Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Quy tắc đếm chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Quy tắc đếm lớp 11.
Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Quy tắc đếm
Lời giải:
Trong hộp có 6 bóng trắng và 3 quả bóng đen
Tức là: |A|=6 và |B| = 3 (kí hiệu |A| là số phần tử của tập hợp A).
Chọn 1 quả cầu: Nếu chọn quả trắng thì có 6 lựa chọn, nếu chọn quả đen có 3 lựa chọn.
Vậy số cách chọn một quả cầu là: 6+3 = 9 (cách) cũng là tổng số phần tử của A và của B.
* Từ A đến B có 3 cách
Sau đó:
* Từ B đến C có 4 cách
Áp dụng quy tắc nhân ta có: 3.4 = 12 cách đi từ A đến C, qua B
Cách khác:
Gọi số có 4 chữ số là a.
Có 4 cách chọn a nên có tất cả 4 số cần tìm.
Phương pháp giải:
Số tự nhiên cần lập có dạng ¯ab, với a,b∈{1,2,3,4}.
+) Tìm số cách chọn cho chữ số a.
+) Tìm số cách chọn cho chữ số b.
+) Sử dụng quy tắc nhân.
Số tự nhiên cần lập có dạng ¯ab, với a,b∈{1,2,3,4} có kể đến thứ tự.
+) a có 4 cách chọn.
+) b có 4 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có 4.4=16 (số).
Số tự nhiên cần lập có dạng ¯ab, với a,b∈{1,2,3,4}(a≠b).
+) Tìm số cách chọn cho chữ số a.
+) Tìm số cách chọn cho chữ số b.
+) Sử dụng quy tắc nhân.
Số tự nhiên cần lập có dạng ¯ab, với a,b∈{1,2,3,4} và a,b phải khác nhau, có kể đến thứ tự.
+) a có 4 cách chọn.
+) b ≠ a nên có 3 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có 4.3=12 (số).
Số tự nhiên nhỏ hơn 100 là số tự nhiên có 1 hoặc 2 chữ số.
+) Tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lập được từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6.
+) Tìm số các số tự nhiên có 2 chữ số lập được từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6.
+) Sử dụng quy tắc cộng.
TH1: Có 6 số tự nhiên có 1 chữ số lập từ 1, 2, 3, 4, 5, 6.
TH2: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có hai chữ số.
Gọi số tự nhiên có hai chữ số là ¯ab(a≠0).
Có 6 cách chọn chữ số a.
Có 6 cách chọn chữ số b.
Áp dụng quy tắc nhân có 62=36 số tự nhiên có hai chữ số lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Theo quy tắc cộng có 6+36=42 (số).
Lưu ý:
+) Các chữ số ở các hàng có thể giống nhau
+) số tự nhiên nhỏ 100 tức là các số có 1 chữ số hoặc 2 chữ số (lập từ các chữ số cho trước)
Để đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần, phải thực hiện liên tiếp ba hành động sau đây:
Hành động 1: Đi từ A đến B. Có 4 cách để thực hiện hành động này.
Hành động 2: Đi từ B đến C. Có 2 cách để thực hiện hành động này.
Hành động 3: Đi từ C đến D. Có 3 cách để thực hiện hành động này.
Theo quy tắc nhân suy ra số các cách để đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần là 4.2.3=24 (cách).
b.
Khi đi từ A đến D rồi quay về A nghĩa là công việc được thực hiện qua 2 hành động:
+) Từ A đến D qua B, C chỉ 1 lần có 24 cách.
+) Từ D về A qua C, B chỉ 1 lần có 24 cách.
Áp dụng quy tắc nhân, số các cách để đi từ A đến D (mà qua B và C chỉ một lần), rồi quay lại A (mà qua C và B chỉ một lần) là:
24.24=576 (cách).
+) Tìm số cách chọn mặt đồng hồ.
+) Tìm số cách chọn dây.
+) Sử dụng quy tắc nhân.
Có 3 cách chọn mặt đồng hồ.
Có 4 bốn cách chọn dây.
1. Quy tắc cộng
Quy tắc:
Có k phương án A1,A2,A3,...,Ak để thực hiện công việc. Trong đó:
- Có n1 cách thực hiện phương án A1,
- Có n2 cách thực hiện phương án A2
…
- Có nk cách thực hiện phương án Ak.
Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: n1+n2+...+nk cách.
Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của A∪B bằng tổng số phần tử của A và của B, tức là: |A∪B|=|A|+|B|.
Ví dụ: Đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, máy bay. Biết có 10 chuyến ô tô, 2 chuyến tàu hỏa và 1 chuyến máy bay có thể vào được TP. Hồ Chí Minh. Số cách có thể đi để vào TP. Hồ Chí Minh từ Hà Nội là:
Hướng dẫn:
Có 3 phương án đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh là: ô tô, tàu hỏa, máy bay.
- Có 10 cách đi bằng ô tô (vì có 10 chuyến).
- Có 2 cách đi bằng tàu hỏa (vì có 2 chuyến).
- Có 1 cách đi bằng máy bay (vì có 1 chuyến).
Vậy có tất cả 10+2+1=13 cách đi từ HN và TP.HCM.
2. Quy tắc nhân
Có k công đoạn A1,A2,...,Ak để thực hiện công việc.
- Có n1 cách thực hiện công đoạn A1.
- Có n2 cách thực hiện công đoạn A2.
…
- Có nk cách thực hiện công đoạn Ak.
Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: n1.n2.....nk cách.
Ví dụ: Mai muốn đặt mật khẩu nhà có 4 chữ số. Chữ số đầu tiên là một trong 3 chữ số 1;2;0, chữ số thứ hai là một trong 3 chữ số 6;4;3, chữ số thứ ba là một trong 4 chữ số 9;1;4;6 và chữ số thứ tư là một trong 4 chữ số 8;6;5;4. Có bao nhiêu cách để Mai đặt mật khẩu nhà?
Hướng dẫn:
Việc đặt mật khẩu nhà có 4 công đoạn (từ chữ số đầu tiên đến chữ số cuối cùng).
- Có 3 cách thực hiện công đoạn 1 (ứng với 3 cách chọn chữ số đầu tiên).
- Có 3 cách thực hiện công đoạn 2 (ứng với 3 cách chọn chữ số thứ hai).
- Có 4 cách thực hiện công đoạn 3 (ứng với 4 cách chọn chữ số thứ ba).
- Có 4 cách thực hiện công đoạn 4 (ứng với 4 cách chọn chữ số thứ tư).
Vậy có tất cả 3.3.4.4=144 cách để Mai đặt mật khẩu nhà.
