Tích vô hướng của hai vectơ

I. Sơ đồ tư duy Tích vô hương của hai vectơ_kntt

II. Tích vô hướng của hai vectơ

Chú ý:

- $\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b = 0$.

- $\overrightarrow a .\overrightarrow a$ còn được viết là ${\overrightarrow a ^2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow a$. Ta có ${\overrightarrow a ^2} = |\overrightarrow a | \cdot |\overrightarrow a | \cdot \cos {0^\circ } = |\overrightarrow a {|^2}$.

- Trường hợp ít nhất một trong hai vecto $\vec a$ và $\vec b$ bằng $\vec 0$, ta quy ước $\vec a \cdot \vec b = 0$.

III. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ đều khác $\overrightarrow 0$. Từ một điểm $O$ bất kì ta vẽ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b$

Kí hiệu: $\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \widehat {AOB}$.

+ Quy ước : Nếu $\overrightarrow a = \overrightarrow 0$ hoặc $\overrightarrow b = \overrightarrow 0$ thì ta xem góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là tùy ý (từ ${0^0}$ đến ${180^0}$).

Chú ý:

- Từ định nghĩa ta có $(\vec a,\vec b) = (\vec b,\vec a)$.

- Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng ${0^\circ }$.

- Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác $\vec 0$ luôn bằng ${180^\circ }$.

- Nếu $(\vec u,\vec v) = {90^\circ }$ thì ta nói rằng $\vec u$ và $\vec v$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\vec u \bot \vec v$ hoặc $\vec v \bot \vec u$. Đặc biệt $\vec 0$ được coi là vuông góc với mọi vectơ.

IV. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nhận xét

a) Nếu $\vec a = (x;y)$ thì $|\vec a| = \sqrt {\vec a \cdot \vec a} = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

b) Nếu $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì $AB = |\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}$.

c) Với hai vectơ $\vec u = \left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $\vec v = \left( {{x_2};{y_2}} \right)$ khác $\vec 0$, ta có:

+) $\vec u$ và $\vec v$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0$.

+) $\cos (\vec u,\vec v) = \dfrac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}.$