Hypebol

Sách kết nối tri thức với cuộc sống

Đổi lựa chọn

  •   
Tính đối xứng của hypebol, trục thực, trục ảo, tiêu điểm, tiêu cự của hypebol

I. Tính đối xứng của hypebol

Trong mặt phẳng Oxy,xét hypebol có phương trình chính tắc x2a2y2b2=1(a>0;b>0):

- Cắt trục Ox tại hai đỉnh A1(a;0),A2(a;0) nhưng không cắt trục Oy

- Trục thực là A1A2 có độ dài 2a.

- Trục ảo là B1B2 có độ dài 2b với B1(0;b),B2(0;b) là 2 điểm trên Oy.

- Hai tiêu điểm F1(c;0),F2(c;0) với c=a2+b2.

- Tiêu cự 2c là khoảng cách giữa 2 tiêu điểm.

Chú ý: Nếu điểm M(x;y) nằm trên hypebol (H) thì các điểm M1(x;y),M2(x;y),M3(x;y) cũng nằm trên hypebol (H).

Hypebol (H) nhận hai trục tọa độ làm hai trục đối xứng và gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Gốc O còn được gọi là tâm của hypebol (H).

II. Hình chữ nhật cơ sở của hypebol

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là x2a2y2b2=1 với a>0,b>0. Khi đó, ta có:

- Hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là P(a;b),Q(a;b),R(a;b),S(a;b).

- Mọi điểm của hypebol nếu không phải là đỉnh đều nằm ngoài hình chữ nhật cơ sở của nó.

- Độ dài B1B3=2b được gọi là độ dài trục ảo của hypebol (H).

- Hai đường thẳng PR và QS lần lượt có phương trình y=bax,y=bax và được gọi là hai đường tiệm cận của hypebol (H).

III. Tâm sai của hypebol

Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của hypebol là tâm sai của hypebol và được kí hiệu là e, tức là e=ca.

Nhận xét:

+ e=ca>1

+ e=a2+b2a=1+(ba)2

Ví dụ:

Tìm tâm sai của hypebol (H):x264y236=1.

Giải

Ta có a=8,b=6 suy ra c=a2+b2=10

Vậy tâm sai của (H) là e=ca=108=54.

IV. Bán kính qua tiêu của một điểm thuộc hypebol

Cho hypebol có phương trình chính tắc x2a2y2b2=1 với các tiêu điểm F1(c;0),F2(c;0) (với c=a2+b2). Với M(x;y) thuộc hypebol, ta có

MF1=|a+cax|,MF2=|acax|

Các đoạn thẳng MF1,MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.

Ví dụ:

Cho hypebol x24y221=1. Tính độ dài bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng -10.

Giải

Ta có: a2=4;b2=21a=4,b=21c=a2+b2=5.

Do đó, hypebol có 2 tiêu điểm là F1(5;0),F2(5;0).

Điểm M thuộc hypebol và có hoành độ x0=10 nên:

MF1=|a+cax0|=|2+52.(10)|=23

MF2=|acax0|=|252.(10)|=27

V. Đường chuẩn của hypebol

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc x2a2y2b2=1 và có hai tiêu điểm F1(c;0),F2(c;0).

Đường thẳng Δ1:x+ae=0 được gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 và đường thẳng Δ2:xae=0 được gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 của hypebol (H).

Với mọi điểm M thuộc hypebol, ta luôn có MF1d(M;Δ1)=MF2d(M;Δ2)=e.

Chú ý: Vì a<ae<ae<a nên đường chuẩn của hypebol không có điểm chung với hypebol đó.

Ví dụ:

Cho điểm M(x;y) trên hypebol (H):x2a2y2b2=1

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

b) Tính tỉ số khoảng cách từ M đến tiêu điểm và đến đường chuẩn tương ứng.

Giải

Ta có a=4;b=3, suy ra c=a+b=5,e=ca=54;ae=a2c=165

a) Ứng với tiêu F1(5;0), ta có đường chuẩn Δ1:x+165=0

  Ứng với tiêu điểm F2(5;0)ta có đường chuẩn Δ2:x165=0

b) Ta có MF1d(M;Δ1)=MF2d(M;Δ2)=e=54