SBT Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản | Giải SBT Toán lớp 11

a) $\sin 3x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

b) $\sin (2x-{15}^o)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

c) $\sin ({\displaystyle \frac{x}{2}}+{10}^o)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

d) $\sin 4x={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Phương pháp giải:

a) Phương trình $\sin x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ khi đó phương trình có nghiệm là

$x=\arcsin a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

và $x=\pi -\arcsin a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 b)

Phương trình $sinx=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ có ${\beta }^o$ thỏa mãn $\sin {\beta }^o=a$
trong đó ${\beta }^o=\arcsin a$

Khi đó phương trình có nghiệm là $x={\beta }^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}$

và $x={180}^o-{\beta }^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}$

c)

Phương trình $sinx=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ có ${\beta }^o$ thỏa mãn $\sin {\beta }^o=a$

trong đó ${\beta }^o=\arcsin a$

Khi đó phương trình có nghiệm là $x={\beta }^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}$

và $x={180}^o-{\beta }^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}$

d)

Phương trình $sinx=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ có $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha =a$

trong đó $\alpha =\arcsin a$

Khi đó phương trình có nghiệm là $x=\arcsin a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

và $x=\pi -\arcsin a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Lời giải:

a) Ta có: $-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=\sin (\arcsin (-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}))$

$=\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

Khi đó: $\sin 3x=\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

$\iff [\begin{array}{l}3x=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 3x=\pi -(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{\pi }{9}}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},k\in \mathbb{Z}\\ x={\displaystyle \frac{4\pi }{9}}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x=-{\displaystyle \frac{\pi }{9}}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},k\in \mathbb{Z}$ và $x={\displaystyle \frac{4\pi }{9}}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},k\in \mathbb{Z}$

b)

Ta có: ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sin ({45}^o)$

Khi đó: $\sin (2x-{15}^o)=\sin ({45}^o)$

$\iff [\begin{array}{l}2x-{15}^o={45}^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}\\ 2x-{15}^o={135}^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x={30}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}\\ x={75}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x={30}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$ và $x={75}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

 c)

Ta có: $-{\displaystyle \frac{1}{2}}=\sin (-{30}^o)$

Khi đó: $\sin ({\displaystyle \frac{x}{2}}+{10}^o)=\sin (-{30}^o)$

$\iff [\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{2}}+{10}^o=-{30}^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}\\ {\displaystyle \frac{x}{2}}+{10}^o={210}^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=-{80}^o+k{720}^o,k\in \mathbb{Z}\\ x={400}^o+k{720}^o,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x=-{80}^o+k{720}^o,k\in \mathbb{Z}$

và $x={400}^o+k{720}^o,k\in \mathbb{Z}$

 d)

Ta có: ${\displaystyle \frac{2}{3}}=\sin (\arcsin {\displaystyle \frac{2}{3}})$

Khi đó: $\sin 4x=\sin (\arcsin {\displaystyle \frac{2}{3}})$

$\iff [\begin{array}{l}4x=\arcsin {\displaystyle \frac{2}{3}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 4x=\pi -\arcsin {\displaystyle \frac{2}{3}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{1}{4}}\arcsin {\displaystyle \frac{2}{3}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\arcsin {\displaystyle \frac{2}{3}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x={\displaystyle \frac{1}{4}}\arcsin {\displaystyle \frac{2}{3}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$

và $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\arcsin {\displaystyle \frac{2}{3}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$

 a) $\cos (x+3)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

b) $\cos (3x-{45}^o)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

c) $\cos (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

d) $(2+\cos x)(3\cos 2x-1)=0$.

Phương pháp giải:

a) Phương trình $\cos x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ khi đó phương trình có nghiệm là

$x=\pm \arccos a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b)

Phương trình $\cos x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ có ${\beta }^o$ thỏa mãn $\cos {\beta }^o=a$
trong đó ${\beta }^o=\arccos a$

Khi đó phương trình có nghiệm là $x=\pm {\beta }^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}$

c)

Phương trình $\cos x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ khi đó phương trình có nghiệm là

$x=\pm \arccos a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

d)

Sử dụng công thức $f(x)g(x)=0$

$\iff [\begin{array}{l}f(x)=0\\ g(x)=0\end{array}$

Phương trình $\cos x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ khi đó phương trình có nghiệm là

$x=\pm \arccos a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Lời giải:

a) $\cos (x+3)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$\iff x+3=\pm \arccos {\displaystyle \frac{1}{3}}+k2\pi$

$\iff x=-3\pm \arccos {\displaystyle \frac{1}{3}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là

$x=-3\pm \arccos {\displaystyle \frac{1}{3}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 b)

Ta có: ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=\cos {30}^o$

Khi đó: $\cos (3x-{45}^o)=\cos {30}^o$

$\begin{array}{l}\iff [\begin{array}{l}3x-{45}^0={30}^0+k{360}^0\\ 3x-{45}^0=-{30}^0+k{360}^0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}3x={75}^0+k{360}^0\\ 3x={15}^0+k{360}^0\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x={25}^o+k{120}^o,k\in \mathbb{Z}\\ x=5^o+k{120}^o,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x={25}^o+k{120}^o,k\in \mathbb{Z}$

và $x=5^o+k{120}^o,k\in \mathbb{Z}$

 c)

Ta có: $-{\displaystyle \frac{1}{2}}=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}\\ \iff [\begin{array}{l}2x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x=-\pi +k2\pi \end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

và $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 d)

Ta có: $(2+\cos x)(3\cos 2x-1)=0$

$\iff [\begin{array}{l}2+\cos x=0(1)\\ 3\cos 2x-1=0(2)\end{array}$

$(1)\iff \cos x=-2$ (vô nghiệm)

$(2)\iff \cos 2x={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$\iff 2x=\pm \arccos {\displaystyle \frac{1}{3}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}\arccos {\displaystyle \frac{1}{3}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}\arccos {\displaystyle \frac{1}{3}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

a) $\tan (2x+{45}^o)=-1$

b) $\cot (x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=\sqrt{3}$

c) $\tan ({\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$

d) $\cot ({\displaystyle \frac{x}{3}}+{20}^o)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$.

Phương pháp giải:

a) Phương trình: $\tan x=\tan {\beta }^o$ có nghiệm là $x={\beta }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

b)

Phương trình: $\cot x=\cot \alpha$ có nghiệm là $x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Sử dụng: $\cot \alpha =a$ khi đó $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{a}}$

Khi đó $\alpha =\arctan {\displaystyle \frac{1}{a}}=\text{arccot}a$

c)

Phương trình $\tan x=\tan \alpha$

Có nghiệm là: $x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

d)

Phương trình: $\cot x=\cot {\beta }^o$ có nghiệm là $x={\beta }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

Sử dụng: $\cot {\beta }^o=a$ khi đó $\tan {\beta }^o={\displaystyle \frac{1}{a}}$

Khi đó ${\beta }^o=\arctan {\displaystyle \frac{1}{a}}=\text{arccot}a$

Lời giải:

a)

Ta có: $-1=\tan ({-45}^o)$

Khi đó: $\tan (2x+{45}^o)=\tan ({-45}^o)$

$\iff 2x+{45}^o={-45}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

$\iff 2x=-{90}^0+k{180}^0,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x={-45}^o+k{90}^o,k\in \mathbb{Z}$

Phương trình có nghiệm là:

$x={-45}^o+k{90}^o,k\in \mathbb{Z}$.

 b)

Ta có: $\sqrt{3}=\cot {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

Khi đó: $\cot (x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=\cot {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

$\iff x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Khi đó phương trình có nghiệm là $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 c)

Ta có: $\tan ({\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$

$\iff {\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{8}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \frac{x}{2}=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d)

Ta có: $-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}=\cot (-{60}^o)$

Khi đó: $\cot ({\displaystyle \frac{x}{3}}+{20}^o)=\cot (-{60}^o)$

$\iff {\displaystyle \frac{x}{3}}+{20}^o=-{60}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \frac{x}{3}=-{80}^0+k{180}^0,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x={-240}^o+k{540}^o,k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x={-240}^o+k{540}^o,k\in \mathbb{Z}$.

a) $\cos 3x-\sin 2x=0$

b) $\tan x\tan 2x=-1$

c) $\sin 3x+\sin 5x=0$

d) $\cot 2x\cot 3x=1$.

Phương pháp giải:

a) Đưa phương trình về dạng $\cos a=\cos b$

Khi đó $a=\pm b+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b)

Tìm điều kiện xác định của $\tan x$ và $\tan 2x$ là $\cos x\ne 0$ và $\cos 2x\ne 0$

Biến đổi $\tan x={\displaystyle \frac{sinx}{\cos x}}$

Áp dụng công thức cosin của một hiệu: $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

c)

Đưa phương trình về dạng $\sin a=\sin b$

Khi đó $a=b+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $a=\pi -b+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d)

Tìm điều kiện xác định của $\cot 2x$ và $\cot 3x$ là $\sin 2x\ne 0$ và $\sin 3x\ne 0$

Biến đổi $\cot x={\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}$

Áp dụng công thức cosin của một tổng: $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

Tìm điều kiện xác định của $\cot 2x$ và $\cot 3x$ là $\sin 2x\ne 0$ và $\sin 3x\ne 0$

Biến đổi $\cot x={\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}$

Áp dụng công thức cosin của một tổng: $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

Lời giải:

a) Ta có: $\cos 3x-\sin 2x=0$

$\iff \cos 3x=\sin 2x$

$\iff \cos 3x=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)$

$\iff [\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi \\ 3x=-\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi \end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}5x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}\\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x={\displaystyle \frac{\pi }{10}}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{5}},k\in \mathbb{Z}$

và $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

 b)

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \cos 2x\ne 0\end{array}$

Ta có: $\tan x\tan 2x=-1$

$\iff {\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}{\displaystyle \frac{\sin 2x}{\cos 2x}}=-1$

$\Rightarrow \sin x\sin 2x=-\cos x\cos 2x$

$\iff \cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=0$

$\iff \cos (2x-x)=0$

$\iff \cos x=0$

Kết hợp với điều kiện khi đó phương trình vô nghiệm.

 c)

Ta có: $\sin 3x+\sin 5x=0$

$\iff \sin 5x=-\sin 3x$

$\iff \sin 5x=\sin (-3x)$

$\iff [\begin{array}{l}5x=-3x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 5x=\pi -(-3x)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}8x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 2x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=k{\displaystyle \frac{\pi }{4}},k\in \mathbb{Z}\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là:

$x=k{\displaystyle \frac{\pi }{4}},k\in \mathbb{Z}$

và $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Cách khác:

sin3x + sin5x = 0

⇔ 2sin4x. cosx = 0

$\begin{array}{l}\iff [\begin{array}{l}\sin 4x=0\\ \cos x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}4x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}\end{array}$

 d)

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\sin 2x\ne 0\\ \sin 3x\ne 0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2x\ne m\pi ,m\in \mathbb{Z}\\ 3x\ne m\pi ,m\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ne m{\displaystyle \frac{\pi }{2}},m\in \mathbb{Z}\\ x\ne m{\displaystyle \frac{\pi }{3}},m\in \mathbb{Z}\end{array}$

Ta có: $\cot 2x\cot 3x=1$

$\iff {\displaystyle \frac{\cos 2x}{\sin 2x}}{\displaystyle \frac{\cos 3x}{\sin 3x}}=1$

$\Rightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x$

$\iff \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0$

$\iff \cos (2x+3x)=0$

$\iff \cos 5x=0$

$\iff 5x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{10}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{5}},k\in \mathbb{Z}$

Với điều kiện ở trên khi đó:

$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\pi }{10}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{5}}\ne m{\displaystyle \frac{\pi }{2}},m\in \mathbb{Z}\\ {\displaystyle \frac{\pi }{10}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{5}}\ne m{\displaystyle \frac{\pi }{3}},m\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}k\ne {\displaystyle \frac{5m-1}{2}},m\in \mathbb{Z}\\ k\ne {\displaystyle \frac{10m-3}{6}},m\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x={\displaystyle \frac{\pi }{10}}+k{\displaystyle \frac{\pi }{5}},k\in \mathbb{Z}$

với $k\ne {\displaystyle \frac{5m-1}{2}}$ và $k\ne {\displaystyle \frac{10m-3}{6}}$  $m\in \mathbb{Z}$.

Chú ý:

Một cách loại nghiệm khác như sau:

Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì

$\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{10}+\left(2+5m\right).\frac{\pi }{5}\\ =\frac{\pi }{10}+\frac{2\pi }{5}+m\pi \\ =\frac{\pi }{2}+m\pi \end{array}$

nên k = 2 + 5m không thỏa mãn điều kiện xác đị

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ của phương trình

Phương pháp giải: