I. Xác suất của biến cố trong một số trò chơi đơn giản
1. Phương sai
Cho mẫu số liệu thống kê có \(n\) giá trị \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}\) và số trung bình cộng là \(\bar x\).
Ta gọi số \({s^2} = \dfrac{{{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + \ldots + {{\left( {{x_n} - \bar x} \right)}^2}}}{n}\) là phương sai của mẫu số liệu trên.
Chú ý: Có thể biến đổi công thức tính phương sai ở trên thành:
\({s^2} = \dfrac{1}{n}\left( {x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2} \right) - {\bar x^2}.\)
Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là \({\hat s^2}\), được tính bởi công thức:
\({\hat s^2} = \dfrac{1}{{n - 1}}\left[ {{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + \ldots + {{\left( {{x_n} - \bar x} \right)}^2}} \right]\)
2. Độ lệch chuẩn
Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê: \(s = \sqrt {{s^2}} \)
3. Tính hợp lí của số liệu thống kê
Giả sử \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) là tứ phân vị của mẫu số liệu và hiệu \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó. Một giá trị trong mẫu số liệu được coi là một giá trị bất thường nếu nó nhỏ hơn \({Q_1} - \dfrac{3}{2}{\Delta _Q}\) hoặc lớn hơn \({Q_3} + \dfrac{3}{2}{\Delta _Q}\).
Như vậy, khoảng tứ phân vị cho ta cách nhận ra giá trị bất thường của mẫu số liệu.
4. Xác suất của biến cố trong trò chơi tung đồng xu
- Tập hợp \(A\) các kết quả có thể xảy ra đối với sự kiện trên là: \(A = \{ {\rm{SS}};{\rm{NN}}\} \). Ta thấy \(A \subset \Omega \). Tập hợp \(A\) còn gọi là biến cố ngẫu nhiên (hay gọi tắt là biến cố) trong trò chơi nói trên.
Xác suất của biến cố \(A\), kí hiệu \({\rm{P}}(A)\), là tỉ số giữa số các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) và số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \):
\({\rm{P}}(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
ở đó \(n(A),n(\Omega )\) lần lượt là số phần tử của hai tập hợp \(A\) và \(\Omega \).
5. Xác suất của biến cố trong trò chơi gieo xúc xắc
Tập hợp \(\Omega \) các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc sau hai lần gieo là \(\Omega = \{ (i;j)\mid i,j = 1,2,3,4,5,6\} \), trong đó \((i;j)\) là kết quả "Lần thứ nhất xuất hiện mặt \(i\) chấm, lần thứ hai xuất hiện mặt \(j\) chấm".
Xác suất của biến cố \(C\), kí hiệu \({\rm{P}}(C)\), là tỉ số giữa số các kết quả thuận lợi cho biến cố \(C\) và số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) :
\({\rm{P}}(C) = \dfrac{{n(C)}}{{n(\Omega )}}\)
ở đó \(n(C),n(\Omega )\) lần lượt là số phần tử của hai tập hợp \(C\) và \(\Omega \).
II. Xác suất của biến cố
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
- Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện.
- Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể khi thực hiện phép thử. Kí hiệu là \(\Omega \).
- Kết quả thuận lợi cho một biến cố \(E\) liên quan tới phép thử \(T\) là kết quả của phép thử \(T\) làm cho biến cố đó xảy ra.
2. Biến cố
Biến cố ngẫu nhiên (gọi tắt là biến cố) là một tập con của không gian mẫu.
Tập con \(\Omega \backslash A\) xác định một biến cố, gọi là biến cố đối của biến cố \(A\). Kí hiệu là \(\bar A\).
Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra, kí hiệu là \(\Omega \).
Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra, kí hiệu là \(\emptyset \).
3. Xác suất của biến cố
Xác suất của biến cố \(A\), kí hiệu là \({\rm{P}}(A)\), bằng tỉ số \(\dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\), ở đó \(n(A),n(\Omega )\) lần lượt là số phần tử của hai tập hợp \(A\) và \(\Omega \). Như vậy: \({\rm{P}}(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\).
4. Tính chất của xác suất
Xét phép thử \(T\) với không gian mẫu là \(\Omega \). Khi đó, ta có các tính chất sau:
- \({\rm{P}}(\emptyset ) = 0;{\rm{P}}(\Omega ) = 1\);
- \(0 \le {\rm{P}}(A) \le 1\) với mỗi biến cố \(A\);
- \({\rm{P}}(\bar A) = 1 - {\rm{P}}(A)\) vối mỗi biến cố \(A\).
5. Nguyên lí xác suất bé
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.
III. Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
1. Sử dụng phương pháp tổ hợp
Trong nhiều bài toán, để tính số phần tử của không gian mẫu, của các biến cố, ta thường sử dụng các quy tắc đếm, các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
2. Sử dụng sơ đồ hình cây
Trong một số bài toán, phép thử \(T\) được hình thành từ một vài phép thử, chẳng hạn: gieo xúc xắc liên tiếp bốn lần; lấy ba viên bi, mỗi viên từ một hộp;... Khi đó ta sử dụng sơ đồ hình cây để có thể mô tả đầy đủ, trực quan không gian mẫu và biến cố cần tính xác suất.
3. Xác suất của biến cố đối
Cho \(E\) là một biến cố. Xác suất của biến cố \(\bar E\) liên hệ với xác suất của \(E\) bởi công thức sau:
\(P(\bar E) = 1 - P(E).\)
Chú ý: Trong một số bài toán, nếu tính trực tiếp xác suất của biến cố gặp khó khăn, ta có thể tính gián tiếp bằng cách tính xác suất của biến cố đối của nó.
