I. Dấu của tam thức bậc hai
1. Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng $a{x^2} + bx + c$. Trong đó \(a,b,c\) là những số cho trước với \(a \ne 0\).
Nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$; \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$.
2. Dấu của tam thức bậc hai
Định lí.
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c(a \ne 0)\) có biệt thức \(∆ = b^2– 4ac\).
- Nếu \(∆ < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in R\).
- Nếu \(∆ = 0\) thì \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
Khi đó \(f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x ≠ -\dfrac{b}{2a}\).
- Nếu \(∆ > 0, f(x)\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in ({x_1};{x_2})\)
Chú ý:
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau
Khi xét dấu tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, các em có thể nhớ theo quy tắc “Trong trái ngoài cùng”, nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với \(a\), ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với \(a\)
Nhận xét: Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$
$a{x^2} + bx + c > 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c \ge 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c < 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c \le 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
II. Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng \(a{x^2} + bx + c\). Trong đó \(a,b,c\) là những số cho trước với \(a \ne 0\).
Nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\); \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\).
Ví dụ:
a) Biểu thức \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + x - 1\) là một tam thức bậc hai
b) Biểu thức \(g\left( x \right) = - 2x + 5\) không phải là một tam thức bậc hai.
III. Bất phương trình bậc hai một ẩn
- Bất phương trình bậc hai ẩn \(x\) là bất phương trình có dạng \(a{x^2} + bx + c > 0\) (hoặc \(\left. {a{x^2} + bx + c \ge 0,a{x^2} + bx + c < 0,a{x^2} + bx + c \le 0} \right)\), trong đó $a, b, c$ là những số thực đã cho và \(a \ne 0\).
- Số thực \({x_0}\) gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c > 0\), nếu \(ax_0^2 + b{x_0} + c > 0\). Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c > 0\) gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.
IV. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
1. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai
Giải bất phương trình bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c > 0\) là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng mà trong đó \(f(x)\) cùng dấu với hệ số a (nếu \(a > 0\)) hay trái dấu với hệ số \(a\) (nếu \(a < 0\)).
Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng \(f(x) > 0\left( {f(x) = a{x^2} + bx + c} \right)\), ta chuyển việc giải bất phương trình đó về việc tìm tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho \(f(x)\) mang dấu "+". Cụ thể, ta làm như sau:
Bước 1. Xác định dấu của hệ số \(a\) và tìm nghiệm của \(f(x)\) (nếu có).
Bước 2. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho \(f(x)\) mang dấu "+”.
Chú ý: Các bất phương trình bậc hai có dạng \(f(x) < 0,f(x) \ge 0,f(x) \le 0\) được giải bằng cách tương tự.
Ví dụ:
Giải bất phương trình: \({x^2} + 5x + 4 > 0\)
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 5x + 4\) có \(\,a = 1 > 0\) và có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = - 4;\,\,{x_2} = - 1\) nên:
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).
Vậy bất phương trình \({x^2} + 5x + 4 > 0\) có tập nghiệm là \(x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).
2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng đồ thị
- Giải bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c > 0\) là tìm tập hợp những giá trị của \(x\) ứng với phần parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía trên trục hoành.
- Tương tự, giải bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c < 0\) là tìm tập hợp những giá trị của \(x\) ứng với phần parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía dưới trục hoành.
V. Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn
Bất phương trình bậc hai một ẩn có nhiều ứng dụng, chẳng hạn: giải một số hệ bất phương trình; ứng dụng vào tính toán lợi nhuận trong kinh doanh; tính toán điểm rơi trong pháo binh;...
VI. Cách bấm máy tính giải bất phương trình bậc 2
Ở đây ta sẽ sử dụng MT CASIO FX-570 VN PLUS
(1): Ấn nút mode
(2): Ấn nút mũi tên chỉ xuống
(Bước 3): Ấn số 1
(4): Ấn tiếp số 1 để chọn bậc của BPT
(5): Ấn số 4 để chọn dạng BPT
Sau khi chọn chế độ giải bất phương trình bậc nhất một ẩn rồi thì ta thay hệ số của bất phương trình cần giải vào và ấn dấu "=”
Ví dụ:
Giải bất phương trình $7x^2-10x-9 \le 0$
Lưu ý: Phải xác định đúng các hệ số $a,b,c$.
VII. Giải phương trình chứa căn dạng 1
Để giải phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \), ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình \(a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\).
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1 .
Bước 3: Thử lại các giá trị \(x\) tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Ví dụ:
Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 6x - 7} = \sqrt {{x^2} - 5x - 1} \).
Giải
Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
\(\begin{array}{l}2{x^2} - 6x - 7 = {x^2} - 5x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 3}\end{array}} \right.\end{array}\)
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có \(x = - 2\) thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - 2\).
VIII. Giải phương trình chứa căn dạng 2
Để giải phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = dx + e\), ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình \(a{x^2} + bx + c = {(dx + e)^2}\).
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1 .
Bước 3: Thử lại các giá trị \(x\) tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Chú ý: Ở một số phương trình ta phải biến đổi hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng phương trình trên.
Ví dụ:
Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 5x - 13} = x + 1\).
Giải
Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
\(\begin{array}{l}3{x^2} + 5x - 13 = {(x + 1)^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 5x - 13 = {x^2} + 2x + 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 14 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \dfrac{7}{2}}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có \(x = 2\) thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\).
