Đề thi học kì 2 Toán lớp 9 - Đề sưu tầm số 19

ĐỀ THI HỌC KÌ II - TRƯỜNG THCS & THPT LƯƠNG THẾ VINH

Môn thi: Toán 9

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Cho các biểu thức: $P=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}+\frac{x-4\sqrt{x}-9}{9-x};Q=\frac{\sqrt{x}+5}{3-\sqrt{x}}$ với $\mathrm{x}\ge 0;\mathrm{x}\ne 9$

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x sao cho P = 3

c) Đặt M = P : Q. Tìm x để $\left|M\right|<\frac{1}{2}$.

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) trong 1 giờ 12 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 30 phút và vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được $\frac{7}{12}$ bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể?

Bài 3: (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{\sqrt{2x-y}}-\frac{21}{x+y}=\frac{1}{2}\\ \frac{3}{\sqrt{2x-y}}+\frac{7-x-y}{x+y}=1\end{array}\right.$

2) Cho hai hàm số: y = 2x – 1 và $\mathrm{y}=-\frac{1}{2}x+4$

a) Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hai hàm số trên

b) Gọi N, P lần lượt là giao điểm của hai đồ thị trên với trục Oy. Tính diện tích ΔMNP.

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và điểm M bất kì thuộc đường tròn (M ≠ A, B) . Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BM ở N. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AN ở D.

a) Chứng minh: 4 điểm A, D, M , O cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: OD // BM và suy ra D là trung điểm của AN

c) Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BM cắt tia DM ở E. Chứng minh: BE là tiếp tuyến của đường tròn (O ; R)

d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng BM tại I. Gọi giao điểm của AI và BD là J. Khi điểm M di động trên (O ; R) thì J chạy trên đường nào?

Bài 5: (0,5 điểm) Cho a > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=a^2+4a+15+\frac{36a+81}{a^2}$

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) $\mathrm{P}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}-2}{\sqrt{\mathrm{x}}-3}+\frac{\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\sqrt{\mathrm{x}}+3}+\frac{\mathrm{x}-4\sqrt{\mathrm{x}}-9}{9-\mathrm{x}}$ với $\mathrm{x}\ge 0;\mathrm{x}\ne 9$

$=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{\mathrm{x}}+3)}{(\sqrt{\mathrm{x}}-3)(\sqrt{\mathrm{x}}+3)}+\frac{(\sqrt{\mathrm{x}}+1)(\sqrt{\mathrm{x}}-3)}{(\sqrt{\mathrm{x}}-3)(\sqrt{\mathrm{x}}+3)}-\frac{\mathrm{x}-4\sqrt{\mathrm{x}}-9}{(\sqrt{\mathrm{x}}-3)(\sqrt{\mathrm{x}}+3)}$
$=\frac{x+\sqrt{x}-6+x-2\sqrt{x}-3-x+4\sqrt{x}+9}{(\sqrt{\mathrm{x}}-3)(\sqrt{\mathrm{x}}+3)}$

$=\frac{x+3\sqrt{x}}{(\sqrt{\mathrm{x}}-3)(\sqrt{\mathrm{x}}+3)}$
$=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{\mathrm{x}}-3)(\sqrt{\mathrm{x}}+3)}$

$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\mathrm{x}}-3}$

b)  

$P=3\iff \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}=3\iff \sqrt{x}=3\sqrt{x}-9$

$\iff 2\sqrt{\mathrm{x}}=9\iff \sqrt{x}=\frac{9}{2}\iff x=\frac{81}{4}$

Vậy với $x=\frac{81}{4}$ thì $P = 3$

c) $M=P:Q=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}:\frac{x+5}{3-\sqrt{x}}=\frac{-\sqrt{x}}{x+5}$

$\left|M\right|<\frac{1}{2}\iff -\frac{1}{2}<M<\frac{1}{2}\iff -\frac{1}{2}<\frac{-\sqrt{x}}{x+5}<\frac{1}{2}$
$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-\sqrt{x}}{x+5}>\frac{-1}{2}\\ \frac{-\sqrt{x}}{x+5}<\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-\sqrt{x}}{x+5}+\frac{1}{2}>0\\ \frac{-\sqrt{x}}{x+5}-\frac{1}{2}<0\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-2\sqrt{x}+x+5}{2(x+5)}>0\\ \frac{-2\sqrt{x}-x-5}{2(x+5)}<0\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{x}+x+5>0\\ -2\sqrt{x}-x-5<0\end{array}\right.(\mathrm{do} x\ge 0 \mathrm{nên} x+5>0)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{(\sqrt{x}-1)}^2+4>0\\ -{(\sqrt{x}+1)}^2-4<0\end{array}\right.$( luôn đúng)

Vậy với mọi x thỏa mãn điều kiện x ≥ 0;x ≠ 9 thì $\left|M\right|<\frac{1}{2}$.

Bài 2:

Đổi 1 giờ 12' = $\frac{6}{5}$ (h)

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (h) $\left(x>\frac{6}{5}\right)$

Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y (h) $\left(\mathrm{y}>\frac{6}{5}\right)$

Trong 1h vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ (bể nước)

Trong 1h vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{\mathrm{y}}$ (bể nước)

Trong 1h cả hai vòi chảy được $\frac{1}{x}+\frac{1}{\mathrm{y}}$ (bể nước)

Do cả 2 vòi chảy trong 1 giờ 12 phút thì đầy bể nên ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{5}{6}$.

Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 30 phút và vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được $\frac{7}{12}$ bể nên ta có phương trình: $\frac{1}{2x}+\frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{7}{12}$.

Ta có hệ phương trình:

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\\ \frac{1}{2x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2x}=\frac{1}{4}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end{array}\right.$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong 2 giờ thì đầy bể

Vòi thứ hai chảy một mình trong 3 giờ thì đầy bể.

Bài 3:

1) $\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{\sqrt{2x-y}}-\frac{21}{x+y}=\frac{1}{2}\\ \frac{3}{\sqrt{2x-y}}+\frac{7-x-y}{x+y}=1\end{array}\right.$

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}2x-y>0\\ x+y\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y>0\\ x\ne -y\end{array}\right.$

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2x-y}}=u\\ \frac{1}{x+y}=v\end{array}\right.\left(u>0\right)$. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}4u-21v=\frac{1}{2}\\ 3u+7v=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4u-21v=\frac{1}{2}\\ 9u+21v=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}13u=\frac{13}{2}\\ 9u+21v=6\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}u=\frac{1}{2}\\ 9u+21v=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}u=\frac{1}{2}\\ 9.\frac{1}{2}+21v=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}u=\frac{1}{2}\\ v=\frac{1}{14}\end{array}\right.$(thỏa  mãn điều kiện)

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2x-y}}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{x+y}=\frac{1}{14}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2x-y}=2\\ x+y=14\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y=4\\ x+y=14\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x=18\\ x+y=14\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=8\end{array}\right.$ (Thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (6; 8)

2) Tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ y=\frac{-1}{2}x+4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ \frac{1}{2}x+y=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{5}{2}x=5\\ 2x - y = 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 4-y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$

Vậy tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng trên là M (2; 3)

Gọi N là giao điểm của đường thẳng y = 2x – 1 với Oy $\Rightarrow$ N (0; -1)

Gọi P là giao điểm của đường thẳng $\mathrm{y}=\frac{-1}{2}x+4$ với Oy $\Rightarrow$ P (0; 4)

Gọi E là hình chiếu vuông góc của M trên Oy

$\Rightarrow$ EM ⊥ PN; EM = 2

Ta có $PN=\left|{\mathrm{y}}_P\right|+\left|{\mathrm{y}}_N\right|=5$

$S_{\Delta PMN}=\frac{1}{2}EM.PN=\frac{1}{2}.2.5=5$ (đơn vị diện tích)

Bài 4:

a) Xét tứ giác ADMO có:

$\widehat{DMO}=90°$ (do M là tiếp tuyến của (O))

$\widehat{DAO}=90°$ (do AD là tiếp tuyến của (O))

$\Rightarrow \widehat{DMO}+\widehat{DAO}=90°+90°=180°$

$\Rightarrow$ Tứ giác ADMO là tứ giác nội tiếp.

b) Do D là giao điểm của 2 tiếp tuyến DM và DA nên OD là tia phân giác của $\widehat{AOM}$

$\Rightarrow \widehat{AOD}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}$

Mặt khác ta có $\widehat{ABM}$ là góc nội tiếp chắn cung AM

$\Rightarrow \widehat{ABM}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}$
$\Rightarrow \widehat{AOD}=\widehat{ABM}$

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow$ OD // BM

Xét tam giác ABN có: OM// BM; O là trung điểm của AB

$\Rightarrow$ D là trung điểm của AN

c) Ta có: ΔOBM cân tại O; OE ⊥ MB; OE là đường trung trực của MB

$\Rightarrow$ EM = EB $\Rightarrow$ΔMEB cân tại E $\Rightarrow \widehat{EMB}=\widehat{EBM}$(1)

ΔOBM cân tại O => $\widehat{OMB} = \widehat{OBM}$ (2)

Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được:

$\begin{array}{l}\widehat{EMB}+\widehat{OMB}=\widehat{EMB}+\widehat{OBM}\\ \iff \widehat{EMO}=\widehat{EBO}\\ \iff \widehat{EBO}=90°\end{array}$

$\Rightarrow$ OB ⊥ BE

Vậy BE là tiếp tuyến của (O).

d) Lấy điểm E trên tia OA sao cho $OE=\frac{OA}{3}$

Xét tam giác ABI có OI vừa là đường cao vừa là trung tuyến

$\Rightarrow$ Tam giác ABI cân tại I $\Rightarrow$ IA = IB; $\widehat{IBA}=\widehat{IAB}$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{IBA}}=\widehat{\mathrm{IAB}}\\ \widehat{\mathrm{IBA}}+\widehat{\mathrm{INA}}={90}^o\\ \widehat{\mathrm{NAI}}+\widehat{\mathrm{IAB}}=\widehat{\mathrm{NAB}}={90}^o\end{array}\right.$

$\Rightarrow \widehat{NAI}=\widehat{INA}\Rightarrow$ΔINA cân tại I $\Rightarrow$ IA = IN

Tam giác NAB vuông tại A có: IA = IN = IB

$\Rightarrow$ IA là trung tuyến của tam giác NAB

Xét ΔBNA có:

IA và BD là trung tuyến; IA ∩ BD = {J}

$\Rightarrow$ J là trọng tâm của tam giác BNA

Xét tam giác AIO có: $\frac{AJ}{AI}=\frac{AE}{A0}=\frac{2}{3}\Rightarrow JE//OI$

$\Rightarrow$ J nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng bằng $\frac{R}{3}$.

Phần đảo: Lấy điểm J' bất kì thuộc đường thẳng d

Do d// OI (cùng vuông góc AB) nên ta có:

$\frac{\mathrm{AJ}\text{'}}{\mathrm{AI}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AO}}$

Mà $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AO}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{\mathrm{AJ}{\text{'}}^{\text{'}}}{\mathrm{AI}}=\frac{2}{3}$

AI là trung tuyến của tam giác NAB

 J' là trọng tâm tam giác NAB

Vậy khi M di chuyển trên (O) thì J di chuyển trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng là $\frac{R}{3}$.

Bài 5:

Với a > 0, ta có:

$P=a^2+4a+15+\frac{36a+81}{a^2}=a^2+4a+15+\frac{36a}{a^2}+\frac{81}{a^2}=\left(a^2+\frac{81}{a^2}\right)+\left(4a+\frac{36}{a}\right)+15$

Vì $a>0$ nên $a^2>0$ $\Rightarrow \frac{81}{a^2}>0,4 a>0,\frac{36}{a}>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho các cặp số $a^2$ và $\frac{81}{a^2}$; $4a$ và $\frac{36}{a}$, ta được:

+) $a^2+\frac{81}{a^2}\ge 2·\sqrt{a^2·\frac{81}{a^2}}$

$\Rightarrow a^2+\frac{81}{a^2}\ge 2·\sqrt{81}$

$\Rightarrow a^2+\frac{81}{a^2}\ge 18$ (1)

+) $4a+\frac{36}{a}\ge 2·\sqrt{4a·\frac{36}{a}}$

$\Rightarrow 4a+\frac{36}{a}\ge 2·\sqrt{144}$

$\Rightarrow 4a+\frac{36}{a}\ge 24$(2)

Từ (1) và (2), ta có:

$\left(a^2+\frac{81}{a^2}\right)+\left(4a+\frac{36}{a}\right)\ge 18+24$

$\Rightarrow \left(a^2+\frac{81}{a^2}\right)+\left(4a+\frac{36}{a}\right)\ge 42$

$\Rightarrow \left(a^2+\frac{81}{a^2}\right)+\left(4a+\frac{36}{a}\right)+15\ge 42+15$

$\Rightarrow \left(a^2+\frac{81}{a^2}\right)+\left(4a+\frac{36}{a}\right)+15\ge 57$

$\Rightarrow P\ge 57$

Dấu “=” xảy ra khi: $\left\{\begin{array}{l}{a}^2=\frac{81}{a^2}\\ 4a=\frac{36}{a}\end{array}\Rightarrow \right.\left\{\begin{array}{l}{a}^4=81\\ a^2=9\end{array}\Rightarrow \right.\left[\begin{array}{c}a=3\left(\mathrm{tm}\right)\\ a=-3\left(\mathrm{ktm}\right)\end{array}\right]$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 57 khi a = 3.