ∈ Z.

Gộp hai giá trị này lại ta được kết quả x = π/2+kπ, k ∈ Z.

Vậy tập xác định là R \ {π/2+kπ,k ∈ Z}.

Bài 1.10 trang 14 SBT Đại số và giải tích 11: Tập xác định của hàm số y=12cosx3tanx là

A. R{π2+kπ}

B. R(π3+k2π;π3+k2π)

C. R{{π3+k2π}{π2+k2π}}

D. R{(π3+k2π;π3+k2π]{π2+kπ}}

Phương pháp giải:

Hàm số y=f(x)g(x) xác định khi g(x)0.

Hàm số y=f(x) xác định khi f(x)0.

Lời giải:

Hàm số y=12cosx3tanx không xác định khi

{12cosx<0tanx=3cosx=0

{π3+k2π<x<π3+k2π,kZx=π3+kπ,kZx=π2+kπ,kZ

Vậy tập xác định là  R{(π3+k2π;π3+k2π]{π2+kπ}}

Đáp án: D.

Cách trắc nghiệm.

Xét các phương án

Với x = π/3 thì tan x = √3 nên hàm số không xác định, do đó các phương án A và B bị loại.

Với x=0 thì 12cos0=1<0 nên hàm số không xác định, mà x=0 lại thuộc tập hợp đáp án C nên loại C.

Bài 1.11 trang 14 SBT Đại số và giải tích 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=1cosxsinx là

A. 12                          B. 1

C. 12                   D. 2

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng thành tích để rút gọn hàm số.

Hàm số y=cosx có cosx1

Lời giải:

Ta có:

y=1cosxsinx

=1(cosx+sinx)

=1[cosx+cos(π2x)]

=12cosπ4cos(xπ4)

=12.22cos(xπ4)

=12cos(xπ4)

Mà cos(xπ4)1

2cos(xπ4)212cos(xπ4)12

y12

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y là 12 đạt được khi x=π4.

Đáp án C.

Chú ý:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất.

Mà (cosx + sinx)2 = 1 + sin2x ≤ 2.

Giá trị lớn nhất của (cosx + sinx)2 bằng 2, đạt được khi sin2x = 1.

Vậy cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất bằng √2.

Từ đó suy ra GTNN của hàm số đã cho.

Bài 1.12 trang 14 SBT Đại số và giải tích 11: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=2+|cosx|+|sinx| là

A. 2                           B. 2+2

C. 32                          D. 32

Phương pháp giải:

Hàm số y=2+|cosx|+|sinx| đạt giá trị lớn nhất khi |cosx|+|sinx| đạt giá trị lớn nhất.

Sử dụng |sin2x|1.

Lời giải:

(|cosx|+|sinx|)2=cos2x+sin2x+2|cosxsinx|=1+|sin2x|2|cosx|+|sinx|22+|cosx|+|sinx|2+2

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y là 2+2 đạt được khi sin2x=1.

Đáp án B.

Cách trắc nghiệm:

Với x = 0 ta thấy y = 3 đều lớn hơn các giá trị trong các phương án A, C, D nên các phương án này bị loại.

Bài 1.13 trang 14 SBT Đại số và giải tích 11: Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=cos6x+sin6x tương ứng là

A. 14 và 1                     B. 35 và 34  

C. 12 và 22                D. 23 và 32  

Phương pháp giải:

Biến đổi cos6x+sin6x về dạng biểu thức chỉ chứa sinf(x) hoặc cosf(x).

Ta có |sinf(x)|1 và |cosf(x)|1 từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải:

cos6x+sin6x=

(cos2x+sin2x)(cos4xcos2xsin2x+sin4x)

=(cos2x+sin2x)23cos2xsin2x

=13(sin2x2)2=134sin22x

=134(1cos22x)=134+34cos22x

=14+34cos22x

Mà 0cos22x1

034cos22x34

1414+34cos22x1

14y1

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y là 14 đạt được khi cos2x=0,

Giá trị lớn nhất của hàm số y là 1 đạt được khi cos2x=1.

Đáp án A.

Cách trắc nghiệm:

Khi x = 0 thì y = 1 lớn hơn 3/4, lớn hơn √2/2 và lớn hơn √3/2, nên ba phương án B, C, D bị loại.