I. Sơ đồ tư duy Ôn tập cuối chương I
II. Mệnh đề
1. Mệnh đề là gì?
Định nghĩa:
Một mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một khẳng định đúng hoặc sai.
Một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng.
Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Kí hiệu: Người ta thường sử dụng các chữ cái P, Q, R,… để biểu thị các mệnh đề.
2. Mệnh đề toán học
Những mệnh đề khẳng định về một sự kiện trong toán học được gọi là mệnh đề toán học.
3. Mệnh đề chứa biến
Ví dụ 1:
Xét câu “ n chia hết cho 2” với n là số tự nhiên
Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này, do đó nó chưa phải là 1 mệnh đề.
Tuy nhiên, nếu thay n bằng số tự nhiên cụ thể thì câu này cho ta một mệnh đề. Chẳng hạn:
+Với \(n = 4\) ta được mệnh đề “4 chia hết cho 2”. Đây là mệnh đề đúng
+ Với \(n = 7\) ta được mệnh đề “7 chia hết cho 2”. Đây là mệnh đề sai.
Ta nói rằng câu “ n chia hết cho 2” là một mệnh đề chứa biến.
4. Phủ định của một mệnh đề
Định nghĩa: Cho mệnh đề \(P\). Mệnh đề “Không phải \(P\)” được gọi là mệnh đề phủ định của \(P\) và kí hiệu là \(\overline P \).
Mệnh đề \(P\) và \(\overline P \) là hai câu khẳng định trái ngược nhau.
Nếu \(P\) đúng \(\overline P \) sai, nếu \(P\) sai thì \(\overline P \) đúng.
Mệnh đề phủ định của \(P\) có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau, miễn là cùng mang một ý nghĩa “không phải \(P\)”.
5. Mệnh đề kéo theo
Định nghĩa: Cho hai mệnh đề \(P\) và \(Q\). Mệnh đề “Nếu \(P\) thì \(Q\)” được gọi là mệnh đề kéo theo.
Kí hiệu: \(P \Rightarrow Q\).
Tính đúng sai: Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi \(P\) đúng, \(Q\) sai và đúng trong các trường hợp còn lại.
6. Mệnh đề đảo
Định nghĩa: Cho mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\). Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).
Tính đúng sai: Nếu mệnh đề ban đầu \(P \Rightarrow Q\) đúng thì mệnh đề đảo \(Q \Rightarrow P\) sai và ngược lại.
Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng
7. Hai mệnh đề tương đương
Định nghĩa: Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.
Kí hiệu: \(P \Leftrightarrow Q\).
Tính đúng sai:
Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) chỉ đúng khi cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng, hay nói cách khác: \(P \Leftrightarrow Q\) chỉ đúng khi cả hai mệnh đề $P,Q$ cùng đúng hoặc cùng sai.
8. Kí hiệu với mọi và tồn tại
Trong toán học, để ngắn gọn, người ta dùng các kí hiệu \(\forall \)(đọc là với mọi) và \(\exists \) (đọc là tồn tại) để phát biểu những mệnh đề.
Tính đúng sai:
Mệnh đề " \(\forall x \in M,P(x)\) " đúng nếu với mọi \({x_0} \in M,P\left( {{x_0}} \right)\) là mệnh để đúng.
Mệnh đề "\(\exists x \in M,P(x)\) " đúng nếu có \({x_0} \in M\) sao cho \(P\left( {{x_0}} \right)\) là mệnh đề đúng.
Chú ý:
Cho mệnh đề " \(P(x),x \in X\) ".
- Phủ định của mệnh đề " \(\forall x \in X,P(x)\) " là mệnh đề " \(\exists x \in X,\overline {P(x)} \) ".
- Phủ định của mệnh đề " \(\exists x \in X,P(x)\) " là mệnh đề " \(\forall x \in X,\overline {P(x)} \) ".
III. Tập hợp
1. Định nghĩa tập hợp
Là một nhóm các phần tử có cùng tính chất hoặc có cùng một đặc điểm nào đó. Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa như: \(A,B,C,...\)
Chú ý: Cho tập hợp \(A\).
+ Nếu \(a\) là phần tử thuộc tập \(A\) ta viết \(a \in A\)
+ Nếu \(a\) là phần tử không thuộc tập \(A\) ta viết \(a \notin A\)
2. Cách xác định tập hợp
Có 2 cách để xác định tập hợp:
a) Liệt kê: Viết tất cả các phần tử của tập hợp vào giữa dấu \(\left\{ {} \right\}\), các phần tử cách nhau bởi dấu “,”.
b) Nêu tính chất đặc trưng: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
Ta thường minh họa tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven.
Chú ý:
Số phần tử của tập hợp S được kí hiệu là \(n\left( S \right)\).
3. Tập hợp rỗng
Là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu là \(\emptyset \).
\(A \ne \emptyset \Leftrightarrow \exists x:x \in A\)
4. Tập hợp con và tập hợp bằng nhau
a. Tập con của một tập hợp
Nếu mọi phần tử của tập hợp \(T\) đều là phần tử của tập hợp \(S\) thì ta nói \(T\) là một tập hợp con (tập con) của \(S\) và viết là \(T \subset S\) (đọc là \(T\) chứa trong \(S\) hoặc \(T\) là tập con của \(S\) ).
Quy ước: Tập hợp rỗng \(\emptyset \) được coi là con của mọi tập hợp.
Nhận xét: \(A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x \in A \Rightarrow x \in B} \right)\)
Chú ý:
+) \(\emptyset \subset A,\forall A\)
+) \({\rm{A}} \subset {\rm{A,}}\forall {\rm{A}}\)
+) \(A \subset B,B \subset C \Rightarrow A \subset C\) (bắc cầu).
+ Số tập con của một tập hợp: Tập hợp \(A\) gồm có \(n\) phần tử thì số tập con của tập hợp \(A\) là \(P\left( A \right) = {2^n}\).
b. Hai tập hợp bằng nhau
Hai tập hợp \(S\) và \(T\) được gọi là hai tập hợp bằng nhau nếu mối phần tử của \(T\) cũng là phần tử của tập hợp \(S\) và ngược lại. Kí hiệu là \(S = T\).
\(A = B \Leftrightarrow \forall x,\left( {x \in A \Leftrightarrow x \in B} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \subset B\\B \subset A\end{array} \right.\)
IV. Các phép toán trên tập hợp
1. Giao của hai tập hợp
Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc \(A\) vừa thuộc \(B\) được gọi là giao của \(A\) và \(B\), kí hiệu \(A \cap B\).
\(A \cap B = {\rm{\{ }}x \in A\)và \(x \in B{\rm{\} }}\) hay \(x \in A \cap B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in A\\x \in B\end{array} \right.\)
2. Hợp của hai tập hợp
Tập hợp gồm các phần tử thuộc \(A\) hoặc thuộc \(B\) được gọi là hợp của \(A\) và \(B\), kí hiệu \(A \cup B\).
\(A \cup B = \left\{ {x|x \in A\,{\rm{hay }}x \in B} \right\}\) hay \(x \in A \cap B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in A\\x \in B\end{array} \right.\)
3. Hiệu của hai tập hợp, phần bù của hai tập hợp
Hiệu của hai tập hợp
Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, kí hiệu là A\B.
\(A\backslash B = {\rm{\{ x}} \in {\rm{A}}\) và \(x \notin B{\rm{\} }}\) hay \(x \in A\backslash B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in A\\x \notin B\end{array} \right.\)
Chú ý: \(A\backslash B \subset A,\,\,B\backslash A \subset B\)
Phần bù
Cho tập hợp A là tập con của tập hợp X. Tập hợp những phần tử của X mà không phải là phần tử của A được gọi là phần bù của A trong X, kí hiệu là \({C_X}A\).
Vậy \({C_X}A = X\backslash A = {\rm{\{ }}x|x \in X\) và \(x \notin A{\rm{\} }}\).
4. Các tập hợp số
Nhắc lại các hàm số đã học
+ Tập các số tự nhiên: \(\mathbb{N} = \left\{ {0,1,2,...} \right\}\)
+ Tập các số tự nhiên khác 0: \({\mathbb{N}^*} = \left\{ {1,2,3,...} \right\}\)
+ Tập các số nguyên: \(\mathbb{Z} = \left\{ {..., - 2, - 1,0,1,2,...} \right\} = \left\{ {0, \pm 1, \pm 2,...} \right\}\)
+ Tập các số hữu tỉ: \(Q = \left\{ {\dfrac{m}{n}|m \in \mathbb{Z},n \in {\mathbb{Z}^*}} \right\}\)
+ Tập số vô tỉ \(I\)
+ Tập các số thực: \(\mathbb{R} = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\) gồm tất cả các số trên kể cả số vô tỉ.
Mối quan hệ giữa các tập hợp số:
\({\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Các tập con của \(\mathbb{R}\)
