Đề thi học kì 2 Toán lớp 9 - Đề sưu tầm số 3

ĐỀ THI HỌC KỲ II

Môn Toán Lớp 9

Thời gian: 90 phút

Đề: 03

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm).

Câu 1. Phương trình $x^2-6x+1=0$ có tổng hai nghiệm bằng

A.    -6                     B. 6                    C. 1                           D. -1

Câu 2. Hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{l}3x-y=2\\ x+y=-6\end{array}\right.$ có nghiệm bằng

A.   (x;y)=(-1;5)      B. (x;y)=(1;5)     C. (x;y)=(-1;-5)          D. (x;y)=(1;-5)

Câu 3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, biết $\widehat{DAB}=3\widehat{BCD}$. Khi đó $2\widehat{BCD}$ bằng                A. 90             B. 45                C. 60                 D.180

Câu 4. Phương trình $x^4+3x^2-4=0$ có tổng các nghiệm bằng.

A.   0                       B. 3                      C. 4                            D. -3 

B. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm).

Câu 5. Cho hệ phương trình$\left\{\begin{array}{l}mx-y=3\\ 4x-my=7\end{array}\right.$   ( m là tham số)      (*)

       a, Giải hệ phương trình với m=1

       b, Tìm m để hệ phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

Câu 6. Cho phương trình bậc hai $x^2-2x-3m+1=0$ (m là tham số)     (**)

       a, Giải phương trình với m=0

       b, Tìm m để phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt.

Câu 7. Cho tam giác cân ABC có đáy BC và $\hat{A}=20°$. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm D sao cho DA=DB và $\widehat{DAB}=40°$. Gọi E là giao điểm của AB và CD.

      a, Chứng minh ACBD là tứ giác nội tiếp.

      b, Tính  $\widehat{AED}$.

Câu 8. Cho a,b,c là các số thực, không âm đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

$\left(ab+bc+ca\right).\left(\frac{1}{{\left(a-b\right)}^2}+\frac{1}{{\left(b-c\right)}^2}+\frac{1}{{\left(c-a\right)}^2}\right)\ge 4$

ĐÁP ÁN

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 5:

a) Thay m=1 vào HPT ta được

$\left\{\begin{array}{l}x - y = 3\\ 4x - y = 7\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x - y = 3\\ 5x = 10\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x =2 \\ y= -1\end{array}\right.\right.\right.$

Vậy nghiệm của HPT là (x;y)=(2;-1)

b) HPT có nghiệm duy nhất khi $\frac{m}{4}\ne \frac{-1}{-m}\iff m\ne \pm 2$

Câu 6:

a) Thay m=0 vào PT ta được ${\left(x-1\right)}^2=0\iff x=1$

b) ĐK để phương trình có hai nghiệm phân biệt là $\iff 1-\left(-3m+1\right)>0\iff 3m>0\iff m>0$.

Câu 7:

a) Từ tam giác ABC cân A, tính được $\widehat{BCA}={80}^0$

Từ tam giác cân ADB, tính được $\widehat{ADB}={100}^0$

Suy ra $\widehat{BCA}+\widehat{ADB}={180}^0$. Do đó tứ giác ACBD nội tiếp

b) $\widehat{AED}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn $\widehat{AED}=\frac{{40}^0+{80}^0}{2}={60}^0$

Câu 8:

 Giả sử $c=\min \left\{a,b,c\right\}$ khi đó$ab+bc+ca\ge ab; \frac{1}{{\left(b-c\right)}^2}\ge \frac{1}{b^2}$; $\frac{1}{{\left(a-c\right)}^2}\ge \frac{1}{a^2}$

Ta cần chứng minh

$ab\left(\frac{1}{{\left(a-b\right)}^2}+\frac{1}{{\left(b\right)}^2}+\frac{1}{{\left(a\right)}^2}\right)\ge 4$

. Bằng cách biến đổi tương đương ta được ${\left(\sqrt{\frac{ab}{{\left(a-b\right)}^2}}-\sqrt{\frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab}}\right)}^2\ge 0$.