I. Phương trình tham số của đường thẳng
Vectơ \(\overrightarrow u \) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và giá của \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với \(\Delta \).
Chú ý:
Nếu \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}} \right.\)(với \({a^2} + {b^2} > 0,\,\,t \in R\)) trong đó \(t\) là tham số,
được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận\(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\) làm vecto chỉ phương.
Nhận xét:
Cho \(t\) một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng \(\Delta \) và ngược lại.
Ví dụ:
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {2;7} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
b) Tìm toạ độ điểm M trên \(\Delta \), biết M có hoành độ bằng –4.
Giải
a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \):\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 7 + 5t}\end{array}} \right.\)
b) Thay \(x = --4\) vào phương trình \(x = 2--3t\), ta được \(--4 = 2--3t\), suy ra \(t = 2\).
Thay \(t = 2\) vào phương trình \(y = 7 + 5t\), ta được \(y = 17\).
Vậy \(M = \left( {--4;17} \right).\)
II. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Vectơ \(\overrightarrow n \) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) và giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\Delta \).
Chú ý:
- Nếu \(\overrightarrow u \) là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).
- Hai vectơ \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) và \(\left( { - b;a} \right)\) vuông góc với nhau nên nếu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.
Phương trình tổng quát:
Phương trình \(ax + {\rm{ }}by + {\rm{ }}c = 0\) (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét
- Đường thẳng A đi qua điểm \(M\left( {x;y} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
\(a\left( {x - {x_0}} \right) + {\rm{ }}b\left( {y - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + \left( { - ax - by} \right) = 0\)
- Mỗi phương trình \(ax + {\rm{ }}by + {\rm{ }}c = 0\) (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng \(\Delta \) trên mặt phẳng toạ độ nhận một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\).
Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3{\rm{ }};2} \right).\)
Giải
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là:
\(3\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0\)
hay \(3x + 2y - 2 = 0.\)
