Bài tập cuối tuần Toán lớp 9 - Tuần 6

214 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Đề luyện cuối tuần Toán lớp 9

Tuần 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.

Hệ thức về cạnh & góc trong tam giác vuông.

Ảnh đính kèm

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) $3 - \sqrt{3} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{5}$

b) $\sqrt{1 - m} + \sqrt{1 - m^{2}}$ với -1 < m < 1

c) $a - b + \sqrt{a b^{2}} - \sqrt{b^{3}}$ với $a > 0; b > 0$

d) $\sqrt{x^{3}} - \sqrt{y^{3}} + \sqrt{x^{2} y} - \sqrt{x y^{2}}$ với $x > 0; y > 0$

Bài 2: Tính

a) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

b) $\frac{3}{2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3}} - \frac{3}{2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}}$

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + . . . . + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} = 9$

b) $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + . . . . . . + \frac{1}{\sqrt{225}} < 28$

Bài 4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)} - \sqrt{a b} \leq 0$ với $a > c; b > c$

Bài 5: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

$A = \sqrt{m - 3} + \sqrt{n - 4}$ biết $m + n = 8$

Bài 6: Cho $Δ A B C$ vuông tại A, $\hat{B} = 30^{0}; B C = a$ . Tính cạnh AB, AC.

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:

a) $\frac{3 \cot 60^{0}}{2 \cos^{2} 30^{0} - 1}$

b) $\frac{\cos 60^{0}}{1 + \sin 60^{0}} + \frac{1}{\tan 30^{0}}$

Bài 8: Dựng góc $α$ biết:

a) $\sin α = \frac{2}{5}$

b) $cosos = 0, 2$

c) $\tan α = 0, 4$

d) $\cot α = \frac{1}{2}$

Hướng dẫn:

Bài 3: a) $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + . . . . + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$

$= \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} + . . . . . + \frac{\sqrt{99} - \sqrt{100}}{99 - 100}$

$= \sqrt{100} - 1 = 10 - 1 = 9$

b) Ta có:

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + . . . . . . + \frac{1}{\sqrt{225}})$

$= \frac{1}{2 \sqrt{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{3}} + . . . . + \frac{1}{2 \sqrt{225}}$ $< \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + . . . . . . + \frac{1}{\sqrt{224} + \sqrt{225}}$

$= \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} + . . . . . . + \frac{\sqrt{224} - \sqrt{225}}{224 - 225}$

$= \sqrt{225} - 1 = 15 - 1 = 14$

Do đó $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + . . . . . . + \frac{1}{\sqrt{225}} < 28$

Bài 4: Theo giả thiết a, b, c > 0 và a > c; b > c nên hai vế của BĐT $\sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)} \leq \sqrt{a b}$ đều dương. Bình phương hai vế, ta được:

$c (a - c) + c (b - c) + 2 c \sqrt{(a - c) (b - c)} \leq a b$

$\Leftrightarrow 2 c \sqrt{(a - c) (b - c)} \leq a b - c (a - c) + c (b - c)$

$\Leftrightarrow 2 c \sqrt{(a - c) (b - c)} \leq c^{2} + (a - c) (b - c)$

$\Leftrightarrow c^{2} + (a - c) (b - c) - 2 c \sqrt{(a - c) (b - c)} \geq 0$

$\Leftrightarrow {[c - \sqrt{(a - c) (b - c)}]}^{2} \geq 0 (1)$

BĐT (1) luôn đúng nên BĐT phải chứng minh là đúng.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau