Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Xác suất của biến cố lớp 11.
Giải bài tập Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố
A: “Lấy được quả ghi chữ a”;
B: “Lấy được quả ghi chữ b”;
C: “Lấy được quả ghi chữ c”.
Có nhận xét gì về khả năng xảy ra của các biến cố A, B và C? Hãy so sánh chúng với nhau.
Khả năng xảy ra của biến cố A là: = 0,5
Khả năng xảy ra của biến cố B là: = 0,25
Khả năng xảy ra của biến cố C là: = 0,25
⇒ Khả năng xảy ra của biến cố A lớn hơn khả năng xảy ra của biến cố B
Và khả năng xảy ra của biến cố B bằng khả năng xảy ra của biến cố C
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất).
b.
hay (từ chứng minh câu a)
c. Nếu A và B xung khắc, ta có:
A: "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn ";
B: "Mặt chấm xuất hiện ít nhất một lần".
c. Tính .Khi gieo: mỗi con súc sắc có thể xuất hiện một trong 6 mặt tương ứng 1,2,3,4,5,6 chấm.
Mỗi phần tử của kgm là một cặp số (x,y)
Phép thử được xét là "Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần".
.
Số phần tử của không gian mẫu là .
Cách liệt kê chi tiết:
Không gian mẫu:
Liệt kê và đếm số phần tử của biến cố A:
= .
Tính xác suất của biến cố A: .
= = ;
= .
: "Tổng các số trên ba tấm bìa bằng ";
: "Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp".
c. Tính .
a.
Phương pháp giải:
Liệt kê và đếm số phần tử của không gian mẫu
Phép thử được xét là: "Từ bốn tấm bìa đã cho, rút ngẫu nhiên ba tấm".
Không gian mẫu là:
Số phần tử của không gian mẫu là .
b.
Phương pháp giải:
Liệt kê và đếm các phần tử của A, B.
,
c.
Phương pháp giải:
Tính xác suất của biến cố A: .
+) Tính số phần tử của không gian mẫu.
+) Tính số phần tử của biến cố: "Hai chiếc chọn được tạo thành một đôi".
+) Tính xác suất của biến cố.
Phép thử được xét là: "Lấy ngẫu nhiên chiếc giày từ đôi giày có cỡ khác nhau".
Số cách lấy ra trong chiếc giày là (Do 2 chiếc cùng một đôi phân chia trái phải nên không giống nhau)
Gọi là biến cố: "Lấy được hai chiếc giày tạo thành một đôi".
Vì chỉ có đôi giày nên số cách lấy được trong đôi giày là .
Vậy = =
Phương trình bậc hai có nghiệm .
Không gian mẫu là ,
Ta có bảng:
b |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
∆ = b2 - 8 |
-7 |
-4 |
1 |
8 |
17 |
28 |
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (*).
Vì vậy nếu là biến cố: "Xuất hiện mặt chấm sao cho phương trình có nghiệm"
thì và = = .
Cách khác:
Phương trình (1) có nghiệm
= = .
Phương trình bậc hai vô nghiệm .
Biến cố : "Xuất hiện mặt chấm sao cho phương trình vô nghiệm"
Dễ thấy A và B là các biến cố đối
Theo qui tắc cộng xác suất ta có = .
Cách khác:
(1) vô nghiệm
=
Điều kiện cần để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên là là số chính phương.
là biến cố: "Xuất hiện mặt chấm sao cho phương trình có nghiệm nguyên"
Phương trình (1) có nghiệm
Thử các giá trị của b ta thấy:
Khi thì phương trình trở thành
Do đó .
Vậy
Để tính xác suất của biến cố A.
+) Tính số phần tử của không gian mẫu .
+) Tính số phần tử của biến cố A:
+) Tính xác suất của biến cố A: .
a.
Phép thử được xét là: "Từ cỗ bài tú lơ khơ con bài, rút ngẫu nhiên con bài".
Mỗi kết quả có thể có là một tổ hợp chập của con bài. Do đó .
Gọi biến cố : "Rút được bốn con át", .
Suy ra = .
= "Rút được con bài đều không là át".
Mỗi kết quả có thể thuận lợi cho là một tổ hợp chập của con bài không phải là át.
Suy ra số các kết quả có thể có thuận lợi cho là .
) = .
- P() .
Mỗi kết quả có thể có thuận lợi cho là một tổ hợp gồm con át và con K.
Áp dụng quy tắc nhân tính được số các kết quả có thể có thuận lợi cho là
.
Vậy = .
+) Mỗi cách xếp bạn vào chỗ ngồi là một hoán vị của phần tử. Tính số phần tử của không gian mẫu.
+) Gọi A là biến cố: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau" là biến cố: "Nam đối diện nam, nữ đối diện nữ".
Tính xác suất của biến cố và sử dụng công thức .
Mỗi cách xếp bạn vào chỗ ngồi là một hoán vị của phần tử, vì vậy không gian mẫu có phần tử.
Gọi A là biến cố: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau"
là biến cố: "Nam đối diện nam, nữ đối diện nữ".
+) Có chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn.
+) Có cách chọn chỗ (đối diện) cho bạn nữ thứ hai.
+) Sau khi bai bạn nữ đã chọn chỗ ngồi (đối diện nhau) thì còn lại chỗ (đối diện nhau) để xếp cho bạn nam và có cách xếp chỗ cho bạn này.
Vi vậy theo quy tắc nhân có cách xếp chỗ cho nam nữ không ngồi đối diện nhau.
() = = .
() = .
Vì chỉ có 4 người: 2 nam và 2 nữ nên nếu 2 nữ ngồi đối diện nhau thì 2 nam cũng ngồi đối diện nhau chính là biến cố ở câu a).
Vì chỉ có 4 người: 2 nam và 2 nữ nên nếu 2 nữ ngồi đối diện nhau thì 2 nam cũng ngồi đối diện nhau. Do đó biến cố này chính là biến cố : "Nữ ngồi đối diện nhau".
Xác suất xảy ra biến cố này là () = .
là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng";
là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng"
a. Xét xem A và B có độc lập không
b. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
c. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.
a.
Định nghĩa hai biến cố độc lập: Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố B. A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi .
Phép thử được xét là: "Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu".
Không gian mẫu là kết quả của việc lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và một quả cầu ở hộp thứ hai
+ Có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 và có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 2. Nên số phần tử của không gian mẫu là;
⇒ n(Ω) = 10.10 = 100.
A: “ Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất trắng”
⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 10 cách lấy quả cầu ở hộp B
⇒ n(A) = 6.10 = 60.
Suy ra = = .
B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai trắng”
⇒ Có 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B và 10 cách lấy quả cầu ở hộp A
⇒ n(B) = 4.10 = 40.
Suy ra = = .
A.B: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”
⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B
⇒ n(A.B) = 6.4 = 24.
Suy ra: = = .
Như vậy, ta có .
Suy ra và là hai biến cố độc lập với nhau.
b.
+ . .
Trong đó = "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen" và () = .
: "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen" và P() = .
Và ta có và . là hai biến cố xung khắc với nhau.
và độc lập với nhau, nên và cũng độc lập với nhau.
Qua trên suy ra;
( + . )
+ (. ) = + (). ()
.
c.
Gọi là biến cố: "Lấy được hai quả cầu khác màu". Ta có
.
Lý thuyết Bài Xác suất và biến cố
1. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử là biến cố liên quan đến phép thử và phép thử có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố , kí hiệu là
=
Trong đó,
+) là số phần tử của tập hợp , cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử thuận lợi cho biến cố ;
+) là số phần tử của không gian mẫu , cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử .
Ví dụ:
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để mặt xuất hiện là mặt có số chia hết cho .
Hướng dẫn:
Không gian mẫu
.
Biến cố Mặt xuất hiện có số chia hết cho .
Khi đó
.
Vậy xác suất .
2. Các tính chất cơ bản của xác suất
2.1 Định lí
a) .
b) , với mọi biến cố .
c) Nếu và xung khắc với nhau, thì ta có
(công thức cộng xác suất).
2.2 Hệ quả
Với mọi biến cố , ta luôn luôn có: () = .
3. Hai biến cố độc lập
Định nghĩa
Hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia (nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia).
Định lý
Nếu là hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) sao cho ,
thì ta có:
a) và là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:
Chú ý: Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.
b) Nếu và độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:
và , và , và .
Ví dụ:
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất các biến cố sau:
“Lần thứ nhất xuất hiện mặt chấm”
“Lần thứ hai xuất hiện mặt chấm”
Từ đó suy ra hai biến cố và độc lập.
Hướng dẫn
Không gian mẫu:
.
Biến cố “Lần thứ nhất xuất hiện mặt chấm”
.
Biến cố “Lần thứ hai xuất hiện mặt chấm”
.
Gọi là biến cố: “Cả hai lần đều xuất hiện mặt chấm”.
Khi đó
.
Dễ thấy nên là hai biến cố độc lập.