Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Phương pháp quy nạp toán học lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời hoạt động 1 trang 80 sgk Đại số và Giải tích 11: Xét hai mệnh đề chứa biến P(n):3n<n+100 và Q(n):2n>n với nN

a. Với n=1,2,3,4,5 thì P(n),Q(n) đúng hay sai?

b. Với mọi nN thì P(n),Q(n) đúng hay sai?

a. 

Phương pháp giải:
Thay n vào các mệnh đề chứa biến và kiểm tra tính đúng sai của chúng
Lời giải:

Với n=1thì P(1):31<1+100 đúng, Q(1):21>1 đúng.

Với n=2 thì P(2):32<2+100 đúng, Q(2):22>2 đúng.

Với n=3 thì P(3):33<3+100 đúng, Q(3):23>3 đúng.

Với n=4 thì P(4):34<4+100 đúng, Q(4):24>4 đúng.

Với n=5 thì P(5):35<5+100 sai, Q(5):25>5 đúng.

b. 

Phương pháp giải:
Nhận xét tính đúng sai của các mệnh đề khi n bất kì thuộc N*.
Lời giải:

Với P(n): Do với n=5 thì P(n) sai nên P(n) không đúng với mọi nN.

Với Q(n): Quan sát 2n ta thấy 2n tăng rất nhanh so với n nên 2n>n với mọi nN hay Q(n) đúng với nN 

Trả lời hoạt động 2 trang 81 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng với nN thì

1+2+3++n=n(n+1)2

Phương pháp giải:

- Xét với n=1, chứng minh đẳng thức đúng với n=1.

- Giả sử đẳng thức đúng với n=k1, chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1.

Lời giải:

- Khi n=1,VT=1

VP=1(1+1)2=1

- Giả sử đẳng thức đúng với n=k1, nghĩa là:

Sk=1+2+3+...+k=k(k+1)2

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n=k+1, tức là:

Sk+1=1+2+3+...+k+(k+1) =(k+1)(k+2)2

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

Sk+1=Sk+(k+1) =k(k+1)2+(k+1)

=k(k+1)+2(k+1)2 =(k+1)(k+2)2

Vậy đẳng thức đúng với mọi  nN

Trả lời hoạt động 3 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai số 3n8nvới nN.

a. So sánh  3n8n khi n=1,2,3,4,5.

b. Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

a.

Phương pháp giải:
Thay lần lượt các giá trị của n và so sánh.

Lời giải:

So sánh  3n8n với n=1,2,3,4,5.

n=131=3<8=8.1n=232=9<16=8.2n=333=27>24=8.3n=434=81>32=8.4n=535=243>40=8.5

b.

Phương pháp giải:
Từ các kết quả ở ý a) dự đoán kết quả tổng quát 3n>8n với mọi n3
Lời giải:

Dự đoán kết quả tổng quát:  3n>8n  với mọi n3

n=3, bất đẳng thức đúng

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k3, nghĩa là:

 3k>8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n=k+1, tức là:

 3k+1>8(k+1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

 3k+1=3k.3>8k.3=24k=8k+16k

k316k16.3=48>8

Suy ra:

3k+1>8k+8=8(k+1) 

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n3

Bài tập (trang 82, 83 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng với nN, ta có đẳng thức:
a. 
b. 
c. 
Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến n=k1 (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến n=k+1.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi nN.

Lời giải:
a. Với n=1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng 1.(3.1+1)2=2.

Do đó hệ thức a) đúng với n=1.

Đặt vế trái bằng Sn

Giả sử đẳng thức a) đúng với n=k1, tức là

Sk=2+5+8++3k1 =k(3k+1)2

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n=k+1, nghĩa là phải chứng minh

Sk+1=2+5+8+.+3k1+(3(k+1)1) =(k+1)(3(k+1)+1)2

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Sk+1=[2+5+8+.+3k1]+(3(k+1)1)

=Sk+3k+2

=k(3k+1)2+3k+2

=3k2+k+6k+42

=3k2+7k+42 =(k+1)(3k+4)2 =(k+1)(3k+3+1)2 =(k+1)[3(k+1)+1]2

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi nN

b. Với n=1, vế trái bằng 12, vế phải bằng 12, do đó hệ thức đúng với n=1.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức b) đúng với n=k1, tức là

Sk=12+14+18+...+12k =2k12k

Ta phải chứng minh Sk+1=2k+112k+1.

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Sk+1=12+14+18+...+12k+12k+1

=Sk+12k+1

=2k12k+12k+1 =2(2k1)+12k+1 =2k+12+12k+1=2k+112k+1

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi nN

c. Với n=1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1)6=1 nên hệ thức c) đúng với n=1.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức c) đúng với n=k1, tức là

Sk=12+22+32+...+k2 =k(k+1)(2k+1)6

Ta phải chứng minh Sk+1=(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)6

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 

Sk+1=12+22+32+...+k2+(k+1)2

=Sk+(k+1)2

=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2

=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]6=(k+1)(2k2+k+6k+6)6=(k+1)(2k2+7k+6)6=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)(k+2)(2k+2+1)6=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]6

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi  nN.

Bài 2 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng với nN ta luôn có:
a. n3+3n2+5n chia hết cho 3;

b. 4n+15n1 chia hết cho 9

c. n3+11n chia hết cho 6.

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến n=k1 (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến n=k+1.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi nN.

Lời giải:

a. Đặt Sn=n3+3n2+5n

Với n=1 thì S1=13+3.12+5.1=9 chia hết cho 3

Giả sử với n=k1Sk=(k3+3k2+5k) 3

Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3

Thật vậy :

Sk+1=(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1)

=k3+3k2+3k+1+3k2+6k+3+5k+5

=(k3+3k2+5k)+3k2+9k+9

=Sk+3(k2+3k+3)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk  3

Mà 3(k2+3k+3) 3 nên Sk+1 3.

Vậy n3+3n2+5n chia hết cho 3 với mọi nN.

Cách khác:

Chứng minh trực tiếp.

Ta có:

n3+3n2+5n=n.(n2+3n+5)=n.(n2+3n+2+3)=n.(n2+3n+2)+3n=n.(n+1)(n+2)+3n.

Mà: n(n+1)(n+2)3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

và 3n3

n3+3n2+5n=n(n+1)(n+2)+3n3.

Vậy n3+3n2+5n chia hết cho 3 với mọi nN

b. Đặt Sn=4n+15n1

Với n=1,S1=41+15.11=18 nên S1 9

Giả sử với n=k1 thì Sk=4k+15k1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh Sk+1 9.

Thật vậy, ta có:

Sk+1=4k+1+15(k+1)1 

=4.4k+15k+151

=4.4k+15k+14

=4.4k+60k45k+184

=(4.4k+60k4)45k+18

=4(4k+15k1)45k+18

=4Sk9(5k2)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9  nên 4Sk9

Mặt khác 9(5k2) 9, nên Sk+19

Vậy (4n+15n1) 9 với mọi nN

c. Đặt Sn=n3+11n

Với n=1, ta có S1=13+11.1=12 nên S1  6

Giả sử với n=k1 , Sk=k3+11k chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh Sk+1 6

Thật vậy, ta có 

Sk+1=(k+1)3+11(k+1)

=k3+3k2+3k+1+11k+11

=(k3+11k)+(3k2+3k+12)

=(k3+11k)+3(k2+k+4)

=Sk+3(k2+k+4)

Theo giả thiết quy nạp thì  Sk 6, mặt khác k2+k+4=k(k+1)+4 là số chẵn nên 3(k2+k+4)  6, do đó Sk+1 6

Vậy n3+11n chia hết cho 6 với mọi nN.

Cách khác:

Chứng minh trực tiếp.

Ta có: 

n3+11n=n3n+12n=n(n21)+12n=n(n1)(n+1)+12n.

Vì n(n1)(n+1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

n(n1)(n+1)6

Lại có: 12n6

n3+11n=n(n1)(n+1)+12n6.

Bài 3 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2, ta có các bất đẳng thức:
a. 3n>3n + 1
b. 2n+1>2n + 3
Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n=2.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến n=k2 (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến n=k+1.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi nN.

Lời giải:
a. Với n=2 ta có: 32=9>7=3.2+1 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k2, tức là

3k>3k+1         (1).

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1, tức là cần chứng minh: 3k+1>3(k+1)+1=3k+4

Nhân hai vế của (1) với 3, ta được:

3k+1>9k+3

3k+1>3k+4+6k1

Vì k26k111>0 nên 3k+1>3k+4+11>3k+4=3(k+1)+1).

Tức là bất đẳng thức đúng với n=k+1.

Vậy 3n>3n+1  với mọi số tự nhiên n2.

b. Với n=2 thì 22+1=8>7=2.2+3 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k2, tức là

2k+1>2k+3          (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n=k+1, nghĩa là phải chứng minh

2k+2>2(k+1)+3

2k+2>2k+5

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:

2k+2>4k+6

2k+2>2k+5+2k+1

Vì k22k+1>0 nên 2k+2>2k+5.

Tức là bất đẳng thức đúng với n=k+1.

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức 2n+1>2n+3 đúng với mọi số tự nhiên n2.

Cách khác:

+ Với n=2 thì bất đẳng thức 8>7 (luôn đúng).

+ Giả sử bđt đúng khi n=k2, nghĩa là 2k+1>2k+3.

Ta chứng minh đúng với n=k+1 tức là chứng minh: 2k+2>2(k+1)+3.

Thật vậy, ta có:

2k+2=2.2k+1>2.(2k+3)=4k+6=2k+2+2k+4.>2k+2+3=2.(k+1)+3

(Vì 2k+4>3 với mọi k2)

(2) đúng với n=k+1.

Vậy 2n+1>2n+3 với mọi n2.

Bài 4 trang 83 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho tổng Sn=11.2+12.3+...+1n(n+1) với nN.
a. Tính S1,S2,S3
b. Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.
a.
Phương pháp giải:
Tính các giá trị S1;S2;S3 bằng cách thay lần lượt n=1;n=2;n=3.
Lời giải:

Ta có:

S1=11.2=12S2=11.2+12.3=23S3=11.2+12.3+13.4=34

b.
Phương pháp giải:

Dựa vào các giá trị S1;S2;S3 tính được ở trên, dự đoán tổng Sn.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

Từ câu a) ta dự đoán Sn=nn+1(1), với mọi nN

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n=1, vế trái là S1=12 vế phải bằng 11+1=12.

Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n1, tức là 

Sk=11.2+12.3+...+1k(k+1)=kk+1

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1, nghĩa là phải chứng minh: Sk+1=k+1k+2

Ta có :

Sk+1=Sk+1(k+1)(k+2)=kk+1+1(k+1)(k+2)

=k(k+2)+1(k+1)(k+2) =k2+2k+1(k+1)(k+2)

=(k+1)2(k+1)(k+2) =k+1k+2

tức là đẳng thức (1) đúng với n=k+1.

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Chú ý:

Một cách dự đoán khác các em có thể tham khảo thêm như sau:

S1=11.2=1112=112S2=11.2+12.3=(1112)+(1213)=113S3=11.2+12.3+13.4=(1112)+(1213)+(1314)=114

Dự đoán: Sn=11n+1 (1)

Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp

+ Với n=1 thì (1) đúng.

+ Giả sử (1) đúng với n=k, tức là

Sk=11.2+12.3+...+1k(k+1)=11k+1

Khi đó,

(1)đúng với n=k+1,do đó đúng nN.

Bài 5 trang 83 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n3)2
Phương pháp giải:

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi nNn4.

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải:

Kí hiệu số đường chéo của đa giác n cạnh là Cn.

Ta chứng minh Cn=n(n3)2 (1) với mọi nNn4.

*) Với n=4, ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.

Mặt khác 4(43)2=2 nên (1) đúng với n=4.

Vậy khẳng định đúng với n=4.

*) Giả sử (1) đúng với n=k4, tức là Ck=k(k3)2

*) Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1.
Tức là Ck+1=(k+1)((k+1)3)2
Xét đa giác lồi k+1 cạnh
Đa giác k cạnh A1A2...Ak có k(k3)2 đường chéo (giả thiết quy nạp).
Nối Ak+1 với các đỉnh A2,...,Ak1, ta được thêm k2 đường chéo.
Ngoài ra A1Ak cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác k+1 cạnh là

k(k3)2+k2+1

=k23k2+k1

=k23k+2k22

=k2k22

=(k+1)(k2)2

=(k+1)((k+1)3)2

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k+1 cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Chú ý:

Trên đây là cách chứng minh bằng quy nạp, các em có thể dễ dàng chứng minhcông thức đó bằng kiến thức chương 2 như sau:

Cách 2: Đa giác lồi n cạnh có n đỉnh.

Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác.

⇒ Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng:

Cn2=n!2!(n2)!=n(n1)(n2)!2(n2)!=n(n1)2

⇒ Số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:

n(n1)2n=n2n2n2=n23n2=n(n3)2

Vậy ta có đpcm.

Lý thuyết Bài Phương pháp quy nạp toán học

1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n ε N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau

Bài toán

Phương pháp quy nạp toán học

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n=1.

- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n=k1, chứng minh P(n) cũng đúng khi n=k+1.

Chú ý:

Đối với bài toán chứng minh P(n) đúng với mọi np với p là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n=p.

- Bước 2: Với kp là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n=k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n=k+1.

Ví dụ: Chứng minh n7n chia hết cho 7 với mọi nN.

Giải:

Đặt P(n)=n7n.

- Với n=1 thì P(1)=171=07 nên P(1) đúng.

- Giả sử mệnh đề đúng với n=kN, tức là P(k)=(k7k)7.

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1, tức là: P(k+1)=(k+1)7(k+1)7

Ta có: (k+1)7(k+1) =C70.k7+C71.k6+C72.k5+C73.k4 +C74.k3+C75.k2+C76.k+C77(k+1)

=k7+7k6+21k5+35k4+35k3 +21k2+7k+1k1 =(k7k)+7(k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k)

Do (k7k)7 và 7(k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k)7 nên P(k+1)=(k+1)7(k+1)7.

Vậy mệnh đề đã cho đúng.