Đề số 21- Quận Bắc Từ Liêm

ĐỀ THI HỌC KÌ II – QUẬN BẮC TỪ LIÊM

Môn: Toán 9

Năm học: 2018 – 2019
Thời gian: 90 phút

Bài I. (2 điểm)

Cho hai biểu thức: $A=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ và $B=\left(\frac{2}{\sqrt{x}+2}-\frac{6-\sqrt{x}}{4-x}\right)·\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$ với $x\ge 0;x\ne 4$.

a) Tính giá trị của A khi x=9

b) Chứng minh rằng $B=\frac{1}{\sqrt{x}+3}$

c) Cho . Tìm giá trị của  để  

Bài II. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai vòi nước chảy vào 1 bể không có nước sau 4 giờ thì bể đầy. Nếu chảy một mình thì vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi 2 là 6 giờ. Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?

Bài III. (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2) Cho parabol  và đường thẳng .

a) Chứng minh rằng  luôn cắt  tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của .

b) Tìm  để  cắt  tại 2 điểm phân biệt có hoành độ  thỏa mãn điều kiện .

Bài IV. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn  nội tiếp đường tròn  đường cao AH. Gọi  và  lần lượt là hình chiếu của điểm  trên cạnh AB, AC

a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng . Từ đó chứng minh AM.AB = AN.AC.

c) Hai đường thẳng NM và BC cắt nhau tại Q. Chứng minh và .

d) Cho  và  Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung BC nhỏ.

Bài V. (0,5 điểm)

Cho x, y là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài I.

a) Thay (TMĐK) vào  ta có:

Vậy với  thì .

b)  

c)

Vì  với mọi

 với mọi   

Mà  với mọi x thuộc ĐKXĐ

 (thỏa mãn)

Vậy  khi .

Bài II.

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là  (giờ)  

Vì thời gian vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi 2 là 6 giờ nên thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là  (giờ)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được  (bể)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được  (bể)

Trong 1 giờ cả 2 vòi chảy được  (bể)

Theo bài ra, cả 2 vòi chảy vào 1 bể không có nước sau 4 giờ thì bể đầy nên ta có phương trình:

So với điều kiện,  thỏa mãn.

Vậy vòi 1 chảy 1 mình trong 6 giờ thì đầy bể.

Vòi 2 chảy 1 mình trong  giờ thì đầy bể.

Bài III.

1) Giải hệ phương trình:

ĐKXĐ

Đặt  khi đó hệ phương trình trở thành:

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (4; - 2).

2) Cho  và đường thẳng

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của  và :

Có:  với mọi giá trị của

 Phương trình hoành độ giao điểm của  và  luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của .

 và  luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của .

b) Theo câu a,  và  luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ

Theo Vi-ét, ta có:

Theo bài ra ta có:

Thay (*) vào hệ thức (1), ta được(thỏa mãn điều kiện).

Vậy  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Bài IV.

a) Xét tứ giác AMHN có:

 là hình chiếu của  trên

 là hình chiếu của  trên

Mà  và  là hai góc đối nhau

 Tứ giác AMHN nội tiếp.

b) +) Xét  vuông tại  là đường cao) có:

 là hình chiếu của  trên

 (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) (1)

+) Xét  vuông tại  là đường cao) có:

 là hình chiếu của  trên

 (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) (2)

Từ (1),(2) suy ra AM.AB = AN.AC (đpcm).

c) + ) Xét  và  có:

 là góc chung

 (hai góc tương ứng)

+) Ta có:  (cùng phụ với  )

 (tứ giác AMHN nội tiếp)

+) Xét  và  có:

 là góc chung

 (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

(đpcm).

d) Xét đường tròn (O) có:  (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC )

Ta có:

+) Kẻ  tại K   (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

Xét  cân tại  có OK là đường cao

 đồng thời là đường phân giác

+) Xét  vuông tại

và

Ta có:

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung BC nhỏ là:

.

Bài V.

Ta có

Đặt  Ta có  với mọi .

.

Khi đó

Do  nên  Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

Và  với .

Từ đó suy ra

Vậy  xảy ra khi và chỉ khi .