I. Phương trình tham số của đường thẳng
Vectơ →u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ nếu →u≠→0 và giá của →u song song hoặc trùng với Δ.
Chú ý:
Nếu →u là một vectơ chỉ phương của Δ thì k→u(k≠0) cũng là một vectơ chỉ phương của Δ.
Hệ {x=x0+aty=y0+bt(với a2+b2>0,t∈R) trong đó t là tham số,
được gọi là phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua M0(x0;y0) và nhận→u=(a;b) làm vecto chỉ phương.
Nhận xét:
Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng Δ và ngược lại.
Ví dụ:
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm A(2;7) và nhận →u=(−3;5) làm vectơ chỉ phương.
b) Tìm toạ độ điểm M trên Δ, biết M có hoành độ bằng –4.
Giải
a) Phương trình tham số của đường thẳng Δ:{x=2−3ty=7+5t
b) Thay x=−−4 vào phương trình x=2−−3t, ta được −−4=2−−3t, suy ra t=2.
Thay t=2 vào phương trình y=7+5t, ta được y=17.
Vậy M=(−−4;17).
II. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Vectơ →n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ nếu →n≠→0 và giá của →n vuông góc với Δ.
Chú ý:
- Nếu →u là một vectơ pháp tuyến của Δ thì k→u(k≠0) cũng là một vectơ pháp tuyến của Δ.
- Hai vectơ →n(a;b) và (−b;a) vuông góc với nhau nên nếu →n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ thì →u là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.
Phương trình tổng quát:
Phương trình ax+by+c=0 (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét
- Đường thẳng A đi qua điểm M(x;y) và nhận →n(a;b) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
a(x−x0)+b(y−y0)=0⇔ax+by+(−ax−by)=0
- Mỗi phương trình ax+by+c=0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng Δ trên mặt phẳng toạ độ nhận một vectơ pháp tuyến là →n(a;b).
Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ đi qua điểm A(−2;4) và có vectơ pháp tuyến là →n=(3;2).
Giải
Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là:
3(x+2)+2(y−4)=0
hay 3x+2y−2=0.
