Giải Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời hoạt động 1 trang 47 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3.
Phương pháp giải: 

Ghép 3 chữ số lần lượt tạo thành các số có 3 chữ số.

Lời giải:

Các số có 3 chữ số lập được từ 3 chữ số 1,2,3 là:

123; 132; 213; 231; 312; 321

Trả lời hoạt động 2 trang 49 sgk Đại số và Giải tích 11: Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Lời giải:

Mỗi cách sắp xếp 10 người thành một hàng dọc cũng là một kết quả của sự sắp xếp thứ tự 10 phần tử của tập hợp. Trong đó tập hợp là tiểu đội và mỗi người là một phần tử.

Như vậy số cách sắp xếp chính là số các hoàn vị của 10 phần tử, là: 10! = 3628800 (cách)

Trả lời hoạt động 3 trang 51 sgk Đại số và Giải tích 11: Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Liệt kê tất cả các vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho.
Phương pháp giải:

Lấy hai điểm bất kì trong số 4 điểm đã cho, một điểm làm gốc, một điểm làm ngọn sẽ được một véc tơ.

Chú ý: Véc tơ có phân biệt điểm đầu và điểm cuối.

Lời giải:
AB;AC;AD;BA;BC;BD; CA;CB;CD;DA;DB;DC
Trả lời hoạt động 4 trang 52 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Hãy liệt kê các tổ hợp chập 3, chập 4 của 5 phần tử của A.
Phương pháp giải:

Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n (với n là số phần tử của A)

Lời giải:

Các tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A (hay các tập hợp con có 3 phần tử của A) là:

{1,2,3};{1,2,4};{1,2,5};{1,3,4};{1,3,5};{1,4,5};{2,3,4};{2,3,5};{2,4,5};{3,4,5}

Các tổ hợp chập 4 của 5 phần tử của A (hay các tập hợp con có 4 phần tử của A) là:

{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,3,4,5},{1,2,4,5},{2,3,4,5}

Trả lời hoạt động 5 trang 52 sgk Đại số và Giải tích 11: Có 16 đội bóng đá tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần?
Lời giải: 

Để hai đội bất kì gặp nhau đúng một lần, tức là trong số 16 đội mỗi trận sẽ lấy 2 đội bất kì, và mỗi lần lấy có ít nhất 1 đội khác với các lần khác. Nói cách khác, số trận đấu chính là số tập hợp con gồm 2 phần tử của tâp hợp gồm 16 phần tử .

Số trận đấu là số tổ hợp chập 2 của 16 phần tử:

 C162=16!2!(162)!=16!2!.14!=15.162=120 (trận)
Bài tập (trang 54,55 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 54 sgk Đại số và Giải tích 11: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Có tất cả bao nhiêu số?
b. Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
c. Có bao nhiêu số bé hơn 432000?
a.
Phương pháp giải:
Sử dụng hoán vị 6 phần tử.
Lời giải:

Cách 1: Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập từ 6 chữ số đã cho, tương ứng với một cách sắp xếp thứ tự 6 chữ số đó hay còn gọi là một hoán vị của 6 phần tử:

Vậy có P6=6!=720 (số).

Cách 2: Ta sử dung quy tắc nhân

Số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng abcdef¯, Vì lập từ 6 chữ số cho trước nên a,b,c,d,e,f {1,2,3,4,5,6}và a,b,c,d,e,f đôi một khác nhau do 

+) a  có 6 cách.

+) ba nên có 5 cách chọn (trừ đi 1 số đã chọn là a)

+) cb,a nên có 4 cách chọn. (trừ đi 2 số đã chọn là a,b)

+) dc,b,a nên có 3 cách chọn.(trừ đi 3 số đã chọn là a,b,c)

+) ed,c,b,a nên có 2 cách chọn. (trừ đi 4 số đã chọn là a,b,c,d)

+) fe,d,c,b,a nên có 1 cách chọn. (trừ đi 5 số đã chọn là a,b,c,d,e)

Vậy theo quy tắc nhân ta có 6.5.4.3.2.1 = 720 số 

b. 
Phương pháp giải:

Gọi số tự nhiên chẵn cần lập có dạng abcdef¯, với a,b,c,d,e,f {1,2,3,4,5,6}.

+) Số tự nhiên đó là số chẵn khi f chia hết cho 2.

+) Số tự nhiên đó là số lẻ khi f không chia hết cho 2.

Lời giải:

Số tự nhiên chẵn cần lập có dạng abcdef¯, với a,b,c,d,e,f {1,2,3,4,5,6}, có kể đến thứ tự, f chia hết cho 2.

+) f chia hết cho 2 nên f{2;4;6} có 3 cách.

+) ef nên có 5 cách chọn.

+) de,f nên có 4 cách chọn.

+) cf,e,d nên có 3 cách chọn.

+) bf,e,d,c nên có 2 cách chọn.

+) af,e,d,c,b nên có 1 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.4.3.2.1 = 360 số tự nhiên chẵn.

Do đó có: 720-360 = 360 số tự nhiên lẻ.

Cách khác:

+) Chọn f có 3 cách chọn

+) 5 chữ số còn lại có 5! = 120 cách sắp xếp thứ tự.

Theo quy tắc nhân có 3.5!=360 (số).

c. 

Phương pháp giải:

Số có 6 chữ số mà nhỏ hơn 432000 thì chữ số hàng trăm nghìn phải nhỏ hơn hoặc bằng 4.

Ta lần lượt xét các trường hợp: a=4 và a<4

Lời giải: 

Gọi số tự nhiên cần lập có dạng abcdef¯a,b,c,d,e,f{1;2;...;6}.

Xét các trường hợp:

- TH1: a=4,b=3.

+) Nếu c=2 thì d,e,f là các số còn lại 1,5,6. khi đó số lập được sẽ lớn hơn 432000

+) c<2 nên c=1, có 1 cách chọn c.

Số cách chọn d,e,f là số hoán vị của 3 chữ số còn lại nên có 3! cách.

Do đó có 1.1.1.3!=6 số.

- TH2: a=4,b<3.

+) Có 1 cách chọn a.

+) b<3 nên b{1;2}, có 2 cách chọn b.

Số cách chọn c,d,e,f là số hoán vị của 4 chữ số nên có 4! cách.

Do đó có 2.4!=48 số.

- TH3: a<4.

Vì a<4 nên a{1;2;3} và có 3 cách chọn a.

Số cách chọn các chữ số b,c,d,e,f là số hoán vị của 5 chữ số còn lại nên có 5! cách.

Do đó có 3.5!=360 số.

Vậy có 6+48+360=414 số.

Bài 2 trang 54 sgk Đại số và Giải tích 11: Có bao nhiêu cách để sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy?
Phương pháp giải:

Mỗi cách sắp xếp tương ứng với kết quả của sự sắp xếp thứ tự 10 phần tử của tập hợp, hay gọi là một hoán vị của 10 phần tử đó.

Lời giải: 

Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào một dãy 10 ghế là một hoán vị của 10 người.

Suy ra số các cách để xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào một dãy 10 ghế là:

P10=10!=3628800 (cách)

Bài 3 trang 54 sgk Đại số và Giải tích 11: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?
Phương pháp giải:
Vì mỗi lọ chỉ cắm 1 bông nên ta sẽ chọn ra 3 bông hoa từ 7 bông hoa (khác nhau) và cắm vào 3 lọ (khác nhau) theo một thứ tự nào đó. Số cách cắm sẽ tương ứng với số chỉnh hợp chập 3 của 7.
Lời giải: 

Mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là một cách chọn 3 bông hoa từ 7 bông và sắp thứ tự cho chúng (theo thứ tự của ba lọ).

Do đó mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là một chỉnh hợp chập 3 của 7 bông hoa.

Vậy số cách cắm hoa là: A73=210 (cách).

Bài 4 trang 55 sgk Đại số và Giải tích 11: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?
Phương pháp giải:
Mỗi cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau đã cho là một chỉnh hợp chập 4 của 6 bóng đèn đã cho.
Lời giải: 

Để mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau, ta cần chọn ra 4 trong số 6 bóng và sắp sếp theo một thứ tự nào đó để mắc nối tiếp chung (do các bóng đèn đều khác nhau)

Nên số cách mắc sẽ là số chỉnh hợp chập 4 của 6 bóng đèn đã cho, bằng: A64=360 (cách).

Bài 5 trang 55 sgk Đại số và Giải tích 11: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu: 

a. Các bông hoa khác nhau?

b. Các bông hoa như nhau?

a.

Phương pháp giải:
Mỗi cách cắm hoa là một cách chọn ra 3 lọ và sắp thứ tự cho chúng (theo thứ tự của 3 bông hoa), nên mỗi cách cắm là một chỉnh hợp chập 3 của 5 lọ.
Lời giải: 

Đánh số thứ tự cho 3 bông hoa.

Mỗi cách cắm hoa là một cách chọn ra 3 lọ và sắp thứ tự cho chúng nên mỗi cách cắm là một chỉnh hợp chập 3 của 5 lọ.

(Vì các bông hoa khác nhau nên mỗi cách sắp xếp cho ta 1 kết quả khác nhau)

Vậy số cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ là: A53=60 (cách).

b. 

Phương pháp giải: 

Vì 3 bông hoa là như nhau, nên mỗi cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) là một cách chọn ra một tập hợp 3 phần tử (không phân biệt thứ tự) từ 5 lọ.

Lời giải: 

Việc cắm 3 bông hoa giống nhau vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa để cắm và chính là kết quả của tổ hợp chập 3 của 5.

(Vì các bông hoa giống nhau nên sắp xếp các lọ theo cách nào cũng đều cho cùng một kết quả).

Vậy có C53=10 (cách).

Bài 6 trang 55 sgk Đại số và Giải tích 11: Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao  nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
Phương pháp giải:
Mỗi tam giác được chọn từ 6 điểm đã cho là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử.
Lời giải: 

Cứ ba điểm phân biệt không thẳng hàng thì xác định một tam giác.

Do đó mỗi tập con gồm 3 điểm (không phân biệt thứ tự) của tập hợp 6 điểm đã cho xác định duy nhất một tam giác.

Vậy số tam giác chính bằng số tổ hợp chập 3 của 6, là: C63=20 (tam giác)

Bài 7 trang 55 sgk Đại số và Giải tích 11: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó?
Phương pháp giải:

Một hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường thẳng song song và 2 đường vuông góc bất kì trong các đường đã cho.

+) Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm 4 đường thẳng song song đã cho. 

+) Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm 5 đường thẳng đã cho, vuông góc với 4 đường thẳng song song.

Sau đó sử dụng quy tắc nhân.

Lời giải: 

Ta thấy: Một hình chữ nhật được tạo thành từ hai đường song song và 2 đường vuông góc bất kì.

+) Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm 4 đường thẳng song song đã cho có C42=6 (cách)

+) Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm 5 đường thẳng đã cho, vuông góc với 4 đường thẳng song song có C52=10 (cách).

Vậy theo quy tắc nhân có 6.10=60 (cách) hay 60 hình chữ nhật.

Lý thuyết Bài Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

1. Hoán vị

Cho n phần tử khác nhau (n1). Mỗi cách sắp thứ tự của n phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Định lí

Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho (n1) được kí hiệu là Pn và bằng:

Pn=n(n1)(n2)...2.1=n!

Ví dụ:

Tính số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc.

Hướng dẫn:

Mỗi cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử.

Vậy số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là P6=6!=720.

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Chú ý

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Định lí

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Ank và bằng

Ank=n(n1)(nk+1)=n!(nk)! (1kn)

Với quy ước 0!=1.

Ví dụ:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7?

Hướng dẫn:

Mỗi số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 4 chữ số từ tập A={1;2;3;4;5;6;7} và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.

Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.

Vậy số các số cần tìm là A74=840 số.

3. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho n phần tử khác nhau (n1). Mỗi tập con gồm k phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp n phần tử đã cho (0kn) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập 0 của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Định lí

Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Cnk và bằng

Cnk=n!k!(nk)!  =  Ankk!, (0kn)

Ví dụ:

Một bàn học sinh có 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật?

Hướng dẫn:

Mỗi cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử.

Vậy số cách chọn là: C52=10 (cách)

Định lí

Với mọi n1;0kn, ta có:

a) Cnk=Cnnk

b) Cnk+Cnk+1  =  Cn+1k+1.

4. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.