Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng

Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng

${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} =$ và ${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0.{\rm{ }}$

Khi đó, toạ độ giao điểm của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0}\\{{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0.}\end{array}} \right.$

${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow$ hệ $(*)$ có nghiệm duy nhất $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$.

${\Delta _1}$ song song với ${\Delta _2} \Leftrightarrow$ hệ $(*)$ vô nghiệm.

${\Delta _1}$ trùng ${\Delta _2} \Leftrightarrow$ hệ $(*)$ có vô số nghiệm.

Dựa vào các vectơ chỉ phương ${\vec u_1},{\bar u_2}$ hoặc các vectơ pháp tuyến ${\vec n_1},\overrightarrow {{n_2}}$ của ${\Delta _1},{\Delta _2}$, ta có:

- ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song hoặc trùng nhau $\Leftrightarrow {\bar u_1}$ và ${\bar u_2}$ cùng phương $\Leftrightarrow {\bar n_1}$ và $\overline {{n_2}}$ cùng phương.

- ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}$ và $\overline {{u_2}}$ không cùng phương $\Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}}$ và $\overline {{n_2}}$ không cùng phương.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $\Delta :x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0$ và mỗi đường thẳng sau:

$\begin{array}{l}{\Delta _1}:\sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0\\{\Delta _2}:\sqrt 2 x - 2y = 0.\end{array}$

Giải

Vì $x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 (x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 ) = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0.$

Vậy $\Delta$ và ${\Delta _1}$ là một, tức là chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta _2}$ có hai vectơ pháp tuyến $\vec n(1; - \sqrt 2 )$ và $\overline {{n_2}} (\sqrt 2 ; - 2)$ cùng phương.

Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, điểm $O(0;0)$ thuộc đường thẳng ${\Delta _2}$ nhưng không thuộc đường thẳng $\Delta$, nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.

Nhận xét. Giả sử hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ (hay hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ ) cùng phương. Khi đó:

- Nếu ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có điểm chung thì ${\Delta _1}$ trùng ${\Delta _2}$.

- Nếu tồn tại điểm thuộc ${\Delta _1}$ nhưng không thuộc ${\Delta _2}$ thì ${\Delta _1}$ song song với ${\Delta _2}$.

II. Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.

Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng ${0^\circ }$.

Cho hai đường thẳng

${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right)$;

${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right)$.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

Khi đó

Chú ý

- ${\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0$.

- Nếu ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có các vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ thì góc $\varphi$ giữa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cũng được xác định thông qua công thức $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {{{\vec u}_1},\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|$.

Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng

${\Delta _1}:\sqrt 3 x - y + 2 = 0$ và ${\Delta _2}:x - \sqrt 3 y - 2 = 0.$

Giải

Vectơ pháp tuyến của ${\Delta _1}$ là $\overrightarrow {{n_1}} = (\sqrt 3 ; - 1)$, của ${\Delta _2}$ là $\overrightarrow {{n_2}} = (1; - \sqrt 3 )$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$. Ta có

$\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overline {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{|\sqrt 3 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - \sqrt 3 )|}}{{\sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Do đó, góc giữa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là $\varphi = {30^\circ }$.

III. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ được tính theo công thức

Nhận xét. Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm $M(2;4)$ đến đường thẳng $\Delta :3x + 4y - 12 = 0$.

Giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điềm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, ta có

$d(M,\Delta ) = \dfrac{{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 - 12|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{10}}{5} = 2$

Vậy khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là 2 .