Đề thi học kì 2 Toán lớp 9 - Đề sưu tầm số 4

ĐỀ THI HỌC KỲ II

Môn Toán Lớp 9

Thời gian: 90 phút

Đề: 04

Bài 1: Giải phương trình và hệ phương trình sau :

a) x² + 5x – 6 = 0                    b) 2x⁴ + 3x² – 2 = 0                 c) $\left\{\begin{array}{l}4x+5y=3\\ x-3y=5\end{array}\right.$

Bài 2: Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ Hà Tiên đi Rạch Sỏi. Xe du lịch có vận tốc lớn hơn xe khách là 20 km/h do đó đến Rạch Sỏi trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Biết khoảng cách từ Hà Tiên đến Rạch Sỏi là 100 km.

Bài 3: Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB cố định. Qua A và B vẽ các tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O. Từ một điểm M tùy ý trên nửa đường tròn  (M $\ne$ A và B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 với nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự là H và K.

a) Chứng minh tứ giác AHMO là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AH + BK = HK.

c) Chứng minh tam giác HAO đồng dạng với tam giác AMB và HO . MB = 2R²

Bài 4: Khi quay tam giác ABC vuông ở A một vòng quanh cạnh góc vuông AC cố định, ta được một hình nón. Biết rằng BC = 4 cm, góc ACB bằng 30⁰. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

ĐÁP ÁN

Bài 1:

a) x² + 5x – 6 = 0 có a +  b + c = 1 + 5+ (-6) = 0          

Nên phương trình có 2 nghiệm là: x₁ = 1 ; x₂ = -6.

b) 2x⁴ + 3x² – 2 = 0 (*)

Đặt x² = t (t  0) phương trình (*) trở thành 2t² + 3t – 2 = 0 (**)

 = 3² – 4 . 2 . (-2) = 25 > 0 $\Rightarrow$$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

Phương trình (**) có hai nghiệm $t_1=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn) ; t₂ = -2 (loại)

Với $t_1=\frac{1}{2}\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.$ 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : $S=\left\{-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$.

c) $\left\{\begin{array}{l}4x+5y=3\\ x-3y=5\end{array}\right.$ 

$\iff$$\left\{\begin{array}{l}4(5+3y)+5y=3\\ x=5+3y\end{array}\right.$ 

$\iff$ $\left\{\begin{array}{l}17y=-17\\ x=5+3y\end{array}\right.$

$\iff$$\left\{\begin{array}{l}y=-1\\ x=2\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất: $\left(x;y\right)=\left(2;-1\right)$.

Bài 2:

Gọi vận tốc của xe khách là x (km/h); (x > 0)

Vận tốc xe du lịch là: x + 20 (km/h)                             

Thời gian xe khách đi hết quãng đường là: $\frac{100}{x}$ (h)

Thời gian xe du lịch đi hết quãng đường là: $\frac{100}{x+20}$ (h)

Đổi 50 phút = $\frac{5}{6}$ h

Theo bài ta có phương trình : $\frac{100}{x}$ -  $\frac{5}{6}$ = $\frac{100}{x+20}$                             

600(x + 20) – 5x(x + 20) = 600x

 600x + 12 000 – 5x² – 100x – 600x = 0

5x² + 100x – 12 000 = 0

 x² + 20x – 2 400 = 0                                                                  

Xét: $\Delta \text{'}=$10² + 2400 = 2500 $\Rightarrow \sqrt{\Delta \text{'}}=50$ 

$\Rightarrow x_1= \frac{-10+50}{1}=40$ (thỏa mãn) và $x_2= \frac{-10-50}{1}=-60$ ( loại).

Vậy vận tốc xe khách là 40 km/h và vận tốc xe du lịch là 60 km/h.

Bài 3: 

a) Chứng minh tứ giác AHMO là tứ giác nội tiếp:

Xét tứ giác AHMO có: $\widehat{OAH}=\widehat{OMH}=90°$ (tính chất tiếp tuyến)                     

$\Rightarrow \widehat{OAH}+\widehat{OMH}=180°$

Nên tứ giác AHMO nội tiếp đường tròn.   

b) Chứng minh AH + BK = HK

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Ta có:  AH = MH và MK = KB                                                       

Mà HM + MK = HK (vì M nằm giữa H và K)

AH + BK = HK                                              

c) Ta có: $\widehat{AMB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hai tiếp tuyến tại M và tại A cắt nhau ở H nên OHAM

Mà BMAM

 OH//BM$\Rightarrow \widehat{AOH}=\widehat{ABM}$(hai góc đồng vị)

Xét $\Delta HAO$ và $\Delta AMB$, ta có:

$\widehat{HAO}=\widehat{AMB}=90°$

$\widehat{AOH}=\widehat{ABM}$

$\Rightarrow \Delta HAO~\Delta AMB(g-g)$

 HO . MB = AB . AO = $2R^2$.

Bài 4:

Ta có: AB = 2 cm và AC = $2\sqrt{3}$ cm

S_xq = $8\pi$ cm²
V = $\frac{8\sqrt{3}\pi }{3}$ cm