Giải Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

62 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Cấp số cộng lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 93 sgk Đại số và Giải tích 11: Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là -1, 3, 7, 11.

Từ đó hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy theo quy luật đó.

Phương pháp giải:

Quan sát dãy số đã cho, lấy số sau trừ cho số trước và tìm quy luật.

Lời giải:

Ta có:

3 = -1 + 4

7 = 3 + 4

11 = 7 + 4

Quy luật: kể từ số thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4.

Năm số hạng tiếp của dãy theo quy luật đó là: 15; 19; 23; 27; 31.

Trả lời hoạt động 2 trang 93 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho (u_n) là một cấp số cộng có sáu số hạng với

u_{1} = \frac{- 1}{3}, d = 3

. Viết dạng khai triển của nó.

Phương pháp giải:

Tính từ số hạng của CSC và kết luận.

Sử dụng công thức $u_{n + 1} = u_{n} + d$

Lời giải:

Ta có:

$u_{6} = u_{5} + d = u_{5} + 3$ $= \frac{35}{3} + 3 = \frac{44}{3}$

Dạng khai triển của cấp số cộng đó là: $\frac{- 1}{3}; \frac{8}{3}; \frac{17}{3}; \frac{26}{3}; \frac{35}{3}; \frac{44}{3}$

Trả lời hoạt động 3 trang 94 sgk Đại số và Giải tích 11: Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện trên Hình 42.

Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?

Lời giải:

Xây 1 tầng cần 2 que diêm để xếp tầng đế

Xây 2 tầng cần 4 que diêm để xếp tầng đế (4 = 2 + 1.2)

Xây 3 tầng cần 6 que diêm để xếp tầng đế (6 = 2 + 2.2)

Xây 100 tầng cần 200 que diêm để xếp tầng đế (200 = 2 + 99.2)

Trả lời hoạt động 4 trang 96 sgk Đại số và Giải tích 11:

Cấp số cộng gồm tám số hạng -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 được viết vào bảng sau:

-1	3	7	11	15	19	23	27

a. Hãy chép lại bảng trên và viết các số hàn của cấp số đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột.

b. Tính tổng các số hạng của cấp số cộng

Lời giải:

Tổng các số hạng từng cột bằng nhau và bằng 26

b. Tổng các số hạng của cấp số cộng là: $\frac{26.8}{2} = 104$

Bài tập (trang 97, 98 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 97 sgk Đại số và Giải tích 11: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:

a. u_n=5−2n

b. u_n=

\frac{n}{2}

−1

c.u_n=3ⁿ

u_{n} = \frac{7 - 3 n}{2}

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa cấp số cộng:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Ta chứng minh $u_{n + 1} - u_{n} = c o n s t$ .

Lời giải:

a. Ta có:

u_{1} = 5 - 2.1 = 3

Với mọi $n \in N^{*}$ ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = 5 - 2 (n + 1) - (5 - 2 n)$

$= 5 - 2 n - 2 - 5 + 2 n = - 2$

$\Rightarrow u_{n + 1} = u_{n} - 2, \forall n \in N^{*}$

Vậy dãy số là cấp số cộng có

u_{1} = 3

và công sai

d = - 2

b. Ta có:

u_{1} = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}

Với mọi

n \in N^{*}

ta có:

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{2} - 1 - (\frac{n}{2} - 1)

= \frac{n + 1}{2} - 1 - \frac{n}{2} + 1 = \frac{n + 1 - n}{2}

= \frac{1}{2}

\Rightarrow u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{2}, \forall n \in N^{*}

Vậy dãy số là cấp số cộng với

u_{1} = - \frac{1}{2}

và

d = \frac{1}{2}

d. Ta có:

u_{n + 1} - u_{n} = 3^{n + 1} - 3^{n}

= 3^{n} (3 - 1) = {2.3}^{n}

không là hằng số (phụ thuộc

n

Vậy dãy số không phải là cấp số cộng.

Chú ý:

Cách giải thích khác:

$u_{n} = 3^{n} \Rightarrow u_{1} = 3$

giả sử $n \geq 1$ , xét hiệu sau:

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} = 3^{n + 1} - 3^{n} = 3^{n} . 3 - 3^{n} = (3 - 1) {.3}^{n} = {2.3}^{n} \\ Và u_{n} - u_{n - 1} = 3^{n} - 3^{n - 1} = {3.3}^{n - 1} - 3^{n - 1} = (3 - 1) {.3}^{n - 1} = {2.3}^{n - 1} \\ \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} \neq u_{n} - u_{n - - 1} (Vì 3^{n} \neq 3^{n - 1}, \forall n) \end{array}$

$\Rightarrow (u_{n})$ không phải là cấp số cộng

Bài 2 trang 97 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

\{\begin{cases} u_{1} - u_{3} + u_{5} = 10 \\ u_{1} + u_{6} = 17 \end{cases}

\{\begin{cases} u_{7} - u_{3} = 8 \\ u_{2} . u_{7} = 75 \end{cases}

Phương pháp giải: Sử dụng công thức SHTQ: u_n=u₁+(n–1)d
Lời giải:

a. Ta có :

$\begin{array}{l} u_{3} = u_{1} + 2 d; \\ u_{5} = u_{1} + 4 d; \\ u_{6} = u_{1} + 5 d \end{array}$

Theo đề bài ta có :

$\begin{array}{l} {\begin{cases} u_{1} - u_{3} + u_{5} = 10 \\ u_{1} + u_{6} = 17 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} - (u_{1} + 2 d) + u_{1} + 4 d = 10 \\ u_{1} + u_{1} + 5 d = 17 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} + 2 d = 10 \\ 2 u_{1} + 5 d = 17 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} = 16 \\ d = - 3 \end{cases} \end{array}$

b. Ta có: $u_{7} = u_{1} + 6 d; u_{3} = u_{1} + 2 d; u_{2} = u_{1} + d$

Do đó theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} u_{7} - u_{3} = 8 \\ u_{2} . u_{7} = 75 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} + 6 d - u_{1} - 2 d = 8 \\ (u_{1} + d) (u_{1} + 6 d) = 75 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 4 d = 8 \\ (u_{1} + d) (u_{1} + 6 d) = 75 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} d = 2 \\ (u_{1} + 2) (u_{1} + 12) = 75 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} d = 2 \\ u_{1}^{2} + 14 u_{1} + 24 = 75 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} d = 2 \\ u_{1}^{2} + 14 u_{1} - 51 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} d = 2 \\ [\begin{array}{l} u_{1} = 3 \\ u_{1} = - 17 \end{array} \end{cases} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{cases} d = 2 \\ u_{1} = 3 \end{cases} \\ {\begin{cases} d = 2 \\ u_{1} = - 17 \end{cases} \end{array}$

Bài 3 trang 97 sgk Đại số và Giải tích 11:Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u₁, n, d, u_n, S_n.

a. Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

b. Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:

	d		n
-2		55	20
	-4		15	120
3		7
		17	12	72
2	-5			-205

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

$\begin{array}{l} u_{n} = u_{1} + (n - 1) d \\ S_{n} = n u_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d \end{array}$

Lời giải:

a. Ta có:

$\begin{array}{l} u_{n} = u_{1} + (n - 1) . d \\ \Rightarrow n = \frac{u_{n} - u_{1}}{d} + 1; d = \frac{u_{n} - u_{1}}{n - 1} \\ S_{n} = n . u_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} . d \Rightarrow u_{1} = \frac{2. S_{n} - n (n - 1) . d}{2 n} \\ S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2} \Rightarrow u_{1} = \frac{2. S_{n} - n . u_{n}}{n} \end{array}$

Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.

b. Dòng đầu: Biết $u_{1} = - 2; u_{20} = 55$ . Tìm d và $S_{20}$ .

Ta có $u_{20} = u_{1} + 19 d$

$\Leftrightarrow 55 = - 2 + 19 d \Leftrightarrow d = 3$

$S_{20} = \frac{20 (u_{1} + u_{20})}{2}$ $= \frac{20. (- 2 + 55)}{2} = 530$

Dòng 2: Biết $d = - 4; S_{15} = 120$ , tìm $u_{1}$ và $u_{15}$ .

Ta có $S_{15} = 15 u_{1} + \frac{15. (15 - 1)}{2} . d$

$\Leftrightarrow 120 = 15. u_{1} + 105. (- 4)$

$\Leftrightarrow 15 u_{1} = 540 \Leftrightarrow u_{1} = 36$

$\Rightarrow u_{15} = u_{1} + 14 d = 36 + 14. (- 4) = - 20$

Dòng 3: Biết $u_{1} = 3; d = \frac{4}{27}; u_{n} = 7$ . Tìm n và tính $S_{n}$ .

Ta có $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$

$\Leftrightarrow 7 = 3 + (n - 1) . \frac{4}{27} \Leftrightarrow n = 28$

$S_{28} = 28 u_{1} + \frac{28. (28 - 1)}{2} . d$

$= 28.3 + 378. \frac{4}{27} = 140$

Dòng 4: Biết $u_{12} = 17$ và $S_{12} = 72$ . Tìm $u_{1}$ và $d$ .

$\begin{array}{l} S_{12} = \frac{12 (u_{1} + u_{12})}{2} \\ \Leftrightarrow 72 = \frac{12 (u_{1} + 17)}{2} \\ \Leftrightarrow u_{1} + 17 = 12 \\ \Leftrightarrow u_{1} = - 5 \\ u_{12} = u_{1} + 11 d \\ \Leftrightarrow 17 = - 5 + 11 d \\ \Leftrightarrow 22 = 11 d \Leftrightarrow d = 2 \end{array}$

Dòng 5: Biết $u_{1} = 2; d = - 5$ và $S_{n} = - 205$ . Tìm n và tính $u_{n}$ .

Ta có

$\begin{array}{l} S_{n} = n u_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d \\ \Leftrightarrow - 205 = n .2 + \frac{n (n - 1)}{2} . (- 5) \\ \Leftrightarrow - 410 = 4 n - 5 n (n - 1) \\ \Leftrightarrow 5 n^{2} - 9 n - 410 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 10 \\ n = - \frac{41}{5} (l o a i) \end{array} \\ \Rightarrow n = 10 \\ \Rightarrow u_{10} = u_{1} + 9 d \\ = 2 + 9. (- 5) = - 43 \end{array}$

Vậy ta điền được bảng như sau :

$u_{1}$	d	$u_{n}$	n	$S_{n}$
-2	3	55	20	530
36	-4	-20	15	120
3	$\frac{4}{27}$	7	28	140
-5	2	17	12	72
2	-5	-43	10	-205

Bài 4 trang 98 sgk Đại số và Giải tích 11: Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm.

a. Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.

b. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Phương pháp giải:

Đây là một bài toán cấp số cộng.

- Xác định số hạng thứ nhất $u_{1}$ .

- Xác định công sai $d$ .

Sử dụng công thức số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$

Lời giải:

Đổi: $18 c m = 0, 18 m$

Gọi $u_{i}$ là độ cao từ bậc thứ $i$ (của cầu thang) so với mặt sân.

Vì mỗi bậc cao $0, 18 m,$ sàn nhà lại cao hơn mặt sân $0, 5 m$ nên bậc đầu tiên sẽ cao hơn so với mặt sân là:

$0, 18 + 0, 5 = 0, 68 (m)$ hay $u_{1} = 0, 68$

Từ các bậc sau thì: bậc sau cao hơn bậc ngay trước $0, 18 m$ , nên độ cao so với mặt sân của hai bậc liên tiếp cũng hơn kém nhau $0, 18 m$ . Hay $u_{n + 1} = u_{n} + 0, 18; 21 \geq n \geq 1$

Do đó, độ cao từ các bậc so với mặt sân, từ bậc 1 đến bậc 21 tạo thành một CSC với $u_{1} = 0, 68$ và công sai $d = 0, 18$

Vậy độ cao từ bậc thứ $n$ so với mặt sân là: $u_{n} = 0, 68 + (n - 1) .0, 18 = 0, 5 + n .0, 18.$

Phương pháp giải:

+) độ cao mặt sàn tầng hai tương ứng với bậc nào của cầu thang?

+) áp dụng câu a), tính độ cao từ bậc đó so với mặt sân.

Lời giải:

Vì mặt sàn tầng hai có cùng độ cao với bậc thứ 21 (bậc cao nhất) của cầu thang.

Nên chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân cũng là độ cao từ bậc thứ 21 so với mặt sân (được kí hiệu là u_21 ở câu a)

Vậy chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là $u_{21} = 0, 5 + 21.0, 18 = 4, 28 (m)$ .

Bài 5 trang 98 sgk Đại số và Giải tích 11: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ.

Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính tổng của cấp số cộng: $S_{n} = \frac{(u_{1} + u_{n}) n}{2}$
Lời giải:

Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.

Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông

......

Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông.

Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:

$S = 1 + 2 + 3 + . . . . + 12$ .

Đây là tổng của $12$ số hạng của cấp số cộng có $u_{1} = 1, u_{12} = 12$ .

Do đó áp dụng công thức tính tổng của cấp số cộng ta có $S = \frac{(1 + 12) .12}{2} = 78$ .

Vậy đồng hồ đánh $78$ tiếng chuông.

Lý thuyết Bài Cấp số cộng

1. Định nghĩa

Dãy số $u_{n}$ là một cấp số cộng nếu $u_{n + 1} = u_{n} + d$ với mọi $n \in N^{*}$ , $d$ là hằng số.

$d = u_{n + 1} - u_{n}$ được gọi là công sai.

* $d = 0$ : CSC là một dãy số không đổi.

Ví dụ:

Dãy số $3; 6; 9; 12; 15$ là một cấp số cộng vì:

$\begin{array}{l} 6 = 3 + 3 \\ 9 = 6 + 3 \\ 12 = 9 + 3 \\ 15 = 12 + 3 \end{array}$

Đây là CSC có công sai $d = 3$ và số hạng đầu $u_{1} = 3$ .

2. Số hạng tổng quát

Kí hiệu: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d, (n \geq 2)$ . (n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1)

Như vậy công sai còn có thể tính bởi công thức: $d = \frac{u_{n} - u_{1}}{n - 1}$ .

Ví dụ:

Cho CSC $(u_{n})$ biết $u_{1} = - 1, d = 3$ . Tìm $u_{20}$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} u_{20} = u_{1} + (20 - 1) d \\ = u_{1} + 19 d \\ = - 1 + 19.3 \\ = 56 \end{array}$

3. Tính chất

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$ với $k \geq 2$ hay $u_{k + 1} + u_{k - 1} = 2 u_{k}$

Ví dụ:

Cho ba số $3; x; 9$ theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm $x .$

Ta có: $x = \frac{3 + 9}{2} = 6$ .

Vậy $x = 6$ .

4. Tổng $n$ số hạng đầu

+) Thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng: $S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2}$ , với $n \in N^{*}$

+) Thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:

$S_{n} = n u_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d$

$S_{n} = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2}$

Ví dụ:

Cho CSC $(u_{n})$ thỏa mãn $u_{1} = - 1, d = 3$ . Tính $S_{20} .$

Ta có:

$\begin{array}{l} S_{20} = 20 u_{1} + \frac{20. (20 - 1)}{2} . d \\ = 20. (- 1) + \frac{20.19}{2} .3 \\ = 550 \end{array}$

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán Học Lớp 11

Giải Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Xem thêm các chương trình khác: