Bài tập cuối tuần Toán lớp 9 - Tuần 6

Đề luyện cuối tuần Toán lớp 9

Tuần 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.

Hệ thức về cạnh & góc trong tam giác vuông. 

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) $3-\sqrt{3}+\sqrt{15}-3\sqrt{5}$ 

b) $\sqrt{1-m}+\sqrt{1-m^2}$  với -1 < m < 1

c) $a-b+\sqrt{a{b}^2}-\sqrt{b^3}$  với $a>0; b>0$

d) $\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{x{y}^2}$ với $x>0; y>0$  

Bài 2: Tính

a) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

b) $\frac{3}{2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}-\frac{3}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}$  

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9$

b) $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+......+\frac{1}{\sqrt{225}}<28$ 

Bài 4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}-\sqrt{ab}\le 0$ với $a>c; b>c$

Bài 5: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

$A=\sqrt{m-3}+\sqrt{n-4}$  biết  $m + n = 8$

Bài 6: Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, $\hat{B}={30}^0; BC=a$. Tính cạnh AB, AC.

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:

a) $\frac{3\cot {60}^0}{2{\cos }^2{30}^0-1}$

b) $\frac{\cos {60}^0}{1+\sin {60}^0}+\frac{1}{\tan {30}^0}$

Bài 8: Dựng góc $\alpha$ biết:

a) $\sin \alpha =\frac{2}{5}$

b) $\mathrm{cosos}=0,2$

c) $\tan \alpha =0,4$

d) $\cot \alpha =\frac{1}{2}$

Hướng dẫn:

Bài 3: a) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

$= \frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+.....+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}$

$= \sqrt{100}-1 = 10-1 = 9$

b) Ta có:

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+......+\frac{1}{\sqrt{225}}\right)$ 

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+....+\frac{1}{2\sqrt{225}}$$<\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+......+\frac{1}{\sqrt{224}+\sqrt{225}}$

$=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+......+\frac{\sqrt{224}-\sqrt{225}}{224-225}$

$=\sqrt{225}-1 = 15-1=14$

Do đó $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+......+\frac{1}{\sqrt{225}}<28$ 

Bài 4: Theo giả thiết a, b, c > 0 và a > c; b > c nên hai vế của BĐT $\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le \sqrt{ab}$ đều dương. Bình phương hai vế, ta được:

$c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab$

$\iff 2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab-c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)$

$\iff 2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le c^2+\left(a-c\right)\left(b-c\right)$

$\iff c^2+\left(a-c\right)\left(b-c\right)-2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\ge 0$

$\iff {\left[c-\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\right]}^2\ge 0 \left(1\right)$ 

BĐT (1) luôn đúng nên BĐT phải chứng minh là đúng.