Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp lớp 11.
Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
Ghép 3 chữ số lần lượt tạo thành các số có 3 chữ số.
Lời giải:
Các số có 3 chữ số lập được từ 3 chữ số 1,2,3 là:
123; 132; 213; 231; 312; 321
Mỗi cách sắp xếp 10 người thành một hàng dọc cũng là một kết quả của sự sắp xếp thứ tự 10 phần tử của tập hợp. Trong đó tập hợp là tiểu đội và mỗi người là một phần tử.
Như vậy số cách sắp xếp chính là số các hoàn vị của 10 phần tử, là: 10! = 3628800 (cách)
Lấy hai điểm bất kì trong số 4 điểm đã cho, một điểm làm gốc, một điểm làm ngọn sẽ được một véc tơ.
Chú ý: Véc tơ có phân biệt điểm đầu và điểm cuối.
Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n (với n là số phần tử của A)
Lời giải:
Các tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A (hay các tập hợp con có 3 phần tử của A) là:
{1,2,3};{1,2,4};{1,2,5};{1,3,4};{1,3,5};{1,4,5};{2,3,4};{2,3,5};{2,4,5};{3,4,5}
Các tổ hợp chập 4 của 5 phần tử của A (hay các tập hợp con có 4 phần tử của A) là:
{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,3,4,5},{1,2,4,5},{2,3,4,5}
Để hai đội bất kì gặp nhau đúng một lần, tức là trong số 16 đội mỗi trận sẽ lấy 2 đội bất kì, và mỗi lần lấy có ít nhất 1 đội khác với các lần khác. Nói cách khác, số trận đấu chính là số tập hợp con gồm 2 phần tử của tâp hợp gồm 16 phần tử .
Số trận đấu là số tổ hợp chập 2 của 16 phần tử:
Cách 1: Mỗi số tự nhiên có chữ số khác nhau lập từ 6 chữ số đã cho, tương ứng với một cách sắp xếp thứ tự 6 chữ số đó hay còn gọi là một hoán vị của phần tử:
Vậy có (số).
Cách 2: Ta sử dung quy tắc nhân
Số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng , Vì lập từ 6 chữ số cho trước nên và đôi một khác nhau do
+) có cách.
+) nên có 5 cách chọn (trừ đi 1 số đã chọn là a)
+) nên có 4 cách chọn. (trừ đi 2 số đã chọn là a,b)
+) nên có 3 cách chọn.(trừ đi 3 số đã chọn là a,b,c)
+) nên có 2 cách chọn. (trừ đi 4 số đã chọn là a,b,c,d)
+) nên có 1 cách chọn. (trừ đi 5 số đã chọn là a,b,c,d,e)
Vậy theo quy tắc nhân ta có 6.5.4.3.2.1 = 720 số
Gọi số tự nhiên chẵn cần lập có dạng , với .
+) Số tự nhiên đó là số chẵn khi chia hết cho 2.
+) Số tự nhiên đó là số lẻ khi không chia hết cho 2.
Số tự nhiên chẵn cần lập có dạng , với , có kể đến thứ tự, chia hết cho .
+) chia hết cho nên có cách.
+) nên có 5 cách chọn.
+) nên có 4 cách chọn.
+) nên có 3 cách chọn.
+) nên có 2 cách chọn.
+) nên có 1 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.4.3.2.1 = 360 số tự nhiên chẵn.
Do đó có: 720-360 = 360 số tự nhiên lẻ.
Cách khác:
+) Chọn có 3 cách chọn
+) 5 chữ số còn lại có 5! = 120 cách sắp xếp thứ tự.
Theo quy tắc nhân có (số).
c.
Số có chữ số mà nhỏ hơn thì chữ số hàng trăm nghìn phải nhỏ hơn hoặc bằng .
Ta lần lượt xét các trường hợp: và
Gọi số tự nhiên cần lập có dạng , .
Xét các trường hợp:
- TH1: .
+) Nếu thì là các số còn lại . khi đó số lập được sẽ lớn hơn
+) nên , có cách chọn .
Số cách chọn là số hoán vị của chữ số còn lại nên có cách.
Do đó có số.
- TH2: .
+) Có cách chọn .
+) nên , có cách chọn .
Số cách chọn là số hoán vị của chữ số nên có cách.
Do đó có số.
- TH3: .
Vì nên và có cách chọn .
Số cách chọn các chữ số là số hoán vị của chữ số còn lại nên có cách.
Do đó có số.
Vậy có số.
Mỗi cách sắp xếp tương ứng với kết quả của sự sắp xếp thứ tự 10 phần tử của tập hợp, hay gọi là một hoán vị của 10 phần tử đó.
Lời giải:
Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho người khách vào một dãy ghế là một hoán vị của người.
Suy ra số các cách để xếp chỗ ngồi cho người khách vào một dãy ghế là:
(cách)
Mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là một cách chọn 3 bông hoa từ 7 bông và sắp thứ tự cho chúng (theo thứ tự của ba lọ).
Do đó mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là một chỉnh hợp chập của bông hoa.
Vậy số cách cắm hoa là: (cách).
Để mắc nối tiếp bóng đèn được chọn từ bóng đèn khác nhau, ta cần chọn ra 4 trong số 6 bóng và sắp sếp theo một thứ tự nào đó để mắc nối tiếp chung (do các bóng đèn đều khác nhau)
Nên số cách mắc sẽ là số chỉnh hợp chập của bóng đèn đã cho, bằng: (cách).
a. Các bông hoa khác nhau?
b. Các bông hoa như nhau?
a.
Đánh số thứ tự cho bông hoa.
Mỗi cách cắm hoa là một cách chọn ra lọ và sắp thứ tự cho chúng nên mỗi cách cắm là một chỉnh hợp chập của lọ.
(Vì các bông hoa khác nhau nên mỗi cách sắp xếp cho ta 1 kết quả khác nhau)
Vậy số cách cắm bông hoa vào 5 lọ là: (cách).
b.
Vì 3 bông hoa là như nhau, nên mỗi cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) là một cách chọn ra một tập hợp 3 phần tử (không phân biệt thứ tự) từ 5 lọ.
Việc cắm 3 bông hoa giống nhau vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa để cắm và chính là kết quả của tổ hợp chập 3 của 5.
(Vì các bông hoa giống nhau nên sắp xếp các lọ theo cách nào cũng đều cho cùng một kết quả).
Vậy có (cách).
Cứ ba điểm phân biệt không thẳng hàng thì xác định một tam giác.
Do đó mỗi tập con gồm điểm (không phân biệt thứ tự) của tập hợp điểm đã cho xác định duy nhất một tam giác.
Vậy số tam giác chính bằng số tổ hợp chập 3 của 6, là: (tam giác)
Một hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường thẳng song song và 2 đường vuông góc bất kì trong các đường đã cho.
+) Chọn đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm đường thẳng song song đã cho.
+) Chọn đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm đường thẳng đã cho, vuông góc với đường thẳng song song.
Sau đó sử dụng quy tắc nhân.
Ta thấy: Một hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường song song và 2 đường vuông góc bất kì.
+) Chọn đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm đường thẳng song song đã cho có (cách)
+) Chọn đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm đường thẳng đã cho, vuông góc với đường thẳng song song có (cách).
Vậy theo quy tắc nhân có (cách) hay hình chữ nhật.
Lý thuyết Bài Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
1. Hoán vị
Cho phần tử khác nhau (). Mỗi cách sắp thứ tự của phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của phần tử đó.
Định lí
Số các hoán vị của phần tử khác nhau đã cho () được kí hiệu là và bằng:
Ví dụ:
Tính số cách xếp bạn học sinh thành một hàng dọc.
Hướng dẫn:
Mỗi cách xếp bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của phần tử.
Vậy số cách xếp bạn học sinh thành một hàng dọc là .
2. Chỉnh hợp
Định nghĩa
Cho tập hợp gồm phần tử .
Kết quả của việc lấy phần tử khác nhau từ phần tử của tập hợp và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập của phần tử đã cho.
Chú ý
Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập của phần tử đó.
Định lí
Số chỉnh hợp chập của phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là và bằng
Với quy ước .
Ví dụ:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số ?
Hướng dẫn:
Mỗi số tự nhiên gồm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy chữ số từ tập và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.
Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập của phần tử.
Vậy số các số cần tìm là số.
3. Tổ hợp
Định nghĩa
Cho phần tử khác nhau (). Mỗi tập con gồm phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp phần tử đã cho () được gọi là một tổ hợp chập của phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).
Định lí
Số các tổ hợp chập của phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là và bằng
= , ()
Ví dụ:
Một bàn học sinh có nam và nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra bạn để làm trực nhật?
Hướng dẫn:
Mỗi cách chọn ra bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập của phần tử.
Vậy số cách chọn là: (cách)
Định lí
Với mọi , ta có:
a)
b) = .
4. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Phương pháp chung:
- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.
- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.
Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Phương pháp chung:
- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.
- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.
