Dấu của tam thức bậc hai

I. Dấu của tam thức bậc hai

1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức dạng $a{x^2} + bx + c$. Trong đó $a,b,c$ là những số cho trước với $a \ne 0$.

Nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$; $\Delta  = {b^2} - 4ac$ và $\Delta ' = b{'^2} - ac$ theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Định lí.

Cho tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c(a \ne 0)$ có biệt thức $∆ = b^2– 4ac$.

- Nếu $∆ < 0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in R$.

- Nếu $∆ = 0$ thì $f(x)$ có nghiệm kép $x = -\dfrac{b}{2a}$.

Khi đó $f(x)$ có cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x ≠ -\dfrac{b}{2a}$.

- Nếu $∆ > 0, f(x)$ có $2$ nghiệm ${x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})$ và luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)$ và luôn trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in ({x_1};{x_2})$

Chú ý:

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

II. Tam thức bậc hai

Nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$; $\Delta = {b^2} - 4ac$ và $\Delta ' = b{'^2} - ac$ theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$.

Ví dụ:

a) Biểu thức $f\left( x \right) = - 2{x^2} + x - 1$ là một tam thức bậc hai

b) Biểu thức $g\left( x \right) = - 2x + 5$ không phải là một tam thức bậc hai.