Bài tập cuối chương IV

I. Sơ đồ tư duy Bài tập cuối chương IV

II. Khái niệm vectơ

1. Khái niệm vectơ

- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối.

- Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu : $\overrightarrow {AB}$

Vectơ còn được kí hiệu là: $\overrightarrow a ,{\rm{ }}\overrightarrow b ,{\rm{ }}\overrightarrow x ,{\rm{ }}\overrightarrow y ,...$

- Độ dài đoạn thẳng $AB$ gọi là độ dài vectơ $\overrightarrow {AB}$, kí hiệu $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$. Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB$.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ

Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương          

3. Hai vectơ bằng nhau

- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Nhận xét: Khi cho trước vectơ $\vec a$ và điểm $O$, thì ta luôn tìm được một điểm $A$ duy nhất sao cho $\overrightarrow {OA} = \vec a$.

Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow a$ là vectơ ngược hướng và có cùng độ dài với vectơ $\overrightarrow a$

Kí hiệu: $- \overrightarrow a$

Như vậy $\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow 0 {\rm{, }}\forall \overrightarrow a$ và $\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA}$

4. Vectơ-không

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là $\overrightarrow 0$

III. Tổng và hiệu của hai vectơ

1.Tổng của hai vectơ

a. Định nghĩa:

Cho hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b$. Từ điểm A tùy ý vẽ $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a$ rồi từ B vẽ $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b$.

Khi đó vectơ $\overrightarrow {AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b$.

Kí hiệu $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b$

b. Tính chất :

+ Giao hoán : $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a$

+ Kết hợp : $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$

+ Tính chất vectơ – không: $\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow a {\rm{, }}\forall \overrightarrow a$

c. Các quy tắc:

Quy tắc ba điểm : Cho $A,B,C$ tùy ý, ta có : $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Quy tắc hình bình hành : Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$

2. Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là tổng của vectơ $\overrightarrow a$ và vectơ đối của vectơ $\overrightarrow b$.

Kí hiệu là $\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right)$

Chú ý:

Quy tắc về hiệu vectơ: Cho $O,A,B$ tùy ý ta có: $\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB}$

IV. Tích của một số với một vectơ

1. Định nghĩa tích của một vectơ với một số

Tích của vectơ $\overrightarrow a$ với số thực $k \ne 0$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow a$, cùng hướng với $\overrightarrow a$ nếu $k > 0$, ngược hướng với $\overrightarrow a$ nếu $k < 0$ và có độ dài bằng $\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$

Quy ước: $0\overrightarrow a = \overrightarrow 0$ và $k\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0$

2. Tính chất của phép nhân vectơ với một số

Với hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ bất kì, với mọi số thực $k$ và $m$, ta có:

$\begin{array}{l}{\rm{i}}){\rm{ }}(k + m)\overrightarrow a = k\overrightarrow a + m\overrightarrow a {\rm{   }}\\{\rm{ii}}){\rm{ }}k(\overrightarrow a \pm \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a \pm k\overrightarrow b {\rm{ }}\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\\{\rm{iii}})\,\,k(m\overrightarrow a ) = (km)\overrightarrow a {\rm{   }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\\{\rm{iv}})\,\,\,k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \end{array} \right.\\{\rm{v) 1}}\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\,\,\,( - {\rm{1)}}\overrightarrow a = - \overrightarrow a \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$

3. Một số ứng dụng tích của một vectơ với một số

a. Trung điểm của đoạn thẳng

Cho $I$ là trung điểm $AB$ và một điểm $M$ bất kì, khi đó:

+) $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$.

+) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI}$.

b. Trọng tâm của tam giác

Cho $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là một điểm bất kì, khi đó:

+) $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

+) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$.

c. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\vec a$ và $\vec b(\vec b \ne \vec 0)$ cùng phương là có một số thực $k$ để $\vec a = k\vec b$.

Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng là có số thực $k$ để $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .$

Chú ý: Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương. Với mọi vectơ $\vec c$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực $(m;n)$ sao cho $\vec c = m\vec a + n\vec b$.

d. Phương pháp phân tích một véctơ qua hai véctơ không cùng phương:

Sử dụng các quy tắc ba điểm (xen thêm điểm vào giữa để làm xuất hiện các véctơ không cùng phương đề bài yêu cầu), các tính chất trung điểm, trọng tâm, tích của một véctơ với một số để biến đổi làm sao cho xuất hiện.

Chú ý: Cho đoạn thẳng $AB$, một điểm $I \in AB$ thỏa mãn $\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB}$ thì với điểm $M$ bất kì ta luôn có:

$\overrightarrow {MI} = \dfrac{{ - 1}}{{k - 1}}\overrightarrow {MA} + \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {MB}$

V. Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ đều khác $\overrightarrow 0$. Từ một điểm $O$ bất kì ta vẽ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b$

Khi đó, số đo của góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$

Kí hiệu: $\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \widehat {AOB}$.

+ Quy ước : Nếu $\overrightarrow a = \overrightarrow 0$ hoặc $\overrightarrow b = \overrightarrow 0$ thì ta xem góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là tùy ý (từ ${0^0}$ đến ${180^0}$).

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow a .\overrightarrow b$, được xác định bởi công thức: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

3. Tính chất tích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ bất kì $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ và mọi số thực k ta luôn có:

 $\begin{array}{l}1){\rm{ }}\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a \\2){\rm{ }}\overrightarrow a (\overrightarrow b \pm \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b \pm \overrightarrow a .\overrightarrow c \\3){\rm{ }}(k\overrightarrow a )\overrightarrow b = k(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a (k\overrightarrow b )\\4){\rm{ }}{\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \end{array}$

4. Một số ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ

a. Tính độ dài của đoạn thẳng

Với hai điểm $A, B$ phân biệt, ta có: ${\overrightarrow {AB} ^2} = |\overrightarrow {AB} {|^2}$.

Do đó độ dài đoạn thẳng $A B$ được tính như sau: $AB = \sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}}$.

b. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

- Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0$.

- Cũng như vậy, hai đường đường thẳng $a$ và $b$ vuông góc khi và chỉ khi $\vec u \cdot \vec v = 0$, trong đó $\vec u \ne \vec 0,\vec v \ne \vec 0$, giá của vectơ $\vec u$ song song hoặc trùng với đường thẳng $a$ và giá của vectơ $\vec v$ song song hoặc trùng với đường thẳng $b$.

VI. Tọa độ của vectơ

1. Tọa độ của một điểm

Để xác định toạ độ của một điểm $M$ tuỳ ý trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, ta làm như sau:

- Từ $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm $H$ ứng với số $a$. Số $a$ là hoành độ của điểm $M$.

- Từ $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm $K$ ứng với số $b$. Số $b$ là tung độ của điểm $M$.

Cặp số $(a;b)$ là toạ độ của điểm $M$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

Ta kí hiệu là $M(a;b)$.

2. Tọa độ của một vectơ

Tọa độ của điểm $M$ được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OM}$.

Nếu $\overrightarrow {OM}$ có toạ độ $(a;b)$ thì ta viết $\overrightarrow {OM} = (a;b)$.

Định lí:

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, nếu $\vec u = (a;b)$ thì $\vec u = a\vec i + b\vec j$. Ngược lại, nếu $\vec u = a\vec i + b\vec j$ thì $\vec u = (a;b)$.

3. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.

VII. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Cho $\vec u{\rm{\;}} = (x;y)$ ;$\vec u'{\rm{\;}} = (x';y')$ và số thực . Khi đó ta có:

1) $\vec u = \vec u' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = x'}\\{y = y'}\end{array}} \right.$  

2) $\vec u{\rm{\;}} \pm \vec v{\rm{\;}} = (x \pm x';y \pm y')$

3) $k.\vec u{\rm{\;}} = (kx;ky)$

4) $\vec u'$ cùng phương $\vec u$($\vec u{\rm{\;}} \ne \vec 0$) khi và chỉ khi có số $k$ sao cho $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x' = kx}\\{y' = ky}\end{array}} \right.$

2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

a)Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Nếu $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ là trung điểm đoạn thẳng $A B$ thì

${x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}.$

b) Cho tam giác $A B C$ có $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Nếu $G\left( {{x_G};{y_G}} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì

${x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}.$

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu $\vec u = \left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $\vec v = \left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì $\vec u \cdot \vec v = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}$.

Nhận xét

a) Nếu $\vec a = (x;y)$ thi $|\vec a| = \sqrt {\vec a \cdot \vec a} = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

b) Nếu $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì $AB = |\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}$.

c) Với hai vectơ $\vec u = \left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $\vec v = \left( {{x_2};{y_2}} \right)$ khác $\vec 0$, ta có:

$\vec u$ và vuông góc với nhau khi và chỉ khi ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0$.

$\cos (\vec u,\vec v) = \dfrac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}.$