Đề bài
Cho mạch điện có sơ đồ như hình 11.5, trong đó nguồn điện có suất điện động ξ = 12V, và điện trở trong là r = 1,1 Ω; điện trở R = 0,1 Ω.
a) Điện trở x phải có trị số bao nhiêu để công suất tiêu thụ ở ngoài mạch là lớn nhất?
b) Điện trở x phải có trị số bao nhiêu để công suất tiêu thụ ở điện trở này là lớn nhất? Tính công suất lớn nhất đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định luật ohn cho toàn mạch \(I{\rm{ }} = \displaystyle{\rm{ }}{\xi \over {R{\rm{ }} + {\rm{ }}r{\rm{ }} + {\rm{ }}x}}\)
Công thức tính công suất và định lý cô si.
Lời giải chi tiết
a) Tính điện trở x để công suất tiêu thụ ở mạch ngoài là lớn nhất.
- Mạch ngoài gồm điện trở R mắc nối tiếp với điện trở x, có điện trở tương đương là: RN = R + x = 0,1 + x.
- Cường độ dòng điện trong trong mạch : \(I{\rm{ }} = \displaystyle{\rm{ }}{\xi \over {R{\rm{ }} + {\rm{ }}r{\rm{ }} + {\rm{ }}x}}\)
- Công suất tiêu thụ mạch ngoài:
\(P = {I^2}{R_N} = \displaystyle{{{\xi ^2}(R + x)} \over {{{\left( {R + r + x} \right)}^2}}} \\= {{{\xi ^2}} \over {{{\left( {\sqrt {R + x} + \displaystyle{r \over {\sqrt {R + x} }}} \right)}^2}}}\)
Để công suất P trên đây lớn nhất thì mẫu số ở về phải là nhỏ nhất.
Xét biểu thức:
\(Y = {\left( {\sqrt {R + x} + \dfrac{r}{{\sqrt {R + x} }}} \right)^2} \\= \left( {R + x + \dfrac{{{r^2}}}{{R + x}} + 2r} \right)\)
Ta có \({Y_{\min }}\) khi \(A = {\left[ {R + x + \dfrac{{{r^2}}}{{R + x}}} \right]_{\min }}\)
Áp dụng BĐT Cosi cho A, ta có: \(A = {\left[ {R + x + \dfrac{{{r^2}}}{{R + x}}} \right]_{\min }} \ge 2\sqrt {\left( {R + x} \right)\dfrac{{{r^2}}}{{\left( {R + x} \right)}}} \\ = 2r\)
Vậy \({A_{\min }}\) (hay \({Y_{\min }}\)) khi \(R + x = \dfrac{{{r^2}}}{{R + x}}\) hay \(R + x = r\)
Vậy \({P_{{\mathop{\rm ma}\nolimits} x}}\) khi \(R + x = r \Rightarrow x = r - R = 1,1 - 0,1 = 1\Omega \)
b) Công suất tiêu thụ trên điện trở x:
\({P_x} = {I^2}x = \dfrac{{{\xi ^2}}}{{{{\left( {R + r + x} \right)}^2}}}x\\ = \dfrac{{{\xi ^2}}}{{\dfrac{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}{x} + 2\left( {R + r} \right) + x}}\)
Để công suất \(P_x\) trên đây lớn nhất thì mẫu số ở về phải là nhỏ nhất.
Xét biểu thức:
\(J = \dfrac{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}{x} + 2\left( {R + r} \right) + x\)
Ta có \({J_{\min }}\) khi \(B = {\left[ {\dfrac{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}{x} + x} \right]_{\min }}\)
Áp dụng BĐT Cosi cho B, ta có:
\(B = {\left[ {\dfrac{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}{x} + x} \right]_{\min }} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}{x}x} \\ = 2\left( {R + r} \right)\)
Vậy \({B_{\min }}\) (hay \({J_{\min }}\)) khi
\(\dfrac{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}{x} = x\) hay \(R + r = x\)
Vậy \({P_{{x_{{\mathop{\rm ma}\nolimits} x}}}}\) khi \(x = R + r = 0,1 + 1,1 = 1,2\Omega \)
Giá trị của công suất lớn nhất này là: \(30 W\)
