Bảo toàn và chuyển hóa năng lượng

Nếu chọn gốc thế năng là mặt đất thì công thức tính thế năng trọng trường của một vật ở độ cao h là:

${{\rm{W}}_t} = mgh$

Trong quá trình rơi tự do của một vật thì: Động năng tăng, thế năng giảm.

Ta có biểu thức tính động năng: ${{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2}$

=> Động năng là đại lượng vô hướng, luôn dương hoặc  bằng không

Ta có :

Khi một vật được ném lên, độ cao của vật tăng dần nên thế năng tăng.

Trong quá trình chuyển động của vật từ dưới lên, trọng lực luôn hướng ngược chiều chuyển động nên nó là lực cản, do đó trọng lực sinh công âm.

Động năng của ô tô trước khi tắt máy là: ${W_d} = \frac{{m{v^2}}}{2}$

Động năng của ô tô sau khi dừng lại là: $W{'_d} = {\text{ }}0$

Áp dụng định lí biến thiên động năng ta có: $A = 0 - \frac{{m{v^2}}}{2} =  - \frac{{m{v^2}}}{2}$.

Ta có, thế năng hấp dẫn là đại lượng vô hướng, có thể âm, dương hoặc bằng 0

Từ công thức tính động năng ta có:

${W_d} = \frac{1}{2}m{v^2} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2.{W_d}}}{m}}  = \sqrt {\frac{{2.20}}{{0,4}}}  = 10m/s = 36km/h$

 Từ định lí biến thiên động năng ta có:

$A = {W_{d2}} - {W_{d1}} \Leftrightarrow {F_h}.s = 0 - \dfrac{1}{2}m{v^2} \Rightarrow F{}_h =  - \dfrac{{m{v^2}}}{{2s}}$

$\Rightarrow {F_h} =  - \dfrac{{{{300.10}^2}}}{{2.12}} =  - 1250N$

Độ lớn của lực hãm là: $\Rightarrow {F_h} = 1250N$ dấu (-) có nghĩa là lực cản trở chuyển động.

Ta có, vận tốc của người so với ô – tô là: $v = 0m/s$ (do người đang ngồi trên ô-tô)

=> Động năng của người so với ô-tô là: ${{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = 0J$

Chọn mốc thế năng tại mặt đất

Vì bỏ qua ma sát nên cơ năng của vật được bảo toàn

Ta có:

+ Cơ năng của vật tại A: ${{\rm{W}}_A} = mgAD$ (động năng của vật bằng 0 vì ${v_0} = 0$)

+ Cơ năng của vật tại B: ${{\rm{W}}_B} = \dfrac{1}{2}mv_B^2 + mgBC$

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta có cơ năng của vật tại A bằng cơ năng của vật tại B

$\begin{array}{l}{{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_B} \leftrightarrow mg.AD = \dfrac{1}{2}mv_B^2 + mg.BC\\ \leftrightarrow g.AD = \dfrac{1}{2}v_B^2 + g.BC\\ \leftrightarrow 10.1,3 = \dfrac{1}{2}v_B^2 + 10.1\\ \to {v_B} = \sqrt 6  \approx 2,45m/s\end{array}$

Ta có:

Thế năng của vật 1 có giá trị là: ${W_{t1}} = m.g.2.h = 2mgh$  (1).

Thế năng của vật 2 có giá trị là: ${W_{t2}} = 2.m.g.h = 2mgh$ (2).

=> Thế năng vật 1 bằng thế năng vật 2

Ta có gốc thế năng tại tầng thứ 10 nên khoảng cách từ thang máy khi ở tầng cao nhất đến gốc là: z =100 – 40 = 60m.

Thế năng của thang máy là: ${W_t} = mgz = 1000.9,8.60 = 588kJ$.                                                                                                          

Chọn gốc thế năng tại mặt đất.

Độ biến thiên cơ năng của quả tennis là:

${\rm{W}} = {{\rm{W}}_1} + {{\rm{W}}_2} = \left( {\dfrac{1}{2}mv_1^2 + mg{z_1}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2}mv_2^2 + mg{z_2}} \right)$

Do: $\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = 0\\{v_2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow {{\rm{W}}_1} - {{\rm{W}}_2} = mg{z_1} - mg{z_2} = 0,02.10.\left( {5 - 3} \right) = 0,4J$

Ta có:

+ Biến thiên thế năng chính bằng công của trọng lực: ${{\rm{W}}_{{t_1}}} - {{\rm{W}}_{{t_2}}} = {A_P}$ (1)

+ $\overrightarrow P$ hợp với phương rơi một góc $\alpha  = {0^0}$

Ta suy ra công của trọng lực: ${A_P} = P.h = mgh$  (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra: ${{\rm{W}}_{{t_1}}} - {{\rm{W}}_{{t_2}}} = mgh$

$\Rightarrow h = \dfrac{{{{\rm{W}}_{{t_1}}} - {{\rm{W}}_{{t_2}}}}}{{mg}} = \dfrac{{500 - \left( { - 900} \right)}}{{2.10}} = 70m$

Vậy so với mặt đất, vật đã rơi từ độ cao $h = 70m$

Chọn gốc thế năng tại mặt đất.

Cơ năng của vật tại vị trí vật bắt đầu rơi tự do:

${{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_{d1}} + {{\rm{W}}_{t1}} = \dfrac{1}{2}m.v_1^2 + mg.{z_1} = m.g.120 = 120.mg\,\,\left( J \right)$

Cơ năng của vật tại vị trí có động năng gấp đôi thế năng là:

$\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{W}}_2} = {{\rm{W}}_{d2}} + {{\rm{W}}_{t2}}\\{{\rm{W}}_{d2}}{\rm{ =  2}}{{\rm{W}}_{t2}}\end{array} \right. \Rightarrow {{\rm{W}}_2} = {\rm{2}}{{\rm{W}}_{t2}} + {{\rm{W}}_{t2}} = 3{{\rm{W}}_{t2}}$

Cơ năng được bảo toàn nên:

$\begin{array}{l}{{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_2} \Leftrightarrow 3{{\rm{W}}_{t2}} = {{\rm{W}}_1} \Leftrightarrow 3.mg.{z_2} = 120.mg\\ \Leftrightarrow {z_2} = \dfrac{{120}}{3} = 40\,\left( m \right)\end{array}$

Trong hệ quy chiếu gắn với quan sát, vật $m_1= 2 m$ có vận tốc bằng $2v$ nên động năng của vật là:

${{\rm{W}}_d} = \dfrac{{{m_1}{{\left( {2v} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{8m{v^2}}}{2} = 4m{v^2}$

=> Phương án C - sai

Chọn gốc thế năng tại O.

+ Cơ năng của vật tại O: ${{\rm{W}}_O} = {{\rm{W}}_{tO}} + {{\rm{W}}_{dO}} = \dfrac{1}{2}mv_{\max }^2$

+ Cơ năng của vật tại B: ${{\rm{W}}_B} = {{\rm{W}}_{tB}} + {{\rm{W}}_{dB}} = mg.{z_B} = mg.l.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)$

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại O và B ta có:

$\begin{array}{l}{{\rm{W}}_O} = {{\rm{W}}_B} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}mv_{\max }^2 = mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)\\ \Rightarrow {v_{\max }} = \sqrt {2gl.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)}  = \sqrt {2.10.0,8.\left( {1 - \cos 60} \right)}  = 2\sqrt 2 m/s\end{array}$

Do lực cản sinh công làm biến đổi động năng của vật nên áp dụng định lí biến thiên động năng:

$\frac{{m{v_2}^2}}{2} - \frac{{m{v_1}^2}}{2} =  - {F_c}s =  > {F_c} = \frac{{-m\left( {{v_2}^2 - {v_1}^2} \right)}}{{2s}} = \frac{{ - 0,1\left( {{{15}^2} - {{25}^2}} \right)}}{{2.0,05}} = -400\,N$

Chọn mốc thế năng tại mặt đất.

a) Tại vị trí thả vật có: $\left\{ \begin{array}{l}v = 0\\m = 1kg\\g = 10m/{s^2}\\{h_0} = 120m\end{array} \right.$

Thế năng của vật tại vị trí đó là:

${W_t} = mgh = 1.10.120 = 1200J$

b)

Cơ năng của vật tại vị trí thả vật:

${W_0} = {W_{d0}} + {W_{t0}} = \frac{1}{2}m{v^2} + mg{h_0} = mg{h_0}$

Cơ năng của vật tại vị trí động năng bằng hai lần thế năng ${W_d} = 2{W_t}$ là:

$W = {W_t} + {W_d} = {W_t} + 2{W_d} = 3{W_t} = 3mg.h$

Cơ năng được bảo toàn nên:

$W' = W \Leftrightarrow 3mg.h = mg.{h_0}$

$\Rightarrow h = \dfrac{{{h_0}}}{3} = \dfrac{{120}}{3} = 40m$

Hợp lực tác dụng lên vật:$\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}$

Do $\overrightarrow {{F_1}}  \bot \overrightarrow {{F_2}}$ nên hợp lực có độ lớn là :

$F = \sqrt {F_1^2 + F_2^2}  = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}}  = 10\sqrt 2 N$

Vật chuyển động theo hướng của lực $\overrightarrow F$nên công của hợp lực tác dụng lên vật là :

${A_F}\; = F.s.\cos 0 = 10\sqrt 2 .5 = 50\sqrt 2 {\rm{ }}J$

Vật dịch chuyển từ trạng thái nghỉ nên ${v_0}{\rm{ =  0}} \Rightarrow {{\rm{W}}_{d0}} = 0$

Áp dụng định lí biến thiên động năng ta có:

${A_F} = {{\rm{W}}_d} - {{\rm{W}}_{d0}} \Leftrightarrow {{\rm{W}}_d} = {A_F} = 50\sqrt 2 J$